2023高一数学暑假精讲精练1.1集合的概念与表示新人教A版

第一章《集合与常用逻辑用语》1．1集合的概念知识点一元素与集合的概念1．元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．2．集合：把一些元素组成的总体叫做集合，(简称为集)，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．3．集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．4．集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性．知识点二元素与集合的关系1．属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.2．不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A.知识点三常见的数集及表示符号数集非负整数集(自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR知识点四列举法把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．知识点五描述法一般地，设A是一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．题型一、集合的概念命题点1.判断元素能否构成集合1．下列各对象可以组成集合的是（

）A．与非常接近的全体实数B．北大附中云南实验学校学年度第二学期全体高一学生C．高一年级视力比较好的同学D．高一年级很有才华的老师【答案】B【详解】对于ACD，集合中的元素具有确定性，但ACD中的元素不确定，故不能构成集合，ACD错误；B中的元素满足集合中元素的特点，可以构成集合，B正确.故选：B.命题点2.判断是否为同一集合2．下列四组集合中表示同一集合的为（

）A．，B．，C．，D．，【答案】B【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；对D，是以为元素的集合，是空集，则D不正确．故选：B．命题点3.根据集合相等关系进行计算3．设全集，集合，，且，则实数______．【答案】3或-1【详解】由题意，或m=-1.故答案为：3或-1.题型二、元素与集合命题点1.判读元素与集合的关系1．（多选）下列关系中，正确的是（

）A． B．QC．－3∈N D．∈Z【答案】AB【详解】根据常见数集的范围：，故A正确；不是有理数，所以Q.故B正确；N为自然数集合，所以－3N.故C错误；为无限不循环小数，所以.故D错误.故选：AB命题点2.根据元素与集合的关系求参数2．若，则的值为（

）A． B． C．或 D．【答案】A【详解】若，则，不符合集合元素的互异性；若，则或（舍），此时，符合题意；综上所述：.故选：A.命题点3.根据集合中元素的个数求参数3．若集合A={x∈R|ax2+ax+1=0}中只有一个元素，则a=________．【答案】4【详解】中只有一个元素，若，方程等价为，等式不成立，不满足条件．若，则方程满足，即，解得或（舍去）．故答案为：4题型三、集合中元素的特性命题点1.利用集合元素的互异性求参数1．已知集合与相等，则实数__________．【答案】2【详解】因为集合与相等，则，解得．故答案为：2.命题点2.利用集合中元素的性质求集合元素个数2．已知集合，，则集合（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】由题，当时最小为，最大为，且可得，故集合故选：D命题点3.集合元素互异性的应用3．由，，可组成含个元素的集合，则实数的取值可以是（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由元素的互异性可得，解得且且.故选：C.题型四、集合的表示方法命题1.描述法表示集合1．用描述法表示下列集合：(1)偶数组成的集合；(2)正奇数组成的集合；(3)不等式－x2≥0的解集；(4)平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合；(5)集合.【答案】(1){x|x＝2n,n∈Z}或{x|x为偶数}(2){x|x＝2n＋1,n∈N}或{x|x为正奇数}(3){x|－x2≥0}(4){(x,y)|x>0,y<0}(5)且【详解】(1)由偶数可以表示成整数的两倍，故偶数组成的集合可表示为{x|x＝2n,n∈Z}或{x|x为偶数}(2)由奇数可以表示成整数的两倍加1，故正奇数组成的集合可表示为{x|x＝2n＋1,n∈N}或{x|x为正奇数}(3)不等式－x2≥0的解集可表示为{x|－x2≥0}(4)由第四象限的点横坐标为正，纵坐标为负故平面直角坐标系中第四象限内的点组成的集合可表示为：{(x,y)|x>0,y<0}(5)集合可用描述法表示为且命题2.列举法表示集合2．用列举法表示下列集合：(1){不超过30的素数}；(2){五边形的对角线}；(3){的正约数}；(4).【答案】(1)(2)(3)(4)【详解】(1)集合不超过30的素数可表示为.(2)集合五边形的对角线可表示为.(3)集合{的正约数}可表示.(4)集合可表示.命题3.列举法求集合中元素的个数3．已知，．求B中所含元素的个数．【答案】10【详解】列举法得出集合，共含个元素．1．下面各组对象中不能形成集合的是（

）A．所有的直角三角形 B．一次函数C．高一年级中家离学校很远的学生 D．大于2的所有实数【答案】C【详解】所有的直角三角形，能形成直角三角形集合，一次函数，元素是确定的，可以形成集合，大于2的所有实数，能形成集合，而高一年级中家离学校很远的学生，这里的“很远”的标准不确定，因而这里的学生就不确定，所以高一年级中家离学校很远的学生不能形成集合，故选：C2．下列关于集合的说法正确的有（

）①很小的整数可以构成集合；②集合与集合是同一个集合；③1，2，，0.5，这些数组成的集合有5个元素．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】A【详解】很小的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故①错误．集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故②错误．1，2，，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故③错误．故选：A．3．设集合，，若，则实数___________.【答案】-1【详解】∵，∴，，此时，满足题意，∴．故答案为：-1．4．（多选）下列表示正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BD【详解】表示自然数集，故A不正确、B正确；表示整数集，故C不正确；表示有理数集，故D正确.故选：BD5．（多选）已知集合，，则为（

）A．2 B． C．5 D．【答案】BC【详解】依题意，当时，或，若，则，符合题意；若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.当时，或，若，则，对于集合，不满足集合元素的互异性，所以不符合.若，则，符合题意.综上所述，的值为或.故选：BC6．已知，若集合A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（

