信号与系统各章课件sas第六章

第六章离散时间信号的傅里叶分析6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析(DTFS/DFS)6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析（DTFT）6.4四类典型信号傅里叶分析的内在联系6.5怎样才能实现用计算机对四类信号直接进行计算和分析6.6离散傅立叶变换的性质6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1.1连续时间信号离散化过程和存在的问题离散时间信号是一个在离散时刻取值的信号。

时域取样过程也就是把一个连续时间函数的信号，变成为具有一定时间间隔才有函数值的离散时间信号的过程。

现实生活中的信号一般是连续的，如：语音信号、生物信号、地震信号等，要对连续信号进行数字处理，首先必须对信号进行采样。(c)6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？

将连续信号进行离散化，在取样过程样点是否可以随意选取，均匀取样的取样间隔的确定有什么规律可循，这是信号取样首先必须从理论上解决的取样速度问题。否则就无法保证从样点唯一地恢复或重建原来的连续时间信号。现以每单位时间40个样点的速度，即=40Hz分别对它们进行取样

6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？

无法从样点中一对一地恢复或重构出原来的模拟信号。究其原因在于取样频率选择不当，以致出现频谱混叠。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？混叠频率6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？[例6－1]已知一模拟信号[解]①现以取样率样点/秒对进行均匀取样。试求①取样后的离散时间信号；②若从该离散时间信号恢复成连续时间信号，是否与取样前的原模拟信号一样？为什么？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？②将上式中的n代以，则得与原模拟信号有很大不同。究其原因在于当以对该模拟信号进行取样时，由于产生低于的混叠频率所造成。（a）当分量kHz，求得（b）当分量kHz，求得6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？结论：①信号离散化过程，取样率不能任意选取，取样间隔不能随意确定；②只有去掉混叠才有可能从样点集合恢复或重新构成原来的连续时间信号。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1.2连续周期信号如何从样点唯一地恢复原来信号？

如果取样后的信号在0—fs/2（Ω：0—π）频率范围不出现频谱混叠就有可能从样点集恢复原始的信号。为此，首先必须从理论上证明具备什么条件才能从样点集完全和唯一地重建原始的信号。傅里叶系数，其数量k＝2N+1

6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？

对一个最高频率有限的周期信号，在一个周期取样点的数量只要满足式k＝2N+1

就可以从样点唯一地恢复或构成原始信号。[例6-1]x(t)显示式中，N=3，所以在一个周期取样点数k=2N+1=7。由于该信号无直流分量X(0)=0，所以取样点数可以取k=2N=6，但必须保证都是独立的样点。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？

无论周期信号是否存在直流项，只要它的谐波分量有限，而且在一个基本周期取样点数k大于或略大于二倍最高谐波次数N，即

K≥2N+1就能从有限样点唯一无失真地恢复原连续信号。按对连续周期信号的取样率为fs=kf0样点数/秒，故

kf0≥2Nf0+f0即fs≥2fm+f0表明对最高频率为fm=Nf0

的周期信号进行取样，其取样速度fs

应大于2fm才能恢复原来信号。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？由此可见连续周期信号要从样点恢复原始信号必须满足2个条件①信号的最高频率是有限的；②信号的取样率应受到fs≥2fm+f0的制约。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1.3非周期信号如何从样点唯一无失真地恢复原来信号？

——时域取样定理6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？为了分析方便，设，脉冲宽度，则取样过程就变成冲激取样或称为理想取样。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？

6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？表明一个连续时间信号以取样率进行取样后，所得到的取样信号，其频谱是原信号频谱的周期重复。在频域重复周期为，幅度是原频谱幅度的1/T。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？结论：①在时域对连续时间信号进行均匀取样，即带限的连续信号与周期的脉冲序列相乘，使原信号频谱因调制作用而被搬移到被调制信号的频谱上去。所以在频域得到的取样信号频谱，是一个重复周期与取样率相等的周期性连续频谱。②当，即时，取样信号的频谱在每一周期都完整地保留原来模拟信号的信息。③取样率(或取样间隔)的确定取决于模拟信号的最高频率，即。由于取样信号的频谱是以为周期，所以在奇数倍的数字频率附近是高频，在偶数倍的数字频率附近是低频。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？根据傅里叶变换卷积性质有6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？已知矩形窗函数的频谱，按对偶性质得

