广东省广州市顺德区广州第一中学2023年数学高二上期末教学质量检测试题含解析

广东省广州市顺德区广州第一中学2023年数学高二上期末教学质量检测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若圆上至少有三个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是（）A. B.C. D.2．已知直四棱柱的棱长均为，则直线与侧面所成角的正切值为（）A. B.C. D.3．直线l：的倾斜角为（）A. B.C. D.4．如图，在正三棱柱中，若，则C到直线的距离为（）A. B.C. D.5．如图是函数的导函数的图象，下列说法正确的是（）A.函数在上是增函数B.函数在上是减函数C.是函数的极小值点D.是函数的极大值点6．下列推理中属于归纳推理且结论正确的是（）A.由，求出，，，…，推断：数列的前项和B.由满足对都成立，推断：为奇函数C.由半径为的圆的面积，推断单位圆的面积D.由，，，…，推断：对一切，7．已知向量，，且，，，则一定共线的三点是（）A.A，B，D B.A，B，CC.B，C，D D.A，C，D8．函数的导函数为，对任意，都有成立，若，则满足不等式的的取值范围是（）A. B.C D.9．已知函数，则（）A.0 B.1C.2 D.10．设双曲线：（，）的右顶点为，右焦点为，为双曲线在第二象限上的点，直线交双曲线于另一个点（为坐标原点），若直线平分线段，则双曲线的离心率为（）A. B.C. D.11．已知数列是公差为等差数列，，则（）A.1 B.3C.6 D.912．已知l，m是两条不同的直线，是两个不同的平面，且，则（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．作边长为6的正三角形的内切圆，半径记为，在这个圆内作内接正三角形，然后再作新三角形的内切圆．如此下去，第n个正三角形的内切圆半径记为，则______，现有1个半径为的圆，2个半径为的圆，……，个半径为的圆，n个半径为的圆，则所有这些圆的面积之和为______14．若复数z=为纯虚数（），则|z|=_____.15．等差数列的前项和为，已知，则__.16．已知集合，，将中的所有元素按从大到小的顺序排列构成一个数列，则数列的前n项和的最大值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一个直角梯形，其中∠BAD=90°，AB∥DC，PA⊥底面ABCD，AB=AD=PA=2，DC=1，点M和点N分别为PA和PC的中点（1）证明：直线DM∥平面PBC；（2）求直线BM和平面BDN所成角的余弦值；（3）求二面角M-BD-N正弦值；（4）求点P到平面DBN距离；（5）设点N在平面BDM内的射影为点H，求线段HA的长18．（12分）已知，两地的距离是.根据交通法规，，两地之间的公路车速（单位：）应满足.假设油价是7元/，以的速度行驶时，汽车的耗油率为，当车速为时，汽车每小时耗油，司机每小时的工资是91元.（1）求的值；（2）如果不考虑其他费用，当车速是多少时，这次行车的总费用最低？19．（12分）某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语；2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数X的分布列和数学期望20．（12分）设命题方程表示中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线；命题，，若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围.21．（12分）已知O为坐标原点，点，设动点W到直线的距离为d，且，.（1）记动点W的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，直线与曲线C交于，两点，直线l与的交点为P（P不在曲线C上），且，设直线l，的斜率分别为k，.求证：为定值.22．（10分）如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是等边三角形，D是AC的中点.（1）证明：AB1//面BC1D；（2）若AA1=AB，求二面角B1-AC-C1的余弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】先求出圆心到直线的距离为，由此可知当圆的半径为时，圆上恰有三点到直线的距离为，当圆的半径时，圆上恰有四个点到直线的距离为，故半径的取值范围是，即可求出答案.【详解】由已知条件得的圆心坐标为，圆心到直线为，∵圆上至少有三个点到直线的距离为1，∴圆的半径的取值范围是，即，即半径的取值范围是.故选：.2、D【解析】根据题意把直线与侧面所成角的正切值转化为在直角三角形中的正切值，即可求出答案.【详解】由题意可知直四棱柱如下图所示：取的中点设为点，连接，在直四棱柱中，面，面，，在四边形中，，，故且.面，面，面，.故直线与侧面所成角的正切值为.故选：D.3、D【解析】先求得直线的斜率，由此求得倾斜角.【详解】依题意，直线的斜率为，倾斜角的范围为,则倾斜角为.故选：D.4、D【解析】取AC的中点O，建立如图所示的空间直角坐标系，根据点到线距离的向量求法和投影的定义计算即可.【详解】由题意知，，取AC的中点O，则，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，所以在上的投影的长度为，故点C到直线距离为：.故选：D5、A【解析】根据图象，结合导函数的正负性、极值的定义逐一判断即可.【详解】由图象可知，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减，可知B错误，A正确；是极大值点，没有极小值，和不是函数的极值点，可知C，D错误故选：A6、A【解析】根据归纳推理是由特殊到一般，推导结论可得结果.【详解】对于A，由，求出，，，…，推断：数列的前项和，是由特殊推导出一般性的结论，且，故A正确；B和C属于演绎推理，故不正确；对于D，属于归纳推理，但时，结论不正确，故D不正确.故选：A.7、A【解析】由已知，分别表示出选项对应的向量，然后利用平面向量共线定理进行判断即可完成求解.