浅析“同心协力”策略研究

“同心协力”策略研究摘要“同心协力”（又称“同心鼓”）是一项团队协作能力拓展项目。该项目的道具是一面牛皮双面鼓，鼓身中间固定多根绳子，绳子在鼓身上的固定点沿圆周呈均匀分布，每根绳子长度相同。团队成员每人牵拉一根绳子，使鼓面保持水平。项目开始时，球从鼓面中心上方竖直落下，队员同心协力将球颠起，使其有节奏地在鼓面上跳动。颠球过程中，队员只能抓握绳子的末端，不能接触鼓或绳子的其他位置。针对问题一，项目目标为连续颠球次数尽可能多，由于本题条件为理想状态，即我们只需要考虑所有人的合拉力在竖直方向的分力能使排球达到离鼓面40cm的高度即可。初始状态，同心鼓处于静止状态，同心鼓速度为0；当合拉力在竖直方向上的分力>同心鼓的重力时，同心鼓获得向上的速度；排球初速度为0，做自由落体运动，当下落40cm时与向上运动的同心鼓发生完全弹性碰撞。碰撞瞬间系统的动量守恒，动能守恒，可以求出排球和同心鼓碰撞前后的速度，通过冲量定理求出合拉力在竖直方向上的分力，通过公式结合实际分析得出最佳协作策略。针对问题二，在发力时机和用力大小不同时，击球过程中会遇到不同程度的应影响，在给出对8名队员的9次击球的数据统计来描述队员的发力时机和大小对某一时刻鼓面倾斜的角度影响。在每位队员发力所需时间相同的情况下，我们把鼓看作是一个空心的圆柱体，通过公式求出空心圆柱体在直径转动的转动惯量，再利用合力和力的关系求出力距，进而求出角动量和角速度，最终求出鼓在每个特殊情况下的鼓面倾角。针对问题三，在问题二解决的基础上，对问题一的策略进行调整，本题主要目的为在不可避免的外界因素下，制定一中策略，尽可能地减小项目进行时的误差。针对问题四,在队员同时发力的情况下利用问题一中的解题思路，根据碰撞过程中动能守恒，动量守恒及冲量定理，确定理想状态下每位队员的拉力力度。然后，根据反射定律得出同心鼓的倾斜角度，根据第二题中求同心鼓倾斜角度过程的反推，求出两位队员额外施加拉力的合力，根据力的方向与两位队员夹角之比为1：2，分别求出两位队员施加的分拉力，加上理想状态下施加的拉力，求出两位队员施加的拉力力度。 关键词：动量守恒动能守恒冲量定理转动惯量反射定律力距平行四边形定则一、问题重述“同心协力”（又称“同心鼓”）是一项团队协作能力拓展项目。该项目的道具是一面牛皮双面鼓，鼓身中间固定多根绳子，绳子在鼓身上的固定点沿圆周呈均匀分布，每根绳子长度相同。团队成员每人牵拉一根绳子，使鼓面保持水平。项目开始时，球从鼓面中心上方竖直落下，队员同心协力将球颠起，使其有节奏地在鼓面上跳动。颠球过程中，队员只能抓握绳子的末端，不能接触鼓或绳子的其他位置。图片来源：/_mediafile/yjs/2017/10/26/32yuesec78.png项目所用排球的质量为270g。鼓面直径为40cm，鼓身高度为22cm，鼓的质量为3.6kg。队员人数不少于8人，队员之间的最小距离不得小于60cm。项目开始时，球从鼓面中心上方40cm处竖直落下，球被颠起的高度应离开鼓面40cm以上，如果低于40cm，则项目停止。项目的目标是使得连续颠球的次数尽可能多。试建立数学模型解决以下问题：1.在理想状态下，每个人都可以精确控制用力方向、时机和力度，试讨论这种情形下团队的最佳协作策略，并给出该策略下的颠球高度。2.在现实情形中，队员发力时机和力度不可能做到精确控制，存在一定误差，于是鼓面可能出现倾斜。试建立模型描述队员的发力时机和力度与某一特定时刻的鼓面倾斜角度的关系。设队员人数为8，绳长为1.7m，鼓面初始时刻是水’/平静止的，初始位置较绳子水平时下降11cm，表1中给出了队员们的不同发力时机和力度，求0.1s时鼓面的倾斜角度。表1发力时机（单位：s）和用力大小（单位：N）取值序号用力参数12345678鼓面倾角（度）1发力时机00000000用力大小90808080808080802发力时机00000000用力大小90908080808080803发力时机00000000用力大小90808090808080804发力时机-0.10000000用力大小80808080808080805发力时机-0.1-0.1000000用力大小80808080808080806发力时机-0.100-0.10000用力大小80808080808080807发力时机-0.10000000用力大小90808080808080808发力时机0-0.100-0.1000用力大小90808090808080809发力时机0000-0.100-0.1用力大小90808090808080803.在现实情形中，根据问题2的模型，你们在问题1中给出的策略是否需要调整？如果需要，如何调整？