北京市海淀区第二十中学2023年高二数学第一学期期末经典试题含解析

北京市海淀区第二十中学2023年高二数学第一学期期末经典试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图，在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，则平面的法向量是（）A.，1， B.，1，C.，， D.，1，2．将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率是（）A. B.C. D.3．已知等差数列的公差为，则“”是“数列为单调递增数列”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件4．已知抛物线上的点到其准线的距离为，则（）A. B.C. D.5．过抛物线（）的焦点作斜率大于的直线交抛物线于，两点（在的上方），且与准线交于点，若，则A. B.C. D.6．直线关于直线对称的直线方程为（）A. B.C. D.7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的离心率是（）A B.C. D.8．执行如图所示的程序框图，输出的s值为()A.8 B.9C.27 D.369．已知，，，若、、三个向量共面，则实数A3 B.5C.7 D.910．设函数的定义域为，满足，且当时，.若对任意，都有，则的取值范围是（）A. B.C. D.11．某地为应对极端天气抢险救灾，需调用A，B两种卡车，其中A型卡车x辆，B型卡车y辆，以备不时之需，若x和y满足约束条件则最多需调用卡车的数量为（）A.7 B.9C.13 D.1412．已知双曲线的右焦点为F，关于原点对称的两点A、B分别在双曲线的左、右两支上，，且点C在双曲线上，则双曲线的离心率为（）A.2 B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若圆被直线平分，则值为__________14．已知是椭圆的两个焦点，点M在C上，则的最大值为_______15．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________.16．等差数列的公差，是其前n项和，给出下列命题：若，且，则和都是中的最大项；给定n，对于一些，都有；存在使和同号；.其中正确命题的序号为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数.（1）若，求函数在处的切线方程；（2）讨论函数在上的单调性.18．（12分）如图，在三棱锥中，，点P为线段MC上的点（1）若平面PAB，试确定点P的位置，并说明理由；（2）若，，，求三棱锥的体积19．（12分）如图，底面是矩形的直棱柱中，；（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的大小；20．（12分）已知斜率为1的直线交抛物线：（）于，两点，且弦中点的纵坐标为2.（1）求抛物线的标准方程；（2）记点，过点作两条直线，分别交抛物线于，（，不同于点）两点，且的平分线与轴垂直，求证：直线的斜率为定值.21．（12分）如图，在三棱锥P-ABC中，△ABC是以AC为底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点.（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且，求平面MAP与平面CAP所成角的大小.22．（10分）双曲线，离心率，虚轴长为2（1）求双曲线的标准方程；（2）经过点的直线与双曲线相交于两点，且为的中点，求直线的方程

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设平面的法向量是，，，由可求得法向量.【详解】在单位正方体中，以为原点，，，为坐标向量建立空间直角坐标系，，0，，，1，，，1，，，1，，，0，，设平面的法向量是，，，则，取，得，1，，平面的法向量是，1，.故选：.2、B【解析】由题意知直线的斜率为，设其倾斜角为，将直线绕着原点逆时针旋转，得到新直线的斜率为，化简求值即可得到答案.【详解】由知斜率为，设其倾斜角为，则，将直线绕着原点逆时针旋转，则故新直线的斜率是.故选：B.3、C【解析】利用等差数列的定义和数列单调性的定义判断可得出结论.【详解】若，则，即，此时，数列为单调递增数列，即“”“数列为单调递增数列”；若等差数列为单调递增数列，则，即“”“数列为单调递增数列”.因此，“”是“数列为单调递增数列”的充分必要条件.故选：C.4、C【解析】首先根据抛物线的标准方程的形式，确定的值，再根据焦半径公式求解.【详解】，，因为点到的准线的距离为，所以，得故选：C5、A【解析】分别过作准线的垂线，垂足分别为，设，则，，故选A.6、C【解析】先联立方程得，再求得直线的点关于直线对称点的坐标为，进而根据题意得所求直线过点，，进而得直线方程.【详解】解：联立方程得，即直线与直线的交点为设直线的点关于直线对称点的坐标为，所以，解得所以直线关于直线对称的直线过点，所以所求直线方程的斜率为，所以所求直线的方程为，即故选：C7、B【解析】根据得到三角形为等腰三角形，然后结合双曲线的定义得到，设，进而作，得出，由此求出结果【详解】因为，所以，即所以，由双曲线的定义，知，设，则，易得，如图，作，为垂足，则，所以，即，即双曲线的离心率为.故选：B8、B【解析】执行程序框图，第一次循环，，满足；第二次循环，，满足；第三次循环，，不满足，输出，故选B.【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题.