广西柳州市柳江区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷

广西柳州市柳江区2023-2024学年八年级上学期期中数学试卷(解析版)一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）贴窗花是我国春节喜庆活动的一个重要内容，它起源于西汉时期，历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．3，6，103．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（）A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性4．（3分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去5．（3分）下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS7．（3分）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（）A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：018．（3分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4 B．2 C．3 D．610．（3分）如图，四边形ABCD沿直线l对折后互相重合，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD；②AB＝CD；③AB⊥BC；④AO＝OC．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）平面直角坐标系中，点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标是．12．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝40°，则∠B的度数是．13．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是．14．（3分）如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是．15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC并交BC于点D，BD＝5cm，则BC＝cm．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长为．三、解答题（本大题共7小题，满分52分）17．（6分）若一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是几边形？18．（6分）上数学活动课时，小明为测量池塘两端A，B的距离，设计了如下方案：如图，先在平地上取一个可直接到达A，B两端的点C，连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长．为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴．19．（6分）如图，AB＝AC，∠A＝30°，AC的垂直平分线MN交AB于点D，求∠DCB的度数．20．（8分）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．21．（8分）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°．（1）请用尺规作图法，作∠B的角平分线BD交边AC于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）如果AB＝6，求BD的长．22．（8分）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D；（1）若∠ABC＝60°，∠DCE＝70°，则∠D＝°；（2）若∠ABC＝70°，∠A＝80°，则∠D＝°；（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）23．（10分）综合与实践八年级二班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起探究吧．【发现问题】他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的长的取值范围．【探究方法】他们通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE．可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的长的取值范围．【方法小结】从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形，我们把这种方法叫做“倍长中线法”．（1）请你利用上面解答问题的思路方法，写出求解AD的长的取值范围的过程．【问题解决】（2）如图2，CB是△AEC的中线，CD是△ABC的中线，且AB＝AC，下列有四个选项：A．∠ACD＝∠BCDB．CE＝2CDC．∠BCD＝∠BCED．CD＝CB直接写出所有正确的选项：．【问题拓展】（3）如图3，在△ABO和△CDO中，OA＝OB，OC＝OD，∠AOB与∠COD互补，连接AC，BD，取BD的中点E，连接OE，求证：．

参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（3分）贴窗花是我国春节喜庆活动的一个重要内容，它起源于西汉时期，历史悠久，风格独特，深受国内外人士的喜爱．下列窗花作品为轴对称图形的是（）A． B． C． D．【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，选项A能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形，故选：A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（3分）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）A．1，2，3 B．2，2，4 C．3，4，5 D．3，6，10【分析】根据三角形的三条边必须满足任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边即可判断．【解答】解：A、1+2＝3，不能组成三角形，故本选项不符合题意；B、2+2＝4，不能组成三角形，故本选项不符合题意；C、3+4＞5，能组成三角形，故本选项符合题意；D、3+6＜10，不能组成三角形，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．3．