2022-2023学年湖南省长沙市师大思沁高级中学高一下学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省长沙市师大思沁高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题时量：120分钟.总分：150分一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.已知是虚数单位，复数，则的虚部为（）A.B.C.D.2.在锐角三角形ABC中，，则（）A.B.C.D.3.甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为（）A.0.9B.0.8C.0.7D.0.24.若m､n､l表示不同的直线，､表示不同的平面，则下列推理正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则5.在中，，若，则的值为（）A.B.C.D.6.已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（）A.，B.，C.，D.，7.在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.B.C.D.8.已知M是内一点，且，，，则的最小值是（）A.4B.8C.D.二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知向量，则（）A.B.若，则C.若，则D.10.在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件.以下结论正确的是（）A.B.C.若，则D.11.如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（）A.B.C.四边形ABCD的周长为D.四边形ABCD的面积为612.素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（）A.一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B.该“十字贯穿体”的表面积是C.该“十字贯穿体”的体积是D.与所成角的余弦值是三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：）如下：100，120，125，165，430，186，175，234，425，310.这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为________.14.设，，若为实数，则m的值为________.15.乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际比赛用球的直径为40.现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒（长方体）表面积的最小值为________.（忽略乒乓球及包装盒厚度）16.如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.（1）求a的值；（2）求所有受灾居民的经济损失的平均值；（3）现按照分层抽样的方法从经济损失在的居民中随机抽取8人，则在的居民有多少人.18.在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若.（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的周长取值范围.19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为的中点，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.20.甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.（1）求甲在第三场被淘汰的概率；（2）求甲最终获胜的概率.21.在四边形中，，，，设.（1）当时，求线段的长度；（2）求面积的最大值.22.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，，点D､E在线段AC上，且，，点F在线段AB上，且EFBC.（1）证明：AB平面PFE.（2）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

——★参考答案★——一、单选题1.C〖解析〗，因此，复数的虚部为.2.A〖解析〗在锐角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.3.C〖解析〗甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为：.4.B〖解析〗在正方体中，记平面为平面，平面为平面为为为，对于选项，，但和相交，所以错；对于选项，，但和相交，所以错；对于选项，，但与相交，所以错；对于选项，由线面垂直的性质可知对；5.A〖解析〗因为，所以为上靠近点的三等份点，所以，因为，所以，所以，6.C〖解析〗原19个数据的平均数为5，方差为2，加入一个数5之后，这20个数的平均数为，方差为.7.B〖解析〗由已知做出正三棱柱，则，设点分别为正，正的中心，连接，则，连接并延长交于于点，则，设点为中点，连接，则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，因为点为正的中心，所以，所以，则，因为平面，所以，则正三棱柱外接球半径，所以该球的表面积为：，故选：B.8.B〖解析〗，设，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是8.二、多选题9.ACD〖解析〗显然对，得：或错，对，对.故选：ACD10.BCD〖解析〗选项，由对立事件的性质不一定正确；由对立事件的概念得，即，B正确；由对立事件的性质知，，故若，则，C正确；由对立事件的概念得，即D正确.故选：BCD.11.AD〖解析〗由已知等腰梯形中，，所以，由斜二测画法得，在原图直角梯形中，，易得，所以四边形的周长为，面积为.12.BCD〖解析〗如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线，则在矩形中，可知为中点，连接，由对称性可知，为中点，为中点，，显然，即不垂直，选项不正确；，该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形全等的梯形组成则表面积，B选项正确；如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST，取的中点则多面体可以分成8个全等三棱锥，则，且平面，则，该“十字贯穿体”的体积即为，C选项正确；与所成角即，在中，选项正确；三、填空题13.210〖解析〗10个数据从小到大顺序排列为：，，而第6个数据为186，第7个数据为.所以第60百分位数为210.14.〖解析〗由已知可得，.因为为实数，所以，解得.15.256〖解析〗设是四个球的球心，以下面积单位是（1）四点共线，则.（2）四点构成一个正方形，则（3）四点构成一正四面体，如图，设是中心，则平面，，正四棱柱为正方体，棱长为，表面积为，比较可得表面积最小值为.16.〖解析〗若为中点，令夹角为，如下图示，，又，由，则，此时，当时最小值为-2；由，则；此时，当时最大值为6；综上，的取值范围是.四、解答题17.解：（1）依题意，，解得.（2）所有受灾居民经济损失的平均值为元.（3）由（1）得经济损失在和在的人数比例为，由分层抽样知，经济损失在的居民有人.18.解：（1）由于，由正弦定理得，即，即，可得：，因为，所以，因为，所以.（2）因为由正弦定理可得，于是，因为中，，所以，所以，可得：，所以周长的取值范围为：.19.（1）证明：如图所示，连接，因为为平行四边形，是中点，所以是平行四边形的对角线，所以是中点，又因为是中点，所以是中位线，所以，因为平面平面，所以平面（2）解：因为平面平面，所以，又，所以，由，所以，又点到平面的距离，所以直线与平面所成角的正切值为.20.