阶段测试二（教师版）

阶段测试二考查范围：集合、常用逻辑用语、不等式、函数、导数、三角函数、数列一、单选题（本大题共8小题，共分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.等比数列中，，，函数，则(

)A. B. C. D.【答案】C

【解析】解：因为，所以因为数列为等比数列，所以，所以

故选：2.如图是杭州2022年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，钱塘江和钱江潮头是会徽的形象核心，绿水青山展示了浙江杭州山水城市的自然特征，江潮奔涌表达了浙江儿女勇立潮头的精神气质，整个会徽形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧AD长度是，弧BC长度是，几何图形ABCD面积为，扇形BOC面积为，若，则(

)

A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C

【解析】解：设，则，所以，即，

所以，

故选：3.已知各项均为正数的等比数列的前n项和为，，，则的值为(

)A.30 B.10 C.9 D.6【答案】B

【解析】解：

由于

是各项均为正数的等比数列，设公比为q，则

，可得

，

，

，又

，则

，可得

，

，解得

，故

.故选：4.已知，且，则.(

)A. B.

C. D.【答案】A

【解析】解：，

解得或，

又，则，则，

故，

，

，

故选：5.已知函数，记等差数列的前n项和为，若，，则(

)A. B. C.2023 D.4046【答案】A

【解析】解：令

，因为

，所以

为

R

上的增函数，因为

，所以

是奇函数，因为

，

，所以

，

，所以

，即

，所以

，故选：A6.已知，，，则(

)A. B. C. D.【答案】B

【解析】解：由，

可得，即，

得，因为，，所以，

，

故选7.从午夜零时算起，在钟表盘面上分针与时针第i次重合时，分针走了，则24小时内包括第24时所有这样的之和(

)A.24 B.300 C.16560 D.18000【答案】C

【解析】解：在钟表盘面上，分针每分钟转，时针每分钟转，

即，得，

则数列是以为首项，公差为的等差数列，

由，得，解得，

所以24小时内分针与时针重合22次，

故选：8.已知函数，，动直线l过原点且与曲线相切，切点的横坐标从小到大依次为，，，，则下列结论错误的是(

)A. B.动直线l的斜率为

C.的周期为 D.【答案】C

【解析】解：因为，

所以，

设切点坐标为，则切线l的斜率为

，B正确；

即

所以，A正确；

所以的最小正周期为，C错误.

，D正确；故选二、多选题（本大题共4小题，共分。在每小题有多项符合题目要求）9.设是公比为正数等比数列的前n项和，若，，则(

)A. B.

C.为常数 D.为等比数列【答案】ACD

【解析】解：设等比数列的公比为由数列为等比数列，，得又，所以，因此A项正确.

，故B错误;

由上述可知，则，所以，，则，因此C项正确.

因为，所以是首项为，公比为的等比数列，因此D项正确.

故选10.已知函数，则(

)A.是偶函数 B.在区间上单调递增

C.在上有4个零点 D.的值域是【答案】AB

【解析】解：函数的定义域为R，

且，

所以函数是偶函数，A正确；

当时，，

令，由于函数在时单调递减，

函数在时单调递增，所以函数在区间上单调递减，

由A选项分析知函数是偶函数，故函数在区间上单调递增，B正确；

当时，由，得或，所以或或，

所以偶函数在上有6个零点，C不正确；

当时，，

因为，所以当时，，

当时，，由于函数是偶函数，

因此，函数的值域为，D不正确.

故选11.水车在古代是进行灌溉引水的工具，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征．如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时12秒．经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列结论正确的是(

)

A.

B.当时函数数单调递增

C.当时，点P的纵坐标越来越小

D.当时，【答案】CD

【解析】解：

，

，

，当

时，

，且

，

，所以

，故A错误：当

时，

，所以函数

在

不是单调递增的，故B错误：当

时，

，所以函数

在

是单减的，故C正确：当

时，

，此时

，点

，

，故D正确．故选：CD12.若则(

)A. B.

