专题4.4一次函数与正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

第第页专题4.4一次函数与正比例函数（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】一次函数与正比例函数的定义定义若两个变量x,y的对应关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的形式,则称y是x的一次函数.特别地,当b=0时,称y是x的正比例函数.2.一次函数与正比例函数的关系(1)正比例函数y=kx(k≠0)是一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)中b=0的特例,即正比例函数都是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数,(2)若已知y与x成正比例,则可设函数关系式为y=kx(k≠0);若已知y是x的一次函数,则可设函数关系式为y=kx+b(k,b为常数,k≠0)【知识点2】一次函数的关系式列一次函数的步骤(1)认真分析，理解题意；(2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系；(3)写出一次函数的关系式；(4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题,还要考自变量的取值要使实际问题有意义.特别提醒（1）确定一次函数关系式的方法：（2）按相等关系写出含有两个变量的等式；（3）将等式变形为用含有自变量的式子表示一次函数关系式的形式.【考点一】一次函数与正比例函数的定义【例1】（2023春·全国·八年级专题练习）下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？系数k和常数项b的值各是多少？，，，，．【分析】根据一次函数与正比例函数逐个分析判断即可求解．一般地，两个变量、之间的关系式可以表示成形如的函数（为常数，的次数为，且），那么就叫做正比例函数．一次函数的定义：一次函数中为常数，，自变量次数为．解：，是正比例函数，；是一次函数，，；不是一次函数，也不是正比例函数；，是一次函数，，；，不是正比例函数也不是一次函数．【点拨】本题考查了正比例函数与一次函数的定义，掌握正比例函数与一次函数的定义是解题的关键．【举一反三】【变式1】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）若关于的函数是正比例函数，则，应满足的条件是（

）A．且 B．且 C．且 D．且【答案】D【分析】正比例函数的解析式为，其中，据此求解．解：是正比例函数，且，且．故选D．【点拨】本题考查根据正比例函数的定义求参数，解题的关键是掌握正比例函数中一次项系数不能为0，无常数项．【变式2】（2019秋·广东梅州·八年级广东梅县东山中学校考期中）下列关系式：①；②；③；④；⑤．其中是的一次函数的有个．【答案】3【分析】形如（，k、b是常数）的函数，叫做一次函数，进而判断得出答案．解：函数①，③，⑤是一次函数，共有3个，②，④，不是一次函数，故答案为：3．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，正确把握一次函数的定义是解题关键．【考点二】一次函数与正比例函数的参数【例2】（2022秋·安徽安庆·八年级校考阶段练习）已知函数．（1）m为何值时，这个函数是一次函数；（2）m为何值时，这个函数是正比例函数．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根据一次函数的定义求解；（2）根据正比例函数的定义求解．解：（1）根据一次函数的定义可得：，∴当时，这个函数是一次函数；（2）根据正比例函数的定义，可得：且，∴时，这个函数是正比例函数．【点拨】本题考查了一次函数和正比例函数的定义，形如的函数叫做一次函数，特别的，当时，叫做正比例函数，熟知概念是关键．【举一反三】【变式1】（2023秋·安徽蚌埠·八年级统考阶段练习）已知一次函数的图象经过，两点，且当时，，则k的值为（

）A． B．3 C． D．【答案】C【分析】分别把点，代入一次函数，根据，时，即可得出结论．解：一次函数的图象经过，两点，，，，，，，即．故选：C．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题关键．【变式2】（2023春·黑龙江大庆·七年级校考期中）已知是关于的一次函数，则.【答案】【分析】根据一次函数的定义得到且，据此求出的值即可．解：是关于的一次函数，且，解得：，故答案为：．【点拨】本题考查了一次函数的定义，一般地，形如的函数，叫做一次函数，会利用的指数构造方程，会利用限定字母的值是解题关键．【考点三】求一次函数的自变理或函数值【例3】（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数，（1）当是何值时函数是一次函数．（2）当函数是一次函数时，写出此函数解析式．并计算当时的函数值．（3）点在此一次函数图象上，则的值为多少．【答案】（1）；（2），当时，；（3）【分析】（1）根据一次函数的定义进行求解即可；（2）根据（1）所求代入m得值求出对应的函数关系式，再把代入对应的函数关系式求出此时y的值即可；（3）代入，求出此时x的值即可得到答案．（1）解：∵函数是一次函数，∴，∴，∴当时，函数是一次函数；（2）解：由（1）得，∴当时，；（3）解：在中，当时，，∴，∴．【点拨】本题主要考查了一次函数的定义，求一次函数的函数值和自变量的值，一般地，形如（其中k、b都是常数，且）的函数叫做一次函数．【举一反三】【变式1】（2023春·天津滨海新·八年级校考期末）不论实数k取何值，一次函数的图象必经过的点是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】令，求出y值即可得解．解：一次函数，当时，，不论取何值，函数图象必过点．故选：A．【点拨】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．【变式2】（2022秋·安徽芜湖·八年级统考阶段练习）在平面直角坐标系中，直线过点，则的值为．【答案】2019【分析】把代入即可得到，代入即可求解．解：直线过点，，，，故答案为：2019．【点拨】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系是解题的关键．【考点四】列函数解析式及求函数值【例4】（2022秋·辽宁锦州·八年级统考期中）某公交公司的16路公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数（人与这趟公交车每月的利润（利润收入费用支出费用）（元的变化关系如表所示（每位乘客乘一次公交的票价是固定不变的）（人50010001500200025003000（元010002000请回答下列问题：（1）自变量为，因变量为；（2）与之间的关系式是；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？【答案】（1）每月的乘车人数，公交车每月的利润；（2）；（3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元【分析】（1）根据表格中的数量变化可得答案；（2）根据乘坐人数与每月的利润的变化关系可求出每位乘客坐一次车需要的钱数，进而得出函数关系式；（3）把x=4000代入函数关系式求出y的值即可．（1）解：由题意可知：自变量是：每月的乘车人数，因变量是：公交车每月的利润．故答案为：每月的乘车人数，公交车每月的利润．（2）解：从表格中数据变化可知，每月乘车人数每增加500人，其每月的利润就增加1000元，每位乘客坐一次车需要（元，即函数关系式为：．（3）解：当时，（元．答：当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元．【点拨】本题考查常量与变量，函数关系式，理解表格中两个变量的变化关系是正确解答的关键．【举一反三】【变式1】（2023春·八年级课时练习）汽车由北京驶往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/时，则汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系及自变量的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据汽车距天津的距离＝总路程−已行驶路程列函数关系式，再根据总路程判断出t的取值范围即可．解：∵汽车行驶的路程为：，∴汽车距天津的路程S（千米）与行驶时间t（时）的函数关系为：，∵，∴自变量t的取值范围是，故选：A．【点拨】本题考查了列一次函数关系式，解决本题的关键是理解剩余路程的等量关系．【变式2】（2021·全国·九年级专题练习）一根长为24cm的蜡烛被点燃后，每分钟缩短1.2cm，则其剩余长度y（cm）与燃烧时间x（min）的函数关系式为，自变量的取值范围是．【答案】y=24-1.2x0≤x≤20【分析】根据题意，剩下的蜡烛长度=总长度-已经燃烧的长度，已经