解：（1）记事件为甲在第三场被淘汰，则（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，则甲赢的基本事件包括，所以，甲赢的概率21.解：（1）当时，在中，，由正弦定理，得（2）在中，，由正弦定理，在中，，此时，当且仅当时等号成立，故面积的最大值为.22.（1）证明：如题图.由知，为等腰中边的中点，故，又平面平面，平面平面平面，所以平面，从而.因，故.从而与平面内两条相交直线都垂直，所以平面.（2）解：设，则在直角中，.从而由，知，得，故，即.由，从而四边形的面积为由（1）知，平面，所以为四棱锥的高.在直角中，，体积，故得，解得或由于，可得或.所以或.湖南省长沙市师大思沁高级中学2022-2023学年高一下学期期末数学试题时量：120分钟.总分：150分一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分.在每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1.已知是虚数单位，复数，则的虚部为（）A.B.C.D.2.在锐角三角形ABC中，，则（）A.B.C.D.3.甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为（）A.0.9B.0.8C.0.7D.0.24.若m､n､l表示不同的直线，､表示不同的平面，则下列推理正确的是（）A.若，，则B.若，，则C.若，，则D.若，，则5.在中，，若，则的值为（）A.B.C.D.6.已知某19个数据的平均数为5，方差为2，现加入一个数5，此时这20个数据的平均数为，方差为，则（）A.，B.，C.，D.，7.在一个正三棱柱中，所有棱长都为2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A.B.C.D.8.已知M是内一点，且，，，则的最小值是（）A.4B.8C.D.二、多选题：本题共4小题，每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个个选项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知向量，则（）A.B.若，则C.若，则D.10.在一个试验模型中，设A表示一个随机事件，表示A的对立事件.以下结论正确的是（）A.B.C.若，则D.11.如图，四边形ABCD的斜二测直观图为等腰梯形，已知，则（）A.B.C.四边形ABCD的周长为D.四边形ABCD的面积为612.素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力.“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品.“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）.若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（）A.一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直B.该“十字贯穿体”的表面积是C.该“十字贯穿体”的体积是D.与所成角的余弦值是三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.13.有10种不同的零食，每100克可食部分包含的能量（单位：）如下：100，120，125，165，430，186，175，234，425，310.这10种零食每100克可食部分的能量的第60百分位数为________.14.设，，若为实数，则m的值为________.15.乒乓球被称为中国的“国球”，是一种世界流行的球类体育项目，2000年之后国际比赛用球的直径为40.现用一个底面为正方形的棱柱盒子包装四个乒乓球，为倡导环保理念，则此棱柱包装盒（长方体）表面积的最小值为________.（忽略乒乓球及包装盒厚度）16.如图，圆是半径为1的圆，，设，为圆上的任意2个点，则的取值范围是________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.某地区突发小型地质灾害，为了了解该地区受灾居民的经济损失，制定合理的帮扶方案，研究人员经过调查后将该地区所有受灾居民的经济损失情况统计如下图所示.（1）求a的值；（2）求所有受灾居民的经济损失的平均值；（3）现按照分层抽样的方法从经济损失在的居民中随机抽取8人，则在的居民有多少人.18.在△ABC中，角A､B､C所对的边分别为a､b､c，若.（1）求角C的大小；（2）若，求△ABC的周长取值范围.19.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，为的中点，平面，为的中点.（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的正切值.20.甲､乙､丙三位同学进行乒乓球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲､乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.（1）求甲在第三场被淘汰的概率；（2）求甲最终获胜的概率.21.在四边形中，，，，设.（1）当时，求线段的长度；（2）求面积的最大值.22.如图，三棱锥P-ABC中，平面PAC平面ABC，，点D､E在线段AC上，且，，点F在线段AB上，且EFBC.（1）证明：AB平面PFE.（2）若四棱锥P-DFBC的体积为7，求线段BC的长.

——★参考答案★——一、单选题1.C〖解析〗，因此，复数的虚部为.2.A〖解析〗在锐角三角形中，，由正弦定理得，又，所以，且，故.3.C〖解析〗甲､乙两人独立地破译某个密码，甲译出密码的概率为0.4，乙译出密码的概率为0.5.则密码被破译的概率为：.4.B〖解析〗在正方体中，记平面为平面，平面为平面为为为，对于选项，，但和相交，所以错；对于选项，，但和相交，所以错；对于选项，，但与相交，所以错；对于选项，由线面垂直的性质可知对；5.A〖解析〗因为，所以为上靠近点的三等份点，所以，因为，所以，所以，6.C〖解析〗原19个数据的平均数为5，方差为2，加入一个数5之后，这20个数的平均数为，方差为.7.B〖解析〗由已知做出正三棱柱，则，设点分别为正，正的中心，连接，则，连接并延长交于于点，则，设点为中点，连接，则点为正三棱柱外接球的球心，且平面，因为点为正的中心，所以，所以，则，因为平面，所以，则正三棱柱外接球半径，所以该球的表面积为：，故选：B.8.B〖解析〗，设，则，当且仅当，即时，等号成立，故的最小值是8.二、多选题9.ACD〖解析〗显然对，得：或错，对，对.故选：ACD10.BCD〖解析〗选项，由对立事件的性质不一定正确；由对立事件的概念得，即，B正确；由对立事件的性质知，，故若，则，C正确；由对立事件的概念得，即D正确.故选：BCD.11.AD〖解析〗由已知等腰梯形中，，所以，由斜二测画法得，在原图直角梯形中，，易得，所以四边形的周长为，面积为.12.BCD〖解析〗如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线，则在矩形中，可知为中点，连接，由对称性可知，为中点，为中点，，显然，即不垂直，选项不正确；，该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形全等的梯形组成则表面积，B选项正确；如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体CDGEST，取的中点则多面体可以分成8个全等三棱锥，则，且平面，则，该“十字贯穿体”的体积即为，C选项正确；与所成角即，在中，选项正确；三、填空题13.210〖解析〗10个数据从小到大顺序排列为：，，而第6个数据为186，第7个数据为.所以第60百分位数为210.14.