）A． B．C． D．【答案】D【详解】由题意可知，可得.故选：D7．若，则______.【答案】【详解】若，则，此时，，不合题意，舍去；若，则或，因为不合题意，舍去.故.故答案为：.8．已知集合，，，则C中元素的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【详解】由题意，当时，，当，时，，当，时，，即C中有三个元素，故选：C9．若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（

）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．菱形【答案】C【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.10．用描述法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数组成的集合；(2)不等式的解集；(3)方程的所有实数解组成的集合；(4)抛物线上所有点组成的集合；(5)集合.【答案】(1)(2)(3)(4)(5)且【详解】(1)所有被3整除的整数组成的集合，用描述法可表示为：(2)不等式的解集，用描述法可表示为：.(3)方程的所有实数解组成的集合，用描述法可表示为：.(4)抛物线上所有点组成的集合，用描述法可表示为：.(5)集合，用描述法可表示为：且.11．用列举法表示下列集合：(1)中国国旗的颜色组成的集合；(2)单词mathematics中的字母组成的集合；(3)自然数中不大于10的质数组成的集合；(4)同时满足的整数组成的集合；(5)由＋(a,b∈R)所确定的实数组成的集合.【答案】(1){红，黄}(2){m,a,t,h,e,i,c,s}(3){2,3,5,7}(4){－1,0,1,2}(5){－2,0,2}【详解】(1)由题意，中国国旗的颜色有红、黄两种故中国国旗的颜色组成的集合为{红，黄}(2)集合中的元素具有互异性，除去相同的字母单词mathematics中的字母组成的集合为{m,a,t,h,e,i,c,s}(3)自然数中不大于10的质数有2,3,5,7故自然数中不大于10的质数组成的集合为{2,3,5,7}(4)，故同时满足的整数有－1,0,1,2对应的集合为：{－1,0,1,2}(5)由题意，当时，＋；当时，＋；当时，＋；当时，＋故由＋(a,b∈R)所确定的实数组成的集合为{－2,0,2}12．在下列集合中，哪些是非空的有限集合？哪些是无限集合？哪些是空集？（1）小于100的全体素数组成的集合；（2）线段内包含中点的所有线段组成的集合；（3）；（4）.【答案】（1）非空的有限集合；（2）无限集；（3）空集，有限集；（4）无限集.【详解】因为小于100的全体素数为:其个数可数,故该集合为非空的有限集;因为线段内包含中点的所有线段个数不可数,故该集合为无限集;因为方程无实数根,故该集合为空集，也是有限集;因为直线上有无穷多个点,故该集合为无限集.1．已知集合，则A中元素的个数为（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【详解】由椭圆的性质得，又,所以集合共有11个元素.故选：C2．已知集合，，则集合中元素个数为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【详解】因为，，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C3．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】，，,故选：C4．下列关系中正确的个数是（

）①，②，

③，

④A． B． C． D．【答案】B【详解】①错误②正确③错误④正确故选：B5．给出下列关系：①∈R；②∈Q；③－3Z；④N，其中正确的个数为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【详解】是实数，①正确；是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－是无理数，④正确.所以正确的个数为2.故选：B.6．设集合，集合且，则（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】集合，集合，当时，可得；当时，可得；当时，可得.综上.故选：C7．对任意，总有且，若，则满足条件的非空集合的个数是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】，，由题意可知且，由于，所以，和不同时在集合中.①当且时，则符合条件的集合有：、、，共种；②若和有且只有一个在集合中，则符合条件的集合有：、、、、、、、，共种.综上所述，满足条件的非空集合的个数是.故选：A.8．已知集合，，，且，，，若，则．A． B．C． D．且【答案】B【详解】由题意，设，，，，，，则，令，则，且，，则，故选B．9．集合﹛x∈Z|(x-2)(x2-3)=0﹜用列举法表示为()A． B． C． D．﹛2﹜【答案】D【详解】由得或，又∵，∴，用列举法表示为，故选D.10．定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（）A．0 B．2 C．3 D．6【答案】D【详解】根据题意，设A={1，2}，B={0，2}，则集合A*B中的元素可能为：0、2、0、4，又由集合元素的互异性，则A*B={0，2，4}，其所有元素之和为6；故选D．11．已知集合，若，则实数的值构成的集合为_________．【答案】【详解】因为集合，且所以或（1）当时，此时，符合题意.（2）当时，解得或当时，与集合元素的互相性矛盾，舍去；当时，符合题意.综上可知实数的值构成的集合为故答案为：12．已知均为非零实数，则代数式的值所组成的集合的元素个数是______．【答案】2【详解】根据题意分2种情况讨论：当全部为负数时，为正数，则；当全部为正数时，为正数，则；当一正一负时，为负数，则；综上可知，的值为或3，即代数式的值所组成的集合的元素个数是2故答案为：213．已知，则实数______．【答案】，或【详解】因为，（1），解得或，当时，与集合的互异性矛盾，舍去；（2），解得或；（3），解得，与集合的互异性矛盾，舍去；综上可知，实数a的取值可以为或或；故答案为：，或14．若关于的方程的解集为单元素集合，则实数______．【答案】0或【详解】由于关于的方程的解集为单元素集合，即方程有唯一解（1）当时，，方程有唯一解；（2）当时，综上0或故答案为：0或15．设为实数，关于的不等式组的解集为A，若，则的取值范围是_____________【答案】【详解】由题意，，则或，解得或.故答案为：16．已知集合，在下列条件下分别求实数m的取值范围：(1)；(2)恰有一个元素.【详解】(1)若，则关于x的方程没有实数解，则，且，所以，实数m的取值范围是；(2)若A