（3分）如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（）A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性【分析】根据三角形具有稳定性解答．【解答】解：生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是因为三角形具有稳定性．故选：B．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．4．（3分）某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事方法是（）A．带①去 B．带②去 C．带③去 D．①②③都带去【分析】本题就是已知三角形破损部分的边角，得到原来三角形的边角，根据三角形全等的判定方法，即可求解．【解答】解：第一块和第二块只保留了原三角形的一个角和部分边，根据这两块中的任一块均不能配一块与原来完全一样的；第三块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据ASA来配一块一样的玻璃．应带③去．故选：C．【点评】此题主要考查了全等三角形的判定方法的开放性的题，要求学生将所学的知识运用于实际生活中，要认真观察图形，根据已知选择方法．5．（3分）下面四个图形中，线段AD是△ABC的高的是（）A． B． C． D．【分析】过A点作BC的垂线，垂足为D，则线段AD是△ABC的高，从而可对各选项进行判断．【解答】解：线段AD是△ABC的高的是．故选：D．【点评】本题考查了三角形的角平分线、中线和高，正确理解三角形的角平分线、中线和高的定义是解决此类问题的关键．6．（3分）用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出∠A'O'B'＝∠AOB的依据是（）A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS【分析】利用基本作图得到OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，则根据“SSS”可判断△A'O'B'≌△AOB，然后根据全等三角形的性质得到∠A'O'B'＝∠AOB．【解答】解：由作图痕迹得OC＝OD＝O′C′＝O′D′，CD＝C′D′，所以△C'O'D'≌△COD（SSS），所以∠A'O'B'＝∠AOB．故选：D．【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定与性质．7．（3分）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是（）A．15：01 B．10：51 C．10：21 D．12：01【分析】镜子中看到的数字与实际数字是关于镜面成垂直的线对称．注意镜子的5实际应为2．【解答】解：电子表的实际时刻是10：21．故选：C．【点评】此题主要考查了镜面对称，可以把数据抄下来，反过来看看，这样最直观．8．（3分）如图，在△ABC中，D是BC延长线上一点，∠B＝40°，∠ACD＝120°，则∠A等于（）A．60° B．70° C．80° D．90°【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，知∠ACD＝∠A+∠B，从而求出∠A的度数．【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠B，∴∠A＝∠ACD﹣∠B＝120°﹣40°＝80°．故选：C．【点评】本题主要考查三角形外角的性质，解答的关键是沟通外角和内角的关系．9．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，CD＝4，则点D到AB的距离是（）A．4 B．2 C．3 D．6【分析】根据角平分线的性质定理得出CD＝DE，代入求出即可．【解答】解：如图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，∵∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD＝DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），∵CD＝4，∴DE＝4．故选：A．【点评】本题主要考查了角平分线的性质的应用，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等．10．（3分）如图，四边形ABCD沿直线l对折后互相重合，如果AD∥BC，有下列结论：①AB∥CD；②AB＝CD；③AB⊥BC；④AO＝OC．其中正确的有（）A．4个 B．3个 C．2个 D．1个【分析】此题考点是轴对称的性质1和性质2，还要结合全等三角形和平行四边形的一些性质，多方面考虑，对各项进行逐一分析．【解答】解：∵直线l是四边形ABCD的对称轴，AD∥BC；∴△AOD≌△BOC；∴AD＝BC＝CD，OC＝AO，且四边形ABCD为平行四边形．故②④正确；又∵AD四边形ABCD是平行四边形；∴AB∥CD．故①正确．故选：B．【点评】此题所包含的内容非常全面，也是平时测试中经常会遇到的．它包括了轴对称，全等三角形和平行四边形几方面的知识．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）平面直角坐标系中，点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标是（1，﹣3）．【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得答案．【解答】解：点A（1，3）关于x轴对称的点的坐标为（1，﹣3），故答案为：（1，﹣3）．【点评】本题主要考查了关于x轴的对称点的坐标，关键是掌握点的坐标变化规律．12．（3分）在△ABC中，∠A＝80°，∠C＝40°，则∠B的度数是60°．【分析】根据三角形的内角和定理得∠A+∠B+∠C＝180°，从而可求∠A的度数．【解答】解：∵∠A＝80°，∠C＝40°，∴∠B＝180°﹣∠A﹣∠C＝60°．故答案为：60°．【点评】本题主要考查三角形的内角和定理，解答的关键是熟记三角形的内角和为180°．13．（3分）若等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长是17．【分析】因为边为3和7，没明确是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【解答】解：分两种情况：当3为底时，其它两边都为7，3、7、7可以构成三角形，周长为17；当3为腰时，其它两边为3和7，3+3＝6＜7，所以不能构成三角形，故舍去，所以等腰三角形的周长为17．故答案为：17．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14．（3分）如图，AC⊥BC，BD⊥BC，垂足分别为C，B，要根据“HL”证明Rt△ABC≌Rt△DCB，应添加的条件是AB＝DC．