积分变换与场论2 1 2

第二章场论2.1场2.2数量场的方向导数与梯度2.3矢量场的通量及散度2.4矢量场的环量及旋度2.5几种重要的矢量场2.1场1.场的概念

什么是场？重力场、温度场、电磁场、……

a.从数学角度：场是给定区域内各点数值的集合，这些数值规定了该区域内一个特定量的特性。

比如：T

是温度场中的物理量，T就是温度场

b.从物理角度：场是遍及一个被界定的或无限扩展的空间内的，能够产生某种物理效应的特殊的物质，场是具有能量的。场的分类

a.按物理量的性质分：数量场：描述场的物理量是标量。例如温度场、密度场、电位场。矢量场：描述场的物理量是矢量。例如力场、速度场、电场强度。b.按场量与时间的关系分：静态场（稳定场）：场量不随时间发生变化的场。动态场（时变场）：场量随时间的变化而变化的场。场用一个空间和时间坐标的函数来描述：2.数量场的等值面u(x,y,z)=c：等值面、等值线u(x,y,z)=c1u(x,y,z)=c2u(x,y,z)=c3等值面（线）越密集的地方，场值变化越剧烈；越稀疏的地方，场值变化越缓慢。3.矢量场的矢量线A(x,y,z)：在曲线上的每一点处，场的矢量都位于该点处的切线上。

疏密程度→场量的大小。矢量面与矢量管：C矢量线方程：直角坐标系中，其表达式为：4.平行平面场如果在经过某一轴线(设为Z轴)的一族平行平面上，场A的分布都相同，即A=A(x,y)，则称这个场为平行平面场。2.2数量场的方向导数和梯度1.方向导数设u=u(x,y,z)，方向导数表示u沿某一方向l的变化率：在直角坐标系中：0xyzM0

也称为l方向的方向余弦。例求数量场在点M(1,1,2)处沿l=i+2j+2k方向的方向导数。解而数量场u在l方向的方向导数为在点M处沿l方向的方向导数l方向的方向余弦为2.梯度★方向导数解决了函数u(M)在给定点处沿某个方向的变化率问题。但是从标量场中的给定点出发，有无穷多个方向，函数沿其中哪个方向其变化率最大呢？最大的变化率又是多少呢？

★对同样的u的增量du，存在着最大的空间增长率，即最大的方向导数。很明显，沿等值面的法线方向的方向导数最大，其距离最短。(1)梯度的定义

用来表示一个标量最大空间增长率的大小和方向的矢量G，就是标量的梯度。

哈米顿（W.R.Hamilton）算子（矢性微分算子）(2)梯度的性质◆方向导数等于梯度在该方向上的投影。竖琴（nabla）◆在标量场u中任意一点M处的梯度垂直于过该点的等值面，或说等值面法线方向就是该点的梯度方向，且指向函数值的增加方向。

由此，可将等值面上任一点单位法向矢量表示为：☻标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系，这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研究。(3)

梯度的物理意义梯度的大小为该点标量函数u的最大变化率，即该点最大方向导数；标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数；梯度的方向为该点最大方向导数的方向,即与等值线（面）垂直的方向，它指向函数的增加方向。梯度指向高度增加的方向，模值(tgα)刻画了梯子的倾斜程度。(4)梯度运算的基本公式解由梯度计算公式得故例求P点的电位梯度▽φ。解

在点电荷q的静电场中,P(x,y,z)点的电位为电场强度等于电位的负梯度，方向垂直于等位面，且指向电位减小的方向。在一对相距为l的点电荷+q和-q(电偶极子)的静电场中,距离r>>l处的电位为求其电场强度E(r,θ,φ)。解例以流速场为例，考虑流量：

2.3矢量场的通量及散度1.通量

(Flux)

（1）定义：若矢量场A分布于空间中，在空间中存在任意曲面S，则为矢量A沿有向曲面S的通量。若S为闭合曲面

物理意义：表示穿入和穿出闭合面S的矢量通量的代数和。

矢量场的通量

在电场中，电位移矢量在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的电通量；在磁场中，磁感应强度在某一曲面上的面积分就是矢量通过该曲面的磁通量。

电通量磁通量点电荷q在离其r处产生的电位移矢量为求穿出R为半径的球面的电通量。解例这证明在此球面上所穿过的电通量的源正是点电荷q。在直角坐标系中（2）通量的物理意义

以流体为例，若每秒有净流量流出，包面内有正源（泉源）每秒有净流量流入，包面内有负源（渗洞）每秒流入包面和流出包面的净流量相等，包面内无源，或正源与负源相等2.散度

(divergence)

