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文档简介

概率论

与数理统计理学院数学系“悟道诗---严加安”随机非随意，概率破玄机；无序隐有序，统计解迷离．第七章参数估计第二节估计量的评价标准二、有效性一、无偏性三、一致性（相合性）四、小结在上一节中可知，对于同一个参数，用不同的点估计方法得出的估计量可能不同，即使利用同一种方法，也可能得到多个估计量．这就涉及到评价估计量好坏的标准问题.本节我们讨论评价估计量常用的三条标准：（1）无偏性；（2）有效性；（3）一致性（相合性）．设是从总体中抽取的样本，

是总体分布中未知参数的估计量，如果存在，且则称是的无偏估计量．定义：一、无偏性无偏性的意义对于某些样本值，用估计量得到的估计值相对于真值来说有的偏大，有的偏小，但是平均来说它等于未知参数．即不存在系统误差．注意：（3）无偏性是对估计量一个常见而重要的要求，它

的实际意义指估计量没有系统偏差，只是随机

偏差.（1）如果，则称为的有偏估计量，

称为估计量的偏差；（2）如果是的有偏估计量，但，

则称是的渐近无偏估计量；定理：设是取自总体的样本，总体的均值为，方差为．则（1）样本均值是总体均值的无偏估计量；（2）样本方差是总体方

差的无偏估计量；证明因为样本相互独立且与总体

服从相同的分布，故有由数学期望和方差的性质可知：（3）样本二阶中心矩不是总

体的无偏估计量，而是渐近无偏估计量．（1）（2）由于故样本均值是总体均值的无偏估计量．则再由公式，可得因此即样本方差是总体方差的无偏估计量．（3）由于又因为所以不是的无偏估计量．所以是的渐近无偏估计量．二、有效性对于同一个未知参数，它可能有多个无偏估计量，在这些估计量中自然选用对的平均偏离程度较小者为好，也就是说一个较好的估计量应有较小的方差．由此我们引入评价估计量好坏的第二个标准：有效性．设和都是参数的无偏估计量，且，则称较的有效．定义：

当样本容量一定时，若在的所有无偏估计量中，的方差最小，则称是的有效估计量．设是总体的样本，证明

都是总体均值的无偏估计量，并比较哪个估计量更有效．例1：由于解：又因为所以，都是总体均值的无偏估计量．又因为，所以较

更有效．三、一致性（相合性）在样本容量一定的情况下，无偏性和有效性能够较好地反映估计量的好坏．但是随着样本所包含信息的增多，当充分大时，我们希望估计值在某种意义下稳定在真值附近．这就是第三个评价标准：一致性（相合性）．设是总体参数的估计量，如果对于任意，当时，

依概率收敛于，即对于任意，有则称是总体参数的一致估计量或相合估计量．定义：设是总体的样本，且证明：样本均值是总体均值的一致估计量．例2：证明：由于样本是相互独立的，且与总体服从相同的分布，故有再由切比雪夫定理，其中则有所以样本均值是总体均值的一致估计量．说明：（1）样本方差是总体方差的一致估计量．用样本的阶原点矩与样本方差作为总体的阶原点矩与总体方差的估计是无偏的、一致的，且是较好的估计．（2）若是连续函数，

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