新高考一卷逐题搞定之第十七题教师版

新高考一卷逐题搞定第十七题真题展示记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）利用等差数列的通项公式求得，得到，利用和与项的关系得到当时，,进而得：，利用累乘法求得，检验对于也成立，得到的通项公式；（2）由（1）的结论，利用裂项求和法得到，进而证得.【详解】（1）∵，∴,∴,又∵是公差为的等差数列，∴,∴,∴当时，，∴,整理得：,即,∴，显然对于也成立，∴的通项公式；（2）∴优秀模拟题1．（2022·天津·高考真题）设是等差数列，是等比数列，且．(1)求与的通项公式；(2)设的前n项和为，求证：；(3)求．【答案】(1)(2)证明见解析(3)【分析】（1）利用等差等比数列的通项公式进行基本量运算即可得解；（2）由等比数列的性质及通项与前n项和的关系结合分析法即可得证；（3）先求得，进而由并项求和可得，再结合错位相减法可得解.（1）设公差为d，公比为，则，由可得（舍去），所以；（2）证明：因为所以要证，即证，即证，即证，而显然成立，所以；（3）因为，所以，设所以，则，作差得，所以，所以.2．（2022·全国·高考真题）已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且．(1)证明：；(2)求集合中元素个数．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出．（1）设数列的公差为，所以，，即可解得，，所以原命题得证．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为．3．（2022·浙江·高考真题）已知等差数列的首项，公差．记的前n项和为．(1)若，求；(2)若对于每个，存在实数，使成等比数列，求d的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列通项公式及前项和公式化简条件，求出，再求；(2)由等比数列定义列方程，结合一元二次方程有解的条件求的范围.（1）因为，所以，所以，又，所以，所以，所以，（2）因为，，成等比数列，所以，，，由已知方程的判别式大于等于0，所以，所以对于任意的恒成立，所以对于任意的恒成立，当时，，当时，由，可得当时，，又所以4．（2022·全国·高考真题）已知函数．(1)当时，讨论的单调性；(2)当时，，求a的取值范围；(3)设，证明：．【答案】(1)的减区间为，增区间为.(2)(3)见解析【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.（1）当时，，则，当时，，当时，，故的减区间为，增区间为.（2）设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有，

所以在上为减函数，所以.综上，.（3）取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式.5．（2022·全国·高考真题（理））记为数列的前n项和．已知．(1)证明：是等差数列；(2)若成等比数列，求的最小值．【答案】(1)证明见解析；(2)．【分析】（1）依题意可得，根据，作差即可得到，从而得证；（2）法一：由（1）及等比中项的性质求出，即可得到的通项公式与前项和，再根据二次函数的性质计算可得．【详解】（1）因为，即①，当时，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以为公差的等差数列．（2）[方法一]：二次函数的性质由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，所以，所以，当或时，．[方法二]：【最优解】邻项变号法由（1）可得，，，又，，成等比数列，所以，即，解得，所以，即有.则当或时，．【整体点评】（2）法一：根据二次函数的性质求出的最小值，适用于可以求出的表达式；法二：根据邻项变号法求最值，计算量小，是该题的最优解．6．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知．(1)求函数的值域；(2)若方程在上的所有实根按从小到大的顺序分别记为，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先利用二倍角的正弦公式化简，以及换元得函数，再利用导数求函数的值域；（2）首先由方程得，再利用三角函数的对称性，得是等差数列，再求和.【详解】（1）令，则，，，得，当，，单调递减，当时，，单调递增。所以，所以，的值域是（2）由已知得，解得或（舍去），由得函数图象在区间且确保成立的，对称轴为在内有11个根，数列构成以为首项，为公差的等差数列．所以.7．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）已知是公差为1的等差数列，且成等比数列．(1)求的通项公式；(2)求数列的前n项和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等比中项的性质结合等差性质得出通项公式；（2）由裂项相消求和法求解即可.【详解】（1）由题意得，故，所以的通项公式为．（2）8．（2022·浙江绍兴·一模）已知数列满足，.有以下三个条件：①（，）；②；③（）；从上述三个条件中任选一个条件，求数列的通项公式和前项和.【答案】，【分析】选①根据递推关系式构造等比数列，再构造等差数列即可求得；选②根据递推关系式，结合累乘法求得；选③利用前项和与通项的关系，相减求得；求前前项和采用错位相减法即可.【详解】解：选①由（，）得，故是公比为2的等比数列，则即，故是公差为的等差数列，则，即.选②由得，故化简得，即也满足选③由