解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1)不要混淆处理框和输入框；(2)注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3)注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4)处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5)要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.9、A【解析】由空间向量共面原理得存在实数，，使得，由此能求出实数【详解】解：，，，、、三个向量共面，存在实数，，使得，即有：，解得，，实数故选：【点睛】本题考查空间向量共面原理的应用，属于基础题10、D【解析】由题意得当时，，根据题意作出函数的部分图象，再结合图象即可求出答案【详解】解：当时，，又，∴当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，且；又，则函数图象每往右平移两个单位，纵坐标变为原来的倍，作出其大致图象得，当时，由得，或，由图可知，若对任意，都有，则，故选：D【点睛】本题主要考查函数的图象变换，考查数形结合思想，属于中档题11、B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义即可求解【详解】设调用卡车的数量为z，则，其中x和y满足约束条件，作出可行域如图所示：当目标函数经过时，纵截距最大，最大.故选：B12、D【解析】设，由，得到四边形是矩形，在中，利用勾股定理求得，再在中，利用勾股定理求解.【详解】如图所示：设，则，，，因为，所以，则四边形是矩形，在中，，即，解得，在中，，即，解得，故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、；【解析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程求解即可【详解】解：的圆心圆被直线平分，可知直线经过圆的圆心，可得解得；故答案为：1【点睛】本题考查直线与圆的位置关系的应用，属于基础题14、16【解析】根据椭圆定义可得：，再用基本不等式求解.【详解】由椭圆的定义可得：，由基本不等式得：，当且仅当时，等号成立，故的最大值为16故答案为：1615、1【解析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求.【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设，所以，所以，所以，所以，故答案为：1.16、【解析】对，根据数列的单调性和可判断；对和，利用等差数列的通项公式可直接推导；对，利用等差数列的前项和可直接推导.【详解】不妨设等差数列的首项为对，，可得：，解得：，即又，则是递减的，则中的前5项均为正数，所以和都是中的最大项，故正确；对，，故有：，故正确；对，，又，则，说明不存在使和同号，故错误；对，有：故并不是恒成立的，故错误故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）答案见解析【解析】（1）求出导函数后计算得斜率，由点斜式得直线方程并整理；（2）求出导函数，然后分类讨论它在上的正负得单调性【小问1详解】当时，，则，故切线的斜率.又.所以函数在处的切线方程为：.【小问2详解】由，得①当时，在上单调递减；②当时，在上单调递减；③当时，令，得当时，在上单调递减；当时，在单调递增；④当时，在上单调递增；综上：当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时，在上单调递增.18、（1）点P为MC中点，理由见解析（2）【解析】（1）根据平面PAB，得到线线垂直，再得到点P的位置；（2）根据平面PAB，将问题转化为计算即可.【小问1详解】∵平面PAB，平面ABP，∴又∵在中，，∴P为MC中点．∴若平面PAB，则点P为MC中点【小问2详解】当P为中点时，在中，，，∴，同理可得∴在中，，∵由（1）知平面PAB，∴∴三棱锥的体积为19、（1）证明见解析（2）【解析】（1）通过证明和可得答案；（2）连接，则为直线与平面所成角的平面角，在直角三角形中计算即可.【小问1详解】棱柱为直棱柱，面，又面，又直棱柱的底面是矩形，，又，平面，平面，平面；【小问2详解】连接，面，则为直线与平面所成角的平面角在直角三角形中，则，，所以直线与平面所成角的大小为.20、(1);(2)见解析.【解析】(1)涉及中点弦,用点差法处理即可求得,进而求得抛物线方程;(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设,直线,则直线分别和抛物线方程联立,解得利用,结合直线方程,即可证得直线的斜率为定值.【详解】(1)设,则,两式相减,得:由弦中点纵坐标为2,得,故.所以抛物线的标准方程.(2)由的平分线与轴垂直,可知直线，的斜率存在,且斜率互为相反数,且不等于零,设直线由得由点在抛物线上,可知上述方程的一个根为.即,同理.直线的斜率为定值.【点睛】本题考查应用点差法处理中点弦问题,直线与抛物线中,斜率为定值问题,考查分析问题的能力,考查学生的计算能力,难度较难.21、（1）证明见解析（2）【解析】（1）接BO，由是等边三角形得，由得出，再利用线面垂直的判断定理可得平面；（2）建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小问1详解】连接BO，由已知△ABC是以AC为底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点，则是等边三角形，，，在中，，满足，即是直角三角形，则，又，平面，所以平面.【小问2详解】建立以为坐标原点，分别为轴的空间直角坐标系如图所示，则，，，，则平面的法向量为，由已知，