同济大学材料力学2课件

第一章 绪论

材料力学的任务

一、研究构件的强度、刚度和稳定

1．强度要求所谓强度，是指构件或材料抵抗破坏的能力。为了保证构件的正常工作，首先要求构件应具有足够的强度，在荷载作用下不发生破坏。

2．刚度要求所谓刚度，是指构件抵抗变形的能力。工程中对构件的变形根据不同的工作情况给予一定的限制，使构件在荷载作用下产生的弹性变形控制在一定的范围内，这就是要求构件具有足够的刚度。

3．稳定要求所谓稳定要求，就是指承受荷载作用时构件在其原有形状下的平衡应保持为稳定平衡。对于受压杆件要求它在压力作用下不丧失稳定，而具有足够的稳定性。二、研究材料的力学性质材料力学还要通过试验来研究材料在荷载作用下表现的力学性质，并在此根底上为构件选择适宜的材料。三、合理解决平安与经济的矛盾在满足强度、刚度及稳定性的条件下，以最经济的代价，为构件确定合理的形状和尺寸，以及为构件选择所适宜的材料。并为设计提供必要的理论依据。第二章 拉伸与压缩一、轴向拉伸（压缩）时的内力与应力

1．横截面上的内力、轴力图及应力

a．内力及轴力图内力的符号规定为：拉伸为正，压缩为负。当x=l时，为轴力最大处，其值为

设立坐标如图，在任意位置x处截取一段脱离体作为研究对象。根据平衡条件，可得：

解

（1）内力沿杆轴的分布首先将杆的自重简化成沿杆轴均匀分布的荷载。

脱离体图（2）绘制轴力图

轴力图b．横截面上的应力平面假设：变形前原为平面的横截面，变形后仍保持为平面。由实验观察后得出的平面假设，可推断横截面上的正应力均匀分布的。其表达式为：

——(2-1)N为正时，为拉应力；N为负时，为压应力。图2-1所示杆件，各段的应力可表达为：图2-1式(2-1)的应用：图2-2所示杆件为变截面杆，任意横截面上的内力N=P，其应力则根据横截面面积的不同而发生变化。

图2-2图2-3所示为例2之悬挂杆，其轴力上面已求出，为：

任意横截面上的应力为：图2-3

2．斜截面上的应力图2-4a任意斜面上的应力（m-m面）可表达为：——(2-2)当时，即为横截面，此时正应力达最大其中：（横截面上的正应力） ——m-m面上的正应力 ——m-m面上的剪应力当时，剪应力达最大值和最小值见图2-4b

图2-4

b二、轴向拉伸（压缩）时的强度条件——(2-3)

为许用应力，它是由材料的极限应力除以安全系数而得出的，即对于塑性材料：对于脆性材料：根据强度条件式(2-3)，我们可以对构件进行三种不同情况下的强度计算：1．强度校核在已知荷载，构件的截面尺寸和材料的情况下，可对构件的强度进行校核，即2．截面设计在已知荷载和选定了制造构件所用材料的情况下，可确定构件所需的横截面积，即3．计算容许荷载在已知构件的横截面面积及材料的容许应力的情况下，可确定构件能够承受的轴力，即再由轴力N与外力P之关系，确定容许荷载[P]。

〔1〕假设P=10KN，校核两杆的强度；〔2〕结该构架的容许荷载[P]；〔3〕根据容许荷载，试重新选择杆①的直径。

例3钢木构架如图，杆①为钢制圆杆，A1=600mm2，；杆②为木杆，A2=10000mm2，。例3图解〔1〕校核两杆强度，先绘节点B受力图，由静力平衡条件得：节点受力图两杆强度均满足。