4.当鼓面发生倾斜时，球跳动方向不再竖直，于是需要队员调整拉绳策略。假设人数为10，绳长为2m，球的反弹高度为60cm，相对于竖直方向产生1度的倾斜角度，且倾斜方向在水平面的投影指向某两位队员之间，与这两位队员的夹角之比为1:2。为了将球调整为竖直状态弹跳，请给出在可精确控制条件下所有队员的发力时机及力度，并分析在现实情形中这种调整策略的实施效果。二、基本假设1.同心鼓是一个空心的圆柱体2.理想状态下，排球与同心鼓的碰撞为完全弹性碰撞3.两张鼓面的质量忽略不计4.人的站位顺序按照第二题中表格序号依次均匀排列5.人的发力方式为瞬时发力，发力所需时间为0.05s6.人拉绳子的高度一般为1.1米7.鼓较绳子水平时下降0.11米8.竖直向下为正方向三、符号说明符号说明D鼓面直径R鼓面半径V排球的初始速度排球与同心鼓碰撞前的速度排球与同心鼓碰撞后的速度同心鼓与排球碰撞前的速度同心鼓与排球碰撞后的速度T每个人施加的拉力人数排球的质量同心鼓的质量开始时人距鼓的水平距离H排球距鼓面的高度L鼓身高度R质点和转轴的垂直距离J空心圆柱体的直径转动惯量队员发力所需时间d支点到力作用线的垂直距离M合力距四、模型的建立与求解4.1讨论在理想状态下团队的最佳协作策略并给作出该条件下的颠球高度4.1.1题目分析 题目要求是连续颠球次数尽可能多，但此题的条件为理想状态，故所有人的力度，用力方向，时机都无失误，连续颠球这个要求必然可以满足，我们只需要考虑使排球达到离鼓面40cm的高度从而满足颠球尽可能多。重力加速度g按照9.8m/计算，规定方向向下为正方向。 对同心鼓进行受力分析：初始状态：同心鼓静止，重力与拉力在竖直方向的分力平衡，即。排球开始做自由落体运动：排球下落40cm后与同心鼓碰撞，碰撞过程中动量守恒，动能守恒。4.1.2模型建立与求解理想状态下，碰撞是完全弹性碰撞排球和同心鼓的系统满足动能守恒和动量守恒以鼓为研究对象，在竖直向上，假设人用力沿绳方向那么假设每人拉动绳子使劲时间为是一个较短的时间（每人发力为瞬时）由冲量定理可知，人拉动绳子使鼓在内有一个向上的速度随即排球碰撞以为最优情况即每次碰撞后都能将排球送回40cm高处则由自由落体和竖直上抛运动特性知将（4）代入（1）（2）联立求解知将（5）代入（3），则有约束条件：4.1.3数据分析与处理：=2.8m/s=-2.8m/s=-0.21m/s=0.21m/s结论：所有人均匀绕鼓分布，在同一时刻拉，角相等，且满足上述约束条件时，有最佳协作策略。例如：，，，时，为最佳协作策略之一。4.2在现实的不同情况下描述队员的发力时机和力度与某一特定时刻的鼓面倾斜角度的关系4.2.1题目分析在每位队员发力时间均为，由于发力时间大小不均衡，则时间内8名队员使鼓体转动，整体转动情况取决于合力距。我们的思路是先计算空心鼓绕中心直径的转动惯量和角动量得出角速度，从而得出鼓面倾斜角度。4.2.2模型建立与求解（1）求出空心圆柱体（鼓）绕直径转动的转动惯量以空心圆柱体中心为原点，以两条垂直的中心直径分别为x轴y轴，以垂直于鼓面且过中心点的直线为z轴，建立一空间直角坐标系，如图所示：由刚体力学知识可求得空心圆柱体绕直径转动的转动惯量：（1）（2）（3）联立（1）（2）（3）式化简积分得：（2）求出空心圆柱体的角动量角动量（I）=合力距合力距=合力（f）d（3）求出空心圆柱体的角速度角动量（I）=J角速度（）（4）求出空心圆柱体的倾斜角度弧度（）=角速度（）时间（）倾斜角度=弧度（）4.2.3数据分析与处理：1-3行表格数据仅涉及用力大小，求解思路为直接求出倾斜角度即可。4-6行表格数据仅涉及发力时机，求解思路为-0.1秒时，部分人施加瞬时拉力，求出-0.1秒时施加的拉力合力，同心鼓运动状态改变前0.05秒，同心鼓获得角速度，后0.05秒，同心鼓角度倾斜；0秒时，其余人施加瞬时拉力，在已倾斜了的角度上求解d，前0.05秒，同心鼓获得角速度，若后面角速度大于前面角速度，则同心鼓的倾斜角度变小。7-9行表格数据涉及用力大小与发力时机，求解思路为-0.1秒时，部分人施加瞬时拉力且力度大小也不都相同，但不论拉力有多大，求出-0.1秒时施加的拉力合力，同心鼓运动状态改变，前0.05秒，同心鼓获得角速度，后0.05秒，同心鼓角度倾斜；0秒时，其余人施加瞬时拉力，在已倾斜的角度上求解d,前0.05秒，同心鼓获得角速度，若后面角速度大于前面角速度，则同心鼓的倾斜角度变小。