【详解】因，，，选项A，，，若A，B，D三点共线，则，即，解得，故该选项正确；选项B，，，若A，B，C三点共线，则，即，解得不存，故该选项错误；选项C，，，若B，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；选项D，，，若A，C，D三点共线，则，即，解得不存在，故该选项错误；故选：A.8、C【解析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，将所求不等式变形为，结合函数的单调性即可得解.【详解】对任意，都有成立，即令，则，所以函数在上单调递增不等式即，即因为，所以所以，，解得，所以不等式的解集为故选：C.9、C【解析】对函数f(x)求导即可求得结果.【详解】函数,则，，故选C【点睛】本题考查正弦函数的导数的应用，属于简单题.10、A【解析】由给定条件写出点A，F坐标，设出点B的坐标，求出线段FC的中点坐标，由三点共线列式计算即得.【详解】令双曲线的半焦距为c，点，设，由双曲线对称性得，线段FC的中点，因直线平分线段，即点D，A，B共线，于是有，即，即，离心率.故选：A11、D【解析】结合等差数列的通项公式求得.【详解】设公差，.故选：D12、B【解析】由空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系分析选项A,C,D，由平面与平面垂直的判定定理判定选项D.【详解】选项A.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项B.由，，则，故正确.选项C.由，，直线l，m可能相交、平行，异面，故不正确.选项D.由,,则可能相交，可能平行，故不正确.故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①；②..【解析】设第n个三角形的边长为，进而根据题意求出，然后根据等面积法求出，再求出；设n个半径为的圆的面积为并求出，进而运用错位相减法求得答案.【详解】如示意图1，设第n个三角形的边长为，易得，则是以6为首项，为公比的等比数列，所以.如示意图2，易得：，，所以，所以.设n个半径为的圆的面积为，则，记所有圆的面积之和为，则，所以，两式相减得：，即.故答案为：；.14、【解析】利用复数z=为纯虚数求出a，即可求出|z|.【详解】z=.由纯虚数的定义知，，解得.所以.故|z|=.故答案为：.15、【解析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质即可求出.【详解】因为等差数列的前项和为，，则，故答案为：33.【点睛】本题考查了等差数列的求和公式和等差数列的性质，属于基础题.16、【解析】由题意设，，根据可得，从而，即可得出答案.【详解】设，由，得，由，得中的元素满足，即，可得所以，由,所以所以，要使得数列的前n项和的最大值，即求出数列中所以满足的项的和即可.即，得，则所以数列的前n项和的最大值为故答案为：1472三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析（2）（3）（4）（5）【解析】（1）以为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，证明与平面的法向量垂直，从而证明直线平面（2）求出平面的法向量，利用向量法，求出直线和平面所成角的余弦值（3）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法，求出二面角的正弦值（4）求出的坐标，再求出平面的法向量，利用向量法，求出点到平面的距离；（5）设点在平面内的射影为点，从而表示出的坐标，求出到平面的距离，列出方程组，求出点坐标，从而求出的长度.【小问1详解】四棱锥，底面是一个直角梯形，，平面，所以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，，，，，，，，，设平面的法向量，所以，，取，则，所以，平面，所以直线平面.【小问2详解】，，，设平面的法向量，则，即，取，则，设直线与平面所成的角为，则，所以，所以直线与平面所成角的余弦值为.【小问3详解】设平面的法向量为，则，即，取，得，平面的法向量，设二面角的平面角为，则，所以，所以二面角的正弦值为.【小问4详解】，平面的法向量，所以点到平面的距离为.【小问5详解】设点在平面的射影为点，则，所以点到平面的距离为，根据，得解得，，，或者，，（舍）所以.18、（1）；（2）.【解析】（1）根据题中给出的车速和油耗之间的关系式，结合已知条件，待定系数即可；（2）根据题意求得以行驶所用时间，构造费用关于的函数，利用导数研究其单调性和最值，即可求得结果.【小问1详解】因为汽车以的速度行驶时，汽车的耗油率为，又当时，，解得.【小问2详解】若汽车的行驶速度为，则从地到地所需用时，则这次行车的总费用，则，令，解得，则当，，单调递减，即.故时，该次行车总费用最低.19、（1）（2）分布列见解析；【解析】（1）利用组合的知识计算出基本事件总数和满足题意的基本事件数，根据古典概型概率公式求得结果；（2）确定所有可能的取值，根据超几何分布概率公式可计算出每个取值对应的概率，进而得到分布列和数学期望.【小问1详解】名同学中，会法语的人数为人，从人中选派人，共有种选法；其中恰有人会法语共有种选法；选派的人中恰有人会法语的概率.【小问2详解】由题意可知：所有可能的取值为，；；；；的分布列为：数学期望为20、【解析】求出当命题、分别为真命题时实数的取值范围，分析可知、中一真一假，分真假、假真两种情况讨论，求出对应的实数的取值范围，综合可得结果.【详解】解：若为真命题，则，即，解得，若为真命题，则，解得，因为“”为假命题，“”为真命题，则、中一真一假，若真假，则，可得，若假真，则，此时.综上所述，实数的范围为.21、（1）（2）证明见解析【解析】（1）设点，由即所以化简即可得到答案.（2）设，，设直线l的方程为：与（1）中W的轨迹方程联立，得出韦达定理，求出，同理设直线的方程为：，得出，再根据从而可证明结论.【小问1详解】设点，因为，所以，因为，所以所以所以所以所以C的方程为：【小问2详解】设，，设直线l的方程为：，则由得：所以，，所以所以设直线的方程为：，则同理可得因所以即，即，即解得，即所以为定值.22、（1）证明见解析（2）【解析】（1），连接，证明，再根据线面平行的判定定理即可得证；（2）说明平面，取的中点F，连接，以D为原点，分别以的方向为x，y，z轴