（拉）——①（压）——

②

〔2〕确定该构架的容许荷载[P]。由杆①：代入式①得：

由杆②：代入式②得：

为了使两杆均安全，最终确定容许荷载[P]=40.4KN。

〔3〕由容许荷载[P]=40.4KN，设计杆①的直径。当构架在[P]=40.4KN作用下，杆②横截面上的应力恰到好处，正好是达到值，对杆①来说，强度仍有余，即杆①的截面还可减小。根据强度条件：三、轴向拉伸〔压缩〕时的变形计算及刚度条件1．轴向变形，虎克定律，泊松比——(2-4)以应力一应变表示的虎克定律——(2-5)式中E——弹性模量v——泊松比——(2-6)

2．式(2-4)的应用a.等直杆受图2-5所示荷载作用，计算总变形。（各段EA均相同）图2-5b.阶梯杆，各段EA不同，计算总变形。

图2-6总变形：

内力：dx段的变形：

图2-7c.受轴向均匀分布荷载作用的杆。（图2-7所示悬挂杆在自重作用下，容重为）内力：N=P

dx段的变形：

总变形：

d.图2-8所示变截面杆的变形计算

图2-8e.静定汇交杆的位移计算，以例题说明。

例4图示结构由两杆组成，两杆长度均为l，B点受垂直荷载P作用。〔1〕杆①为刚性杆，杆②刚度为EA，求节点B的位移；〔2〕

杆①、杆②刚度均为EA，求节点B的位移。例4图节点B受力图解〔1〕a.绘节点B受力图，并求出两杆内力。由平衡条件可解得：

b.绘节点B的位移图，求解节点B的位移。由节点位移图1可得节点B的位移：

节点B位移图1解〔2〕节点受力图同上，节点位移图2见图。节点B位移图2由节点位移图2可得节点B的水平及垂直位移分别为：

节点B的总位移

节点B位移图22．轴向拉〔压〕杆的刚度条件和视结构的适用条件而定。或——(2-7)——(2-8)四、轴向拉伸（压缩）强度计算和刚度计算小结（见框图）

五、拉压超静定问题*注：杆件内力与杆件变形必须相一致。

1．简单超静定问题的求解方法（见框图）

例5图示结构由刚性杆AC，BC和三根弹性杆①、②、③铰接而成。杆①、②、③材料和截面尺寸相同。已知，试确定容许荷载及三杆的内力。例5图

解（1）画节点C、D的受力图，并列出平衡方程。节点C、D受力图由节点C受力图：由节点D受力图：〔2〕画节点位移图并建立变形几何关系方程。节点位移图将物理关系代入得：

化简后得：

〔3〕确定容许荷载[P]及各杆内力由于三杆材料截面相同，各杆容许轴力相等。联立(1)、(2)、(3)式可求得：代入上面(a)、(b)、(c)三式可分别得将[P]代入(a)、(b)、(c)式可得各杆内力为

在加工构件时，由于尺寸上的一些微小误差，对超静定结构则会在构件内产生应力，这种应力称为装配应力。

2．装配应力

例6两杆EA相同，水平杆为刚性杆。杆②比设计长度l短了，求安装后两杆的内力和应力。例6图解法一：〔一〕绘受力图，列平衡方程，根据实际情况，杆②在C点安装后，杆②受拉，杆①受压，受力图如图示。受力图一根据平衡条件得：〔二〕绘变形几何关系图如图示即：

根据图可得变形几何关系方程为变形几何关系图一〔三〕求解内力和应力联立(a)、(b)可得：

解法二：（一）如不清楚两杆受拉还是受压，可先假定两杆均受拉。绘出受力图二，并列平衡方程

受力图二根据变形几何关系图二可列出变形几何方程为

即：

（二）绘变形几何关系图二

变形几何关系图二N1的负号表示与假设拉力不符，杆①应是受压力。

联立(a’)、(b’)可解得：（三）求解内力和应力3．温度应力

在超静定结构中，由于各个杆件的变形受到相互的制约，当温度改变时，必然要在杆内引起附加应力，由于温度改变而在杆内引起的应力称为温度应力。

式中：——为材料的线膨胀系数。

对于无约束的