第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷解析（五年级组）

五年级组五年级组第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷（五年级组）2014年1月19日8:30~9:50时间：80分钟总分：120分一、判断题（每题1分）【第1题】小数点在十进制中用来隔开整数部分和小数部分中国魏晋时代的数学家刘徽第一个“小数这一概念用文字表达出来……………（ 【分析与解】7【第2题】做小数加减法时要把小数点对齐在小数乘法法则中两个因数中一共有几位小数就要从积的左边向右数几位点上小数点…………………………（ 【分析与解】第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷3题】中国古代数学最重要的典籍应当是《九章算术，魏晋数学家刘徽用割圆术证明了圆面积的精确公式，并给出了计算圆周率的科学方法……………（ 【分析与解】11为了证明这个公式，我国魏晋时期数学家刘徽于公元263年撰写《九章算术注》，在这一公式后面写了一篇1800【第4题】）【分析与解】在一个由若干个排列整齐的数组成的正方形中，图中任意一横行、一纵行及对角线的几个数之和都相等，具有这种性质的图表，称为“幻方”。中国古代称为“河图”、“洛书”，又叫“纵横图”。十三世纪，中国南宋数学家杨辉在世界上首先开展了对幻方的系统研究。填“√”。第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷5题】的和。于是，他提出了一个猜想：是不是任何一个比2大的偶数都能表示为两个奇素数的和呢？………………………（【分析与解】1742年6月7日，普鲁士数学家克里斯蒂安·哥德巴赫在写给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的通信中，提出了21也是素数”的约定。现今数学界已经不使用这个约定了。哥德巴赫原初猜想的现代陈述56月0日的回信中注明此一猜想可以有另一个等价254只能表示为41322，即4不能表示为两个奇素数的和。故填“×”。第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷二、填空题（每题二、填空题（每题8分）【第6题】在1001当中嵌入一个数码组成五位数若这个五位数能被7整除则嵌入的数“□”是 。【分析与解】数论，整除。若五位数10□01能被7整除；则10□011010□010能被7整除；如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7整除，那么这个数能被7整除。即01010□，则10□109□能被7整除；997141；99198能被7整除；98791也能被7整除；“□”是1或8。【第7题】在，22，32，…，952这95个数中，十位数字是奇数的数共有 个。【分析与解】数论，完全平方数。10ab210a20abb2；020，121，224，329，4216，5225，6236，7249，8264，9281；如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方数的个位数字是6，则它的十位数字一定是奇数。故若完全平方数n2的十位数字是奇数，则n2的个位数字是6，n的个位数字是4或6；1~95中，个位数字是4或6的有19个；故在2232952这95个数中，十位数字是奇数的数共有19个。第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷8题】某商店出售一种商品，有以下几种方案：先提价10，再降价10%先降价10，再提价10%2020%先提价30，再降价在这四种销售方案中，价格最低的是方案 。【分析与解】经济问题。A：最后的价格是原来的10%10%0.10.1；B：最后的价格是原来的10%10%0.10.1；方案C：最后的价格是原来的20%20%0.20.20.22方案D：最后的价格是原来的130%130%10.310.3120.32；因为0.120.220.32；所以120.12120.22120.32；故在这四种销售方案中，价格最低的是方案D。【第9题】画两条直线将正方形分成四个形状相同、大小相等的图形，共有 种画法。【分析与解】图形剪拼。这两条直线只要都过正方形的中心（正方形的对角线的交点）且相互垂直；则这两条直线一定将这个正方形分成四个形状相同、大小相等的图形；故画两条直线将正方形分成四个形状相同、大小相等的图形，共有无数种画法。第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷10题】某年级有甲、乙、丙三个班级，甲班比乙班多4个女生，乙班比丙班多1个女生。如果把甲班的第一组调到调到甲班，则三个班的女生人数恰好相等。若已知丙班第一组有2个女生，则甲班第一组有女生 人，乙班第一组有女生 人。【分析与解】平均数问题。以“丙班原来的女生人数”为基准，乙班比丙班多1个女生，甲班比丙班多415个女生；丙班比原来增加1532个女生，乙班比原来增加211个女生，甲班比原来减少523个女生；甲班第一组有女生325人；乙班第一组有女生514人。【第11题】两列火车分别从两座城市同时出发相向而行，3.3小时后在途中相遇。如果甲车提前24分钟出发，那么乙车出发3小时后两车还需行14千米才能相遇如果乙车提前36分钟出发那么甲车出发3小时后两车还需行9千米才能相遇。两座城市相距 千米。【分析与解】行程问题。设甲车的速度为x千米/时，乙车的速度为y千米/时；两座城市之间的距离3.3xy24x3xy1436y3xy9；60 6024x3xy143.3xy36即36y3xy93.3xy60x115解得y85；两座城市相距115853.3660千米。第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷PAGE12题】如图，直线a平行于直线b。直线a上有10个点，分别是、a2、、…、，直线b上有11个点，分别是、、、…、。将a上的每个点与b上的每个点相连，可以得到许多线段。已知没有三条线段相交于直线a、b外的一点，这些线段一共有 个交点（不包括、a2、…、，、、…、。a a