在取样时刻能给出准确的x(t)值。但是在非取样时刻，由于各和式均不为零，所以在样点之间任意点的数值应由这无限项的和式所决定。为此，把决定样点间任一时刻t的值的函数Saωm(t-nT)叫做内插函数，而把式（6.7）称为内插公式。所谓内插就是从已知离散点的值，求在离散点之间任意点的值时，在数学上所采用的一种插值的方法。所以说信号重建过程也就是内插过程。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？时域取样定理可归纳为：一个具有有限能量的带限信号x(t)，最高频率为fm，在时域取样率fs≥2fm条件下，能够从样点集合准确地恢复（重建）原信号。该定理也称为带限信号取样定理，有时也把式（6.4）称为周期信号取样定理。把最低取样速率fsmin=2fm

称为Nyquist速率

取样定理的核心是无混叠，其目的是实现唯一无失真地恢复原信号。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？当选取取样间隔6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1.4能否从连续频谱的样点无失真地恢复原频谱？

——频域取样定理6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？

一个时域取样信号，它的频谱一定是原信号频谱的周期延拓。同理，一个频域取样信号，它所对应的时间函数也一定是原时域信号的周期延拓。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？频域取样间隔,该式说明当信号频谱以的取样间隔进行取样，其相应的时域信号就形成了以为周期对原信号进行周期延拓的波形.显见，当或时，不出现时域波形混叠，因此有可能从频域的样点完整地恢复原来的连续频谱。当或时，由于时域波形出现混叠，无法准确地恢复原来地频谱。6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？6.1连续时间信号能用它的样点来替代吗？

频域取样定理与时域取样定理存在对偶的关系，只要如上节所述将有关参数进行互换，就可以从一个域求得另一域的结果。频域内插公式又可写成为6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2.1周期序列的时域分析

如果在时域通过傅里叶级数展开，把它分解为一系列正弦信号的加权和则称为时域分析；

如果在频域通过傅里叶系数即频谱函数用一系列不同频率正弦信号的幅度和相位来刻划信号的特征则称为频域分析。6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)

将连续时间周期信号进行离散化的结果，在频域其相应的频谱必然是周期和离散的。在离散域(数字域)中各参数存在如下关系，即

时域周期为式中T表示时域取样间隔，N是在一周期内的样点数

频域周期为式中表示频域中相邻谱线间隔，即离散域的基本频率，N是在一周期内的谱线数。6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)连续时间周期信号离散化后，在时域的离散变量取n即nT，频域离散变量取k即。6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)n=0,1,…,N-1k=0,1,…,N-1离散时间傅里叶级数(DTFS)变换对

6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)下注脚N表示该因子以N为周期具有周期性和对称性6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[例6－2]已知以N为周期的单位脉冲序列如图6.11所示，求出它在时域的离散傅里叶级数表示式。6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[解]按图式可表示为

6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)n不等N的整数倍n为N的整数倍故得其他6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[例6－3]已知一周期序列，周期N=6如图6.12所示，求该序列的频谱及傅里叶级数展开的表达式。6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[解]6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)表明在时域以N为周期的序列，在频域也是以N为周期的序列。6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2.2周期序列的频域分析[例6－4]已知周期序列如6.13所示，求出它的频谱函数并绘出相应的幅度频谱和相位频谱图。[解]从图序列的周期N=5，所以在离散频域的数字基频6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)在频域一周期分别计算得各数字频率的复振幅为：6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2.3离散时间周期信号与连续时间周期信号频谱之间的内在联系——DFS与CTFS之间的关系

如果周期序列是从连续时间周期信号经取样生成的，那么对的频域分析与的频谱结构又有什么关系？能否从求或从求？[例6－5]一连续周期信号，现以取样率

点/秒(Hz)进行离散化，求取样所得的周期序列的频谱并与原连续周期信号的频谱作一比较。[解]按题意已知即,若给定即则6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)首先确定离散化后是否周期序列，周期序列在时域一个周期内取样点数其余现将按傅里叶级数展开为复指数信号的线性叠加，得其余6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)显见在一个周期内该例说明离散时间周期信号在范围内的离散频谱可以准确地等于连续时间周期信号的离散频谱，因而计算连续周期信号的谱，可方便地通过计算机计算离散周期信号的谱来获得。那么是否在任何情况下，这个结论都是正确的？6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)[例6－6]已知一连续时间周期信号现以不同的取样率(a)样点/周期，(b)样点/周期对它进行离散化。试分别求出离散化后所得周期序列频谱并与原连续周期的的频谱进行比较。[解](a)已知给定的非正弦周期信号只有3次与5次谐波分量。6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)求得在一周期内序列的幅度频谱为其余在离散域一周期内因为6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)其余(b)若，则6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)在频域一周期内序列的幅度频谱为其余显见在情况下究其原因在于原连续信号的最高频率（a）幅度频谱(b)原连续周期信号的幅度频谱6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)（c）幅度频谱6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)6.2离散时间周期信号(周期序列)的傅里叶分析