（1）得当时，

（2）由（1）－（2）得，故也满足，因此，两式相减得化简得9．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列满足，当时，，的前项和为.(1)求数列的通项公式及；(2)数列是等比数列，为数列的公比，且，记，证明：【答案】(1)，(2)证明见解析【分析】（1）根据累加法可得的通项公式，再利用公式求即可；（2）利用数列恒正可得左边，右边利用适当的放缩法即可得出结果.【详解】（1）当时，累加可得且当时，符合，.由等差数列前项和的公式可得：（2）由（1）得，对于左边，，又，对于右边，,.综上：成立.10．（2022·上海市光明模拟预测）已知数列，满足：存在，对于任意的，使得，则称数列与成“k级关联”．记与的前n项和分别为，．(1)已知，判断与是否成“4级关联”，并说明理由；(2)若数列与成“2级关联”，其中，且有，，求的值；(3)若数列与成“k级关联”且有，求证：为递增数列当且仅当．【答案】(1){bn}与{an}不成“4级关联”，理由见解析(2)2022(3)证明见解析【分析】（1）根据“4级关联”的定义判断；（2）根据“4级关联”的可得，根据累加法即数列的周期性可求；（3）根据定义可得，再分别证明结论的充分性和必要性即可．【详解】（1））由，可得，显然，等式不恒成立，举反例：时，有：左右．∴与不成“4级关联”．（2）由可得：，利用累加法：，整理得：，由可知：且第一周期内有，所以，而又因为，故；（3）证明：由已知可得，所以，所以，（a）先说明必要性．由为递增数列可知：，当时，，所以，当时，，由（*）式可知：，故，（必要性得证）（b）再说明充分性．考虑反证法．假设数列中存在两项满足，得到，由于结合，能够得到：，可知对于全体正整数都成立，这与存在一项矛盾！假设不成立，（充分性得证）由（a）、（b），命题得证．11．（2022·河南·模拟预测（理））若数列满足,．(1)证明:是等比数列；(2)设的前n项和为,求满足的n的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)7【分析】(1)根据题意构造数列证明等比,求出首项及公比即可,(2)由(1)求出的通项公式,与题中等式联立,求出通项公式,进而求出前n项和为,代数使得即可求出n的最大值.【详解】（1）证明：因为,所以,,故,又,则,,故是以－1为首项,2为公比的等比数列．（2）由(1)得①,又②,②－①得,,故,易得为递增数列,又,,,故n的最大值为7.12．（2022·河南·模拟预测（理））若数列满足，．(1)求的通项公式；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【分析】（1）运用累加法即可求出的通项公式；（2）运用裂项相消法即可证明.【详解】（1）因为，，所以，故；（2）证明：当n＝1时，；当时，，则，故；综上，.13．（2022·四川绵阳·一模（理））已知数列满足：，，（）．(1)证明：数列是等比数列；(2)求数列的通项公式．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】(1)结合递推公式利用等比数列的定义证明即可；(2)结合(1)中结论，利用累加法和等比数列求和公式即可求解.【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴数列{}是以为首项，4为公比的等比数列．（2）由（1）知，，当时，当n=1时，满足上式．所以，．14．（2022·河南河南·一模（文））已知等比数列的前项和为.(1)求数列的通项公式；(2)若构成等差数列的前3项，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由、两式相减得，可得公比，再求出首项，即可写出通项公式；（2）由等差中项性质列式求出m，即可求出数列、通项公式，最后用错位相减法即可求和【详解】（1）依题意：，当时，，两式相减得：，（）．∵数列是等比数列，∴．当时，，即，解得．∴．（2）由（1）知，，，依题意可得：，，则等差数列前3项分别为8，12，16，公差，∴．．．…①①得：．…②②①得：．∴．15．（2022·广西·模拟预测（理））设数列的前项和为，且满足(1)求数列的通项公式；(2)设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1)(2)【分析】(1)型的数列，利用公式来解决.(2)，等差数列与等比数列的积数列的求和，用错位相减法．【详解】（1）因为，当时，，解得当，时，，所以，得即，可知数列是首项为1，公比为5的等比数列，所以（2）由（1）可知，所以，所以，所以，则，两式相减，可得.，化简得16．（2022·四川雅安·模拟预测（理））给出以下条件：①，，成等比数列；②，，成等比数列；③是与的等差中项．从中任选一个，补充在下面的横线上，再解答．已知单调递增的等差数列的前n项和为，且，______．(1)求的通项公式；(2)令是以2为首项，2为公比的等比数列，数列的前n项和为．若，，求实数的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【答案】(1)；(2).【分析】（1）选①②，利用等比中项列式求出公差即可；选③利用等差中项列式求出公差即可.（2）根据给定条件结合（1）求出，再利用错位相减法求出，将给定不等式变形，分离参数构造数列，探讨单调性即可作答.【详解】（1）选①，设递增等差数列的公差为，由，，，有，化简得．则，，所以的通项公式为．选②，设递增等差数列的