C. D.【答案】BC

【解析】解：A：，

令，，因为，，

则，所以在上单调递增.

因为所以，所以，故A错误；

B：，

令，，，所以在上单调递增.

因为所以，所以，故B正确；

C：，

令，，，，

设，，，所以在上单调递减.

故，即，则，所以在上单调递增.

因为所以，所以，故C正确;

D：，因为所以，

所以，即，故D错误.

故选三、填空题（本大题共4小题，共分）13.请写出满足方程的一组实数对：__________.【答案】

答案不唯一

【解析】解：令

得：

，所以一组实数对为：

.故答案为：

答案不唯一14.计算__________.【答案】

【解析】解：原式

故答案为15.已知等差数列中，，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为__________.【答案】

【解析】解：设等差数列的公差为d，则，在数列每相邻两项之间插入三个数，则新的等差数列的公差为，故新数列的首项为，故通项公式为，故故答案为：16.在平面直角坐标系xOy中，定义为，两点之间的“折线距离”．已知点，动点P满足，点M是曲线上任意一点，则点P的轨迹所围成图形的面积为__________，的最小值为__________.【答案】

；

【解析】解：设点，又点，

则，

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即；

当时，，即

在平面直角坐标系内，作出，曲线的图象如下图所示，

易得点P的轨迹是一个边长为的正方形，

所以点P的轨迹所围成图形的面积为；

点M是曲线上任意一点，

由图可知，要使最小，

则点M在曲线上，点P在直线上，

当曲线在点M处的切线与直线平行时，

由，解得，此时点，

设点，且，，

则

则的最小值为

故答案为：四、解答题（本大题共6小题，共分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.本小题分已知函数若，求函数的值域；若方程有解，求实数的取值范围．【答案】解：设，得当时，所以，所以，，故函数的值域为方程有解可转化为设，

由对勾函数的性质知，当，即时，当，即时，函数的值域为故实数的取值范围是18.本小题分

已知为等差数列，为公比为2的等比数列，且

证明：

求集合中元素个数.【答案】解：设等差数列公差为d

由，知，故

由，知，

故故，整理得，得证.

由知，由知：

即，即，

因为，故，解得，

故集合中元素的个数为9个.

19.本小题分已知函数，求函数的最小正周期及单调递增区间；若为锐角且，满足，求【答案】解：

，

所以的最小正周期，

令，，

解得，，

所以函数的单调递增区间为，；

由得，

即，

因为为锐角，所以，，

又因为，

所以，

所以

20.本小题分如图，以第1个正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，得到第1个三角形，以这个三角形的一条直角边为边向外作正方形，得到第2个正方形，再以第2个正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，得到第2个三角形，…按上述规则进行下去．已知第1个正方形的边长为2，记第n个正方形的边长为求及；完成第3个三角形时，求图中所有线段的长度之和；完成第n个三角形时，求图中所有线段的长度之和．【答案】解：根据题意，得第一个正方形边长为2，

，

，

；

完成第3个三角形时，图中所有线段的长度之和为

；

完成第n个三角形时，图中所有线段的长度之和为

。

21.本小题分已知函数的部分图象如图所示.求函数的解析式；将函数图象上所有的点向右平移个单位长度，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到函数的图象.当时，方程恰有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围.【答案】解：由图示得：

，解得

，又函数

的周期T有：

，所以

，所以

，所以

.又因为

过点

，所以

，即

，所以

，解得

，又

，所以

，所以

.

图象上所有的点向右平移

个单位长度，得到

，将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍纵坐标不变，得到

，当

时，

，令

，则

，令

，则

在

上单调递增，在

上单调递减，在

上单调递增，且

所以

时，当

时，方程

恰有三个不相等的实数根.

所以实数a的取值范围是：22.本小题分已知函数，求证：在上单调递增;当时，恒成立，求k的取值范围.【