(Discrete－TimeFourierSeries,DTFS/DFS)通过以上分析可以得到以下结论：①在满足取样定理条件下，从一个连续时间频带有限的周期信号（有限的正弦信号组合）经离散化得到的周期序列，其频谱在或范围内等于原连续信号的离散频谱。②在不满足取样定理的条件下，由于出现频谱混叠，存在混叠误差。当误差比较小，在一周期内的值近似等于。当误差较大，则无法从求得。为此必须减少取样间隔增加取样率，尽量使逼近。6.2.4频谱混叠与功率泄漏对周期信号频谱分析的影响(1)混叠

根据离散时间离散傅里叶级数是一个有限项级数这一特点，从理论上阐明了离散时间周期信号的频谱是一个周期性且只具有有限频率分量的离散频谱。【例6-7】试分别求出图6.17(a)所示矩形周期信号，当在一个周期取样点数N=8及N=16时的频谱与原连续信号频谱作一比较。(2)泄漏由于截取波形的时间长度不恰当造成泄漏误差，这情况在实际中对周期信号来说往往由于事先不知道信号的确切周期所致。6.2.4频谱混叠与功率泄漏对周期信号频谱分析的影响

从原来比较集中的谱线由于截取信号长度不当，出现了分散的扩展谱线的现象，称之为频谱泄漏或功率泄漏。6.2.4频谱混叠与功率泄漏对周期信号频谱分析的影响

为了避免泄漏，对周期序列进行谱分析，截取的长度应该取一个基本周期或基本周期的整倍数为宜。6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）6.3.1离散时间非周期信号（非周期序列）的频域分析

一个离散时间非周期信号可以简单地看做离散时间周期信号当周期的特殊情况，因此它的傅里叶变换表示式可通过DTFS来求得。6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）按故得式中非周期序列谱密度函数本书用表示，它的周期为，有的书用表示。上式中若的长度有限则取n=0～。6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）

离散时间非周期信号，亦即非周期序列，从时域变换到频域和从频域变换到时域的一对线性变换，称为离散时间傅里叶变换对，记为采用理想冲激取样得到取样信号6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）理想冲激取样信号的频谱是以为周期的周期连续频谱

6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）DTFT存在条件与CTFT相对应，为了保证和式收敛，要求是绝对可和，即【例6-8】求非周期序列，的傅里叶变换并画出相应的频谱图【解】由于根据几何级数函数求和公式有所以存在傅里叶变换6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）幅度与相位频谱分别为6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）【例6-9】求有限长序列的频谱并作图，已知其余【解】幅度与相位频谱为当当6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）【例6-10】已知一周期连续频谱如图6.22(a)、(b)所示，求其相应的序列。【解】当n=0则有6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）

从以上三个例子可以总结出，离散时间非周期实信号的频谱是连续的周期性频谱，具有埃尔米特对称（Hermitiansymmetry）性质，即幅度对频率具有偶对称，相位具有奇对称，表示为6.3离散时间非周期信号的傅里叶分析

（Discrete－TimeFourierTransform，DTFT）6.4四类典型信号傅里叶分析的内在联系连续离散周期是非周期离散谱函数是以N为周期离散谱函数非周期是非周期连续谱密度函数X(Ω)是以2π为周期的连续谱(a)CTFS(b)DTFS(C)CTFT(d)DTFTCTFSDTFSCTFTDTFT

周期信号的频谱是离散的，非周期信号的频谱是连续的；离散信号的频谱是周期的，连续信号的频谱是非周期的。6.4四类典型信号傅里叶分析的内在联系6.5怎样才能实现用计算机对四类信号直接进行计算和分析6.5.1离散傅里叶变换（DiscreteFourierTransform，DFT）的提出

把时域为有限长L序列变换到在频域里的另一个有限长序列N之间的变换称为离散傅里叶变换并定义

若从N点有限长序列x(n)相应的频谱X(Ω)中，在主周期[-π,π]内对X(Ω)进行离散化，即随即得到N个频谱样点.6.5.1离散傅里叶变换（DFT）的提出DFT在理论上可视为从DTFS派生出来，以N点有限长序列x(n)为一周期进行周期延拓，进而在频域求出其相应的离散频谱X(kΩ0)，取出在主值区间X(kΩ0)的离散值后再乘以N，即6.5.1离散傅里叶变换（DFT）的提出故按DTFS的x(n)表示式，在主值区间取值得6.5.1离散傅里叶变换（DFT）的提出

