圆的对称性湘教

3.1.1圆的对称性第2课时（湘教版)邵阳县塘渡口中学2.圆的对称性：它的对称轴是什么?对称中心呢？3.垂径定理1：垂直于弦的直径平分这条弦。即垂直于弦的直径是这条弦的垂直平分线。（1）改写成“如果。。。，那么。。。”（2）推理过程：●O1.圆的定义、半径、弦、直径、思考：如图，两个圆都以点O为圆心，小圆的弦CD与大圆的弦AB在同一条直线上.你认为AC与BD的大小有什么关系？为什么？G└提示:作OG⊥AB圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”．圆的任意一条直径的两个端点把圆平分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．·COAB大于半圆的弧叫做优弧.（用三个字母表示，如图中的）小于半圆的弧叫做劣弧；如图中的·COAB劣弧与优弧注意：半圆是弧，但弧不一定是半圆；

半圆既不是劣弧，也不是优弧

在生活中，我们常遇到圆心角，如飞靶中有圆心角，还有手表中的时针与分针所成的角也是圆心角．

如图,∠AOB叫作所对的圆心角，·OAB叫作圆心角∠AOB所对的弧．OBCA1.如图,弧有:2.劣弧有：优弧有：你知道优弧与劣弧的区别吗？3。圆心角有：●探究它们所对的弦AB与CD相等吗？·OCBAD如图圆心角∠AOB=∠COD.它们所对的弧与相等吗？由于圆是旋转对称图形，因此可以绕圆心O旋转，使点A与点C重合，由于∠AOB=∠COD,因此，点B与点D重合．从而=，AB=CD.圆心角定理在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等.这证明了下述结论：·OCBAD在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弦也相等吗？你能讲出道理吗？……在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等吗？所对的弧相等吗？你能讲出道理吗？……相等相等垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧吗？从而点A与点B关于直线CD对称．如图，直径CD垂直于弦AB.根据定理1可得，直线CD是线段AB的垂直平分线由于圆O关于直线CD对称，因此沿着直线CD折叠，点A与点B重合，从而与重合，与垂径定理2：垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧．·OABCDE●OABCDM└由①CD是直径②CD⊥AB可推得垂径定理2垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧.例1.如图，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且CD⊥AB，已知CD=20，CM=4，求AB.└【解析】连接OA在⊙O中，CD⊥AB∴AB=2AM△OMA是直角三角形∵CD=20∴AO=CO=10∴OM=OC–CM=10–4=6在Rt

△OMA中，AO=10，OM=6根据勾股定理，得：∴∴AB=2AM=2×8=16└例2证明：圆的两条平行弦所夹弧相等（可以作为定理使用）·ABCDOEF证明:作直径EF垂直于弦AB，由于AB∥CD，因此EF⊥CD．从而即因此由于EF⊥CD由于EF⊥AB，因此，已知：如图圆O中，弦AB与弦CD平行．求证练习（书上的练习题）1、如图圆O中，AB∥CD.·ODCAB求证：∠BOD.∠AOC=证明：由上例知2、如图圆O中，AB∥CD.

求证：AC=BD.·ODCAB∵

AB∥CD∴∴AC=BD证明:赵州石拱桥1.1300多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图)的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高)为7.2m,求桥拱的半径(精确到0.1m).随堂练习P923驶向胜利的彼岸你是第一个告诉同学们解题方法和结果的吗？赵州石拱桥随堂练习P924驶向胜利的彼岸解：如图，用表示桥拱，所在圆的圆心为O，半径为Rm，经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，与相交于点C.根据垂径定理，D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高.由题设在Rt△OAD中，由勾股定理，得解得R≈27.9（m）.答：赵州石拱桥的桥拱半径约为27.9m.RD37.47.21.判断：⑴垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）⑵平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）⑶经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）⑸弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）对错错对【规律方法】运用垂径定理及推论解决一些数学问题最