拉普拉斯变换及反变换

补充：拉普拉斯变换及反变换拉氏变换对是求解常系数线性微分方程的工具。把线性时不变系统的时域模型简便地进行变换，经求解再复原为时间函数。概述1整理课件一、拉普拉斯变换

〔2〕常用函数的拉普拉斯变换〔3〕拉普拉斯变换的根本性质二、拉普拉斯反变换内容〔1〕定义2整理课件定义

当f(t)含有冲激函数项时，此项0拉氏变换积分上限说明：一、拉普拉斯变换

F(s)=ℒ[f(t)]f(t)=ℒ-1[F(s)]表示为：0—3整理课件f(t)，t

[0,)称为原函数，属时域。原函数用小写字母表示，如f(t)

，i(t)，u(t)

F(s)称为象函数，属复频域。象函数F(s)用大写字母表示,如F(s)，I(s)，U(s)。称为复频率。f(t)F(S)LL_拉普拉斯变换对，记为：

4整理课件2.2常用函数的拉普拉斯变换

〔单位阶跃函数〕tu(t)F(s)=5整理课件ℒ

ℒ

(指数函数)F(s)=6整理课件=1ℒ

〔单位脉冲函数〕δ(t)t07整理课件〔单位斜坡函数〕

f(t)t0F(s)=L[f(t)]=8整理课件ℒℒ〔幂函数〕9整理课件ℒℒℒℒℒ10整理课件常用函数的拉普拉斯变换表ttne-atte-attne-ate-jwtu(t)δ(t)δn(t)1sn1/s1/s2n!sn+1n!(s+a)n+11(s+a)21s+a1s+jw11整理课件12整理课件1f1(t)e-tt0例题求图示两个函数的拉氏变换式

1f2(t)e-tt0解由于定义的拉氏变换积分上限是0－，两个函数的拉氏变换式相同当取上式的反变换时，只能表示出区间的函数式ℒ-113整理课件2.3拉普拉斯变换的根本性质一、线性性质ℒℒℒ例1ℒ例2ℒℒ14整理课件二、微分定理ℒℒ例1ℒℒℒℒ15整理课件初态为r(0-)及r/(0-)，原始值为e(0-)=0，求r(t)的象函数。解：设r(t)，e(t)均可进行拉氏变换即有E(S)=L[e(t)],R(S)=L[r(t)]对方程两端进行拉氏变换，应用线性组合与微分定理可得[S2R(s)-Sr(0-)-r/(0-)]+a1[SR(s)-r(0-)]+a0R(s)=b1[SE(s)-e(0-)]+b0E(s)整理合并得〔S2+a1S+a0〕R(S)-(S+a1)r(0-)-r/(0-)=(Sb1+b0)E(s)-b1×0例3

某动态电路的输入—输出方程为16整理课件三、积分定理例ℒℒ17整理课件四、时域平移f(t)f(t-t0)平移ℒ18整理课件例1例2ℒℒ五、复频域平移ℒℒ例3ℒ19整理课件六、初值定理和终值定理初值定理假设ℒ[f(t)]=F(s)，且f(t)在t=0处无冲激，那么终值定理f(t)及其导数f

(t)可进行拉氏变换，且

20整理课件例1例2例3ℒ21整理课件例4：F(s)=

解：由初值定理得，求f(0)和f(∞)由终值定理得22整理课件例

右图所示电路中，电压源为，试用时域卷积定理求零状态响应电流i(t)。七、时域卷积性i(t)RL解〔1〕写出系统动力学方程〔2〕作Laplace变换得系统方框图h(t)Ui(s)H(s)I(s)23整理课件零状态响应电流I(s)=Ui(s)H(s)=ℒ[ui(t)]

H(s)

=ℒℒ-1[I(s)]i(t)=〔4〕应用时域卷积定理〔3〕求系统传递函数h(t)Ui(s)H(s)I(s)〔5〕作Laplace反变换得24整理课件八、S域卷积性九、尺度变换性25整理课件拉普拉斯变换的根本性质表26整理课件拉普拉斯变换的根本性质表27整理课件拉普拉斯变换的根本性质表28整理课件本讲小结：拉普拉斯变换定义常用函数的拉普拉斯变换拉普拉斯变换的根本性质29整理课件30整理课件(1)ℒ利用31整理课件32整理课件33整理课件34整理课件35整理课件36整理课件37整理课件38整理课件作业1、写出拉普拉斯变换定义式2、39整理课件1(s-1)2__40整理课件41整理课件二、拉普拉斯反变换

1、由象函数求原函数

〔2〕经数学处理后查拉普拉斯变换表f(t)=L-1[F(s)]（1）利用公式

较麻烦

42整理课件象函数的一般形式：

2、将F(s)进行局部分式展开43整理课件等式两边同乘(s-s1)=044整理课件例1

解：

F(S)

45整理课件例2

〔m=n，用长除法〕解：

F(S)

46整理课件〔k1,k2也是一对共轭复数〕假设只有两个根设解：

那么欧拉公式

47整理课件例1

法一：

局部分式法展开，求系数。48整理课件法二：

将F2(s)改写为(s＋

)2+2F(S)

=49整理课件等式两边同乘50整理课件例1

等式两边乘

得

51整理课件例2

等式两边乘

52整理课件53整理课件54整理课件〔4〕一般多重根情况55整理课件练习1:求其原函数56整理课件s57整理课件练习2:因为m>n，故采用58整理课件59整理课件同理可求60整理课件练习3:61整理课件62整理课件〔t≥0〕63整理课件练习4:64整理课件65整理课件66整理课件

2.5用拉氏变换法求解常微分方程,n作Laplace变换67整理课件68整理课件例1:1(t>0)0(t≤0)69整理课件70整理课件71整理课件例如下图电路中，电压源为，求零状态响应电流i(t)。i(t)RL〔1〕写出系统动力学方程〔2〕作Lap