通过DFT可以求出确定性信号相应的离散频谱或频谱的样值，但应该强调，利用DFT变换对从信号时域样点求频谱样点，或从频谱样点求时域样点，均应分别满足时域取样定理和频域取样定理。

若频域的样点X(k)的总数为N（频域长度），时域的样点x(n)的总数为L（时域长度），则理论证明L的取样值必须L≤N。否则，出现混叠，以致无法恢复原来的序列。6.5.1离散傅里叶变换（DFT）的提出x(n)求和的上限L-1最大可取N-1，即必须L≤N，故有

在实际中为了与合成公式相对应，便于算法统一，同时考虑DFT是从DFS（DTFS）派生出来，通常取L=N。【例6-11】已知一有限长序列，现拟从它的频谱的样点恢复原序列。设给出的频谱样点总数分别为,试分别求出在主值区间其相应的序列、及并与进行比较说明在什么情况下可以从频谱样点恢复（重建）原序列。【解】按频域离散化其相应的时域序列必然周期延拓，生成周期序列。已知显然6.5.1离散傅里叶变换（DFT）的提出6.5.1离散傅里叶变换（DFT）的提出6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析①利用DFT计算离散非周期信号（非周期序列）的频谱X(Ω)—DFT与DTFT的关系

有限长序列x(n)的DFT等于该序列在数字频域主周期的取样，即N为主值区间的样点数k＝0，1，……，N-1

所以离散非周期信号x(n)相应的连续周期频谱，在主周期的样值就等于DFT[x(n)]=X(k)。6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析令称为内插公式

6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析②利用DFT计算离散周期信号（周期序列）的频谱X(kΩ0)—DFT与DTFS的关系

如果将X(Ω)均匀取样即进行离散化，则与X(kΩ0)都是以2π为周期随数字频率作周期性变化，不仅外形的变化规律相同而且在相应的离散点取值也一样。已知在主值区间k＝0，1，……，N-16.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析③利用DFT计算连续周期信号的频谱X(kω0)—DFT与CTFS的关系

利用DFT计算X(kΩ0)在主值区间的结果也就等于连续周期信号X(kω0)，即k＝0，1，……，N-1

在理论上，只要x(t)频带有限，在离散化过程不出现频谱混叠，利用DFT计算X(kω0)的离散频谱也是准确的。6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析④利用DFT计算连续非周期信号的频谱X(ω)—DFT与CTFT的关系6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析例：6-12已知一非周期信号在一周期内的波形如图6.27所示。试用DFT计算其离散频谱并与理论值比较。

6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析解：该周期信号基本周期（或单位时间），已知最高次谐波k=29。为了满足取样定理，在一个基本周期内取样点数N应为

取N=64

利用DFT程序，计算得各谐波的振幅与相位如图所示，以（样点/秒）计算的结果与给出的理论式子完全符合，不存在混叠现象。（按复振幅等于谐波幅度的一半）

6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析【例6-13】如何利用DFT近似计算非周期连续信号的幅度频频并与理论分析结果进行比较，重点说明取样率的选定对频谱分析的影响。【解】从傅里叶变换直接求得该信号的频谱为幅度频谱选取信号长度6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析所以取，相应地取则6.5.2如何运用DFT计算信号的频谱实现对四类信号的分析6.5.3功率泄漏对非周期信号频谱分析的影响

根据理论分析，一个时间有限的信号其频带宽度为无限，一个时间无限的信号其频带宽度则为有限。

在时域将信号截短，相当于将信号x(t)乘以具有一定宽度T0的窗函数。6.5.3功率泄漏对非周期信号频谱分析的影响6.5.3功率泄漏对非周期信号频谱分析的影响6.5.4关于频率分辨力的讨论

按DFT在数字频域中取样点的间隔为ΔΩ，显然ΔΩ越小，样点越密集，频率分辨能力（分辨率）越强，因而ΔΩ可以用来衡量频率分辨能力好坏的一个指标。Δf表示频域取样，样点之间的频率间隔。所以Δf越小，表示样点之间的频率间隔越小，频率分辨力高。反之，Δf越大、频率分辨力越小。6.5.4关于频率分辨力的讨论例如已知一模拟信号含有1KHz，2KHz和2.1KHz三个不同频率的正弦分量。现以fs＝6KHz对它进行离散化后，利用D