散度是描述矢量场聚散程度的量。P

QM

泉源渗洞连续分布的泉源和渗洞

当闭合面S向某点无限收缩时，矢量A通过该闭合面S的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场A在该点的散度，以divA表示，即在直角坐标系中（1）散度的定义0xyz★散度代表矢量场的通量源的分布特性。★矢量的散度是一个标量，是空间坐标点的函数；（2）散度的物理意义(正源)(负源)(无源)

在矢量场中，若，称之为有源场，

称为（通量）源密度；若矢量场，称之为无源场。

考虑一个气筒,突然打开气门,被压缩的空气的流速将是越靠近气门越大。设v=kxex

，求

v。解

想象一个爆炸的气球，设某点处气体的流速同该点与源点的距离成正比，为v(r)

=kr

er

，求

v。解表明气筒内各点都存在着密度为k的气流。表明空间各点都存在着密度为3k的气流。vx例例（3）高斯散度定理(奥氏公式)★从数学角度，建立了矢量函数的面积分与体积分的互换；

由于是通量源密度，即穿过包围单位体积的闭合面的通量，对体积分后，为穿出闭合面S的通量★从物理角度，该公式表明了区域V中场与包围该区域的边界面S上场之间的关系（表里关系）。高斯公式（4）散度运算的基本公式点电荷q所产生的静电场中，求电位移矢量D在任意点处的散度▽·D。例解可见除点电荷所在源点（r=0）外，空间各点的电位移矢量的散度均为零。球面S上任意点的位置矢量为试利用散度定理计算通量解

例

散度直角坐标：柱坐标：球坐标：作业习题3-5习题4–3以力场为例，考虑做功：

2.4矢量场的环量及旋度1.环量

(Curlofavectorfield)

安培环路定理lAdl

直角坐标系中（1）定义：矢量A沿某封闭曲线的线积分,定义为A沿该曲线的环量(或旋涡量),记为P1

P2lF做正功，F与l方向大体一致，动能增加F做负功，F与l方向大体相反，动能减小引力场Gl1l2G涡旋场F(2)环量的物理意义——表明l包围涡旋源——表明l不包含涡旋源水流沿平行于水管轴线方向流动

=0，无涡旋运动流体做涡旋运动

0，有产生涡旋的源例：流速场怎样表示涡旋的有无、强弱、方向？对M点，仿照散度的定义，取(3)环量面密度M

Al1n显然，上面算式与积分路径选取有关Ml涡旋为逆时针方向；涡旋为顺时针方向。为围绕n方向的环量面密度。l2n2l3n3其中n是最大环流密度所在环路的单位法线方向而与n相垂直的面则称为涡旋面或旋涡面分别是rotA在n3、n2上的投影，即则(1)定义2.旋度

(rotation)

M

Al1l2l3n3n2n(3)直角坐标系中★矢量场中某点的旋度为矢量，是点的空间位置的函数。方向：是使环量密度取最大值的曲面元

S的方向大小：环量密度的最大值(2)旋度的物理意义★它描述A在该点处的旋涡源强度。★若某区域中各点rotA=0,称A为无旋场或保守场。

求A=x2i

+y2j

+z2k

沿着xy面上的一个闭合回路l的线积分。如图所示，再计算

A。P(2,)2y2=xOyx解回路l在xOy面上，dz=0

=0例讨论：

A=x2i

+y2j

+z2k=r2er是辐射状的场，可以证明，F=f(r)er这类场必定是无旋的。A=x2i+y2j+z2k

P(2,)2y2=xOyx(4)旋度的性质1)

一个矢量场的旋度构成一个新的矢量场。2)旋度不为零的点有产生矢量场环流的能力(有旋场)。旋度等于零的点没有产生矢量场环流的能力(无旋场)。3)旋度具有环流面密度的量纲。4)

(A+B)=

A+

B

(

A)=0说明任一矢量场的旋度一定是无散的。反过来也成立，即若

A=0

，则一定对应着一个矢量场，使B=

A。5)6)

(

u)=0说明任何梯度场一定是无旋的。反过来也成立，即若

A=0

，则一定对应着一个数量场，使A

=-

u

。则解三式相加即得例3.斯托克斯定理

★从数学角度，建立了矢量函数的线积分与面积分的互换；★从物理角度，该公式表明了区域S中场与包围该区域的边界l上场之间的关系（边面关系）。小结：矢量场和源的关系无旋场：一个矢量场A，对任意闭合路径都有

A=0A=-

u无散场：一个矢量场A，对任意闭合面都有

A=0B=A源是场的因，场同源一起出现。若

A=0，

A≠0——散度源（通量源）若

A=0

，

A≠0——旋度源（涡旋源）有势（位）场管形场矢势量势函数已知在电磁场中矢量A的通量源密度矢量A的旋度源密度场域边界条件电流密度J矢量A唯一地确定电荷密度