a2 a3 …

a10bb1 b2 b3

… b11【分析与解】图形计数。a a

a2 a3

M … N

a10bb1 b2 b3 P

… Q b11如图所示，如果注意到下面这个事实：aMN与直线bP、QMNQPNQNP的交点恰好是我们要计数的点。同时，对于任意四点（直线a、b上分别任取两个点）都可以产生一个这样的交点，所以图中两条线段的交点与四边形有如下的对应：交点 四边形MNQP这说明，为了计数出有多少个交点，我们只需要求出在直线a与b中有多少个满足条件的四边形MNQP就可以了。a上有10个点，直线b上有11MNQPMNaP、Q位于直线b上。这是一个常规的组合计数问题，可以用乘法原理分2步计算：10第1MN，有12999245或C210

10945种选择方式；21第2步，确定线段PQ，有121011010255或C2111055种选择方式；11 21根据乘法原理，共可产生45552475个四边形。而已知没有三条线段相交于直线a、b外的一点，那么这些线段一共有2475个交点。第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷现有91根小棒，长度分别是，2cm，，4cm，…，，从中至少选出 根小棒就一能围成一个三角形。【分析与解】最不利原则。一方面，假设存在8根小棒不能组成三角形；从小到大第3个数不小于123，从小到大第4个数不小于1236，从小到大第5个数不小于123612，从小到大第6个数不小于12361224，从小到大第7个数不小于1236122448，从小到大第8个数不小于123612244896，这与最长的小棒不大于91矛盾；故原假设不成立，即任意选出8根小棒都能组成三角形。另一方面，长度分别为1，2，3，6，12，24，48的这7根小棒不能围成一个三角形。综上所述，从中至少选出8根小棒就一定能围成一个三角形。【第14题】幼儿园老师把270个苹果、180个梨和235个橘子平均分给大班小朋友余下的苹果梨和橘子的数量之比是3:2:1。大班有 名小朋友。【分析与解】数论，同余。如果橘子的个数扩大到原来的3即2353705与270分别除以大班小朋友的人数，余数相同；大班小朋友的人数是705270435的约数；如果橘子的个数扩大到原来的2倍，那么余下的橘子数量将与余下的梨的相等；即2352470与180分别除以大班小朋友的人数，余数相同；大班小朋友的人数是470180290的约数；则大班小朋友的人数是435290的公约数；435,290529145；大班小朋友的人数是是145的约数：1、529、145；①当大班有1名小朋友时，2701270，1801180，2351235；余下0个苹果、0个梨、0个橘子，不符题意；②当大班有5名小朋友时，2705254，180536，235547；余下0个苹果、0个梨、0个橘子，不符题意；③当大班有29名小朋友时，2702999，1802966，2352983；余下9个苹果、3个梨、3个橘子，9:6:33:2:1，符合题意；④当大班有29名小朋友时，2701451125，180145135，235145190；余下125个苹果、35个梨、90个橘子，125:35:903:2:1，不符题意；经检验，大班有29名小朋友。第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷15题】对于正整数n如果能找到正整数a和b使得nabab那么n就称“好数例如31111，以3在1至0这0有 。【分析与解】数论，合数。nabab；n1abab1a1b1；a1和b1n1大于1n1是合数；2~1012674n1有74种情况；在1至100这100个正整数中，有74个“好数”。【第16题】一个棋盘有13行17列，每个小方格里都写了一个数，从左上角开始，第一行依次为1，2，…，17；第二行依次为18，1934一直写到最后一行现将此棋盘里的数重写从左上角开始第一列从上到下依次为1，2，…，13第二列从上到下依次为14，15，…，26一直写到最后一列这样有一些小方格在两种写法里有相同的数，则所有这些小方格里（有相同数的）的数之和为 。【分析与解】不定方程。xy列（1≤x≤3，1≤y≤17；这个数x17yy13x；化简，得4x3y1；x1 x4 x7 x10 x13解得y1或y5或y9或y13或y17； 两种写法里有相同的数有5个：1，56，111，166，221；则所有这些小方格里（有相同数的）的数之和为156111166221555。第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷第7题2分，第8题5【第17题】ABCDACBD相交于OSABD10ABC12，S△BDC20S△BOC的面积是多少？DAOB C【分析与解】等积变形，任意四边形蝴蝶模型。SAOBAOSAODAO；S△BOC CO S△COD CO所以S△AOBS△AODAO，即S△ABDAO；S△BOCS△COD CO S△BDC COSABD10S△BDC20AO101；CO 20 2SAOB1；S△BOC 2S△BOCS

21228。3 3第十二届“小机灵杯”智力冲浪展示活动决赛试卷18题】abcde是连续的正整数，且abcdebcdabcde是完全立方数，那么c最小值是多少？【分析与解】数论，完全平方数，完全立方数。a，b，c，d，e是连续