求出的结果为：序号用力参数12345678鼓面倾角（度）1发力时机000000000.215°用力大小90808080808080802发力时机000000000.398°用力大小90908080808080803发力时机000000000.165°用力大小90808090808080804发力时机-0.100000000.927°用力大小80808080808080805发力时机-0.1-0.10000002.693°用力大小80808080808080806发力时机-0.100-0.100000.467°用力大小80808080808080807发力时机-0.100000000.685°用力大小90808080808080808发力时机0-0.100-0.10001.107°用力大小90808090808080809发力时机0000-0.100-0.10.390°用力大小90808090808080804.3根据问题二的模型，给出问题1中相应的调整策略4.3.1题目分析在现实生活中，存在许多影响鼓状态的因素，每个人的不同状态，不同速度，不同反应都会影响到项目的成败，在不可避免的因素的条件下，尽可能地减少误差，是我们这道题中解决的主要目的。4.3.2模型的建立与求解根据第二题的运算结果，对第一题的策略进行调整如下：确定参与人员后，可通过多次测试，统计每个人比别人快的次数与比别人力度大的次数，从而找出力度与反应速度超出别人的人，对他们的站位制定相应的策略。1.力气大的人所拉的绳子可以适当地比别人长一些，但要满足x人tanθθ≤h人手高度和（1）绳长固定：由2*πN*x人≥0.6和x人（2）绳长不固定：由2*πN*xN=8时，x人N=9时，x人N=10时，x人N=11时，x人N=12时，x人N=13时，x人N=14时，x人2.让力度大的人站在夹角为钝角的位置上；由第二题中表格1—3行可得出，当力度大的人中间夹角=135°时，同心鼓的倾斜角度相比表格中其他情况是最小的。故，我们将表格中第三种情况中的1，4人力度大换成1，3力度大，求出0.304的结果，相比相邻两个力度大的情况，同心鼓倾斜角度小，故得出当力度大中的人夹角>90°时，同心鼓倾斜角度小的结论。3.让反应快的人站在夹角为钝角的位置上；由第二题表格4—6行可得出，当反应快的人夹角为135°时，同心鼓的倾斜角度相比表格中其他情况是最小的。故，我们将表格中第六种情况中的1，4人反应快换成1，3人反应快，求出的结果，相比相邻两个反应快的人的情况，同心鼓倾斜角度小，故得出当反应快中的人夹角>90°时，同心鼓倾斜角度小的结论。4.力度大的人和反应快的人站在对角线上；由第二题表格中的7—9行可得出。5.反应快的人站在对角线上，力度大的人站在对角线上，尽可能平衡每个人的拉力。4.4在可精确控制条件下所有队员的发力时机及力度，并分析在现实情形中这种调整策略的实施效果。4.4.1题目分析初始位置时，不论鼓面是否倾斜，假设鼓较水平位置时下降0.11米，求出绳子与水平方向的夹角正弦，利用碰撞过程中动量守恒，动能守恒：求出理想状态下的每位队员的拉力力度，然后，根据反射定律得出同心鼓的倾斜角度，根据第二题中求同心鼓倾斜角度过程的反推，求出两位队员额外施加拉力的合力，根据力的方向与两位队员夹角之比为1：2，分别求出两位队员施加的分拉力，加上理想状态下施加的拉力，求出两位队员施加的拉力力度。

4.4.2模型的建立与求解前提条件设定：所有队员同时发力排球和鼓的系统满足动能守恒和动量守恒冲量定理：以鼓为研究对象，在竖直向上，假设人用力沿绳方向那么以鼓为研究对象，在竖直向上，假设人用力沿绳方向那么假设每人拉动绳子使劲时间为是一个较短的时间（每人发力为瞬时）由冲量定理人拉动绳子使鼓在内有一个向上的速度随即排球碰撞以为最优情况即每次碰撞后都能将排球送回40cm高处则由自由落体和竖直上抛运动特性知将（4）代入（1）（2）联立求解知将（5）代入（3），则确定理想状态下的所有队员施加的拉力。由由反射定律可知：排球反射运动轨迹图入射角=反射角，即同心鼓倾斜角度为0.5°时，排球可以被调整为竖直方向弹跳。倾斜角度=弧度（）（6）弧度（）=角速度（）时间（）（7）角动量（I）=J角速度（）（8）角动量（I）=合力距（9）合力距=合力（f）距离（d）（10）平行四边形定则受力分析图求出两位队员额外施加的拉力合力，根据排球倾斜方向在两位队员间夹角为1：2；利用平行四边形定则，求出各自额外的拉力，再加上本身施加的拉力，得出最终两位队员施加的拉力。4.4.3数据分析与处理在本题中，由于球与鼓面距离从40cm增加到60cm，所以我们假设人的瞬时发力时间为t=0.1s设两名队员分别为1号和2号，其作用力大小分别为通过平行四边形定则和三角形的正弦定理的计算得：所以这两名队员的实际使力大小分别为结论：在所有人同时发力的情况下，1号队员使力大小为84.781N,2号队员使力大小为88.429N。现实情况