【分析】斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，由此即可得到答案．【解答】证明：∵AC⊥BC，BD⊥BC，∴∠ACB＝∠CBD＝90°，在Rt△ABC和Rt△DCB中，，∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL），∴应添加的条件是AB＝DC．故答案为：AB＝DC．【点评】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：HL．15．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC并交BC于点D，BD＝5cm，则BC＝10cm．【分析】首先根据等腰三角形的性质：等腰三角形的三线合一，即可求出DB＝DC＝CB，AD⊥BC，从而求出BC的长．【解答】解：∵AB＝AC，AD是∠BAC的角平分线，∴DB＝DC＝CB，∵BD＝5，∴BC＝2BD＝10；故答案为：10．【点评】此题主要考查了等腰三角形的性质，熟知等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边的中线三线合一是解题的关键．16．（3分）如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，BD＝2，则AD的长为6．【分析】根据同角的余角相等求出∠A＝∠BCD＝30°，再根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出BC、AB的长，然后根据AD＝AB﹣BD计算即可得解．【解答】解：∵∠A＝30°，CD⊥AB，∴∠BCD+∠B＝90°，∠A+∠B＝90°，∴∠A＝∠BCD＝30°，∵BD＝2，∴BC＝2BD＝4，AB＝2BC＝2×4＝8，∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6．故答案为：6．【点评】本题考查直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，同角的余角相等的性质，熟记性质是解题关键．三、解答题（本大题共7小题，满分52分）17．（6分）若一个多边形的内角和等于它的外角和的4倍，它是几边形？【分析】设这个多边形的边数为n，由题意列得方程，解方程即可．【解答】解：设这个多边形的边数为n，由题意得（n﹣2）•180°＝360°×4，解得：n＝10，即这个多边形是十边形．【点评】本题考查多边形的内角和与外角和，结合已知条件列得方程是解题的关键．18．（6分）上数学活动课时，小明为测量池塘两端A，B的距离，设计了如下方案：如图，先在平地上取一个可直接到达A，B两端的点C，连接AC，BC，并分别延长AC至D，BC至E，使DC＝AC，EC＝BC，最后测出DE的距离即为AB的长．为什么？请结合解题过程，完成本题的证明．证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴DE＝AB．【分析】根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解答】证明：在△DEC和△ABC中，，∴△DEC≌△ABC（SAS），∴DE＝AB．故答案为：DE＝AB．【点评】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．19．（6分）如图，AB＝AC，∠A＝30°，AC的垂直平分线MN交AB于点D，求∠DCB的度数．【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出∠ACB的度数，根据线段的垂直平分线的性质得到DC＝DA，由等腰三角形的性质得到∠ACD＝∠A，计算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝30°，∴∠ACB＝∠B＝75°，∵DE的线段AC的垂直平分线，∴DC＝DA，∴∠ACD＝∠A＝30°，∴∠DCB＝∠ACB﹣∠ACD＝45°．答：∠DCB的度数是45°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．20．（8分）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，5），B（﹣3，0），C（﹣4，3）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出点C1的坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）、（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（3）用一个矩形的面积减去三个三角形的面积计算△ABC的面积．【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）点C1的坐标为（4，3）；（3）△ABC的面积＝3×5﹣×3×1﹣×3×2﹣×5×2＝．【点评】本题考查了作图﹣对称性变换：在画一个图形的轴对称图形时，先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．21．（8分）如图，△ABC中，∠B＝60°，∠C＝45°．（1）请用尺规作图法，作∠B的角平分线BD交边AC于点D；（不要求写作法，保留作图痕迹）（2）如果AB＝6，求BD的长．【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法作图即可；（2）先根据三角形内角和定理求出∠A＝75°，再根据角平分线的定义求出∠DBC＝30°，再根据三角形外角的性质求出∠ADB＝75°，即可证明∠A＝∠ADB，则BD＝AB＝6．【解答】解：（1）如图所示，BD即为所求；（2）在△ABC中，∠ABC＝60°，∠C＝45°，∴∠A＝180°﹣60°﹣45°＝75°，∵BD是∠ABC的角平分线，∴，∴∠ADB＝∠DBC+∠C＝75°，∴∠A＝∠ADB，∴BD＝AB＝6．【点评】本题主要考查了角平分线的尺规作图，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定，灵活运用所学知识是解题的关键．22．（8分）如图所示，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，且与BD交于点D；（1）若∠ABC＝60°，∠DCE＝70°，则∠D＝40°；（2）若∠ABC＝70°，∠A＝80°，则∠D＝40°；（3）当∠ABC和∠ACB在变化，而∠A始终保持不变，则∠D是否发生变化？为什么？由此你能得出什么结论？（用含∠A的式子表示∠D）【分析】（1）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；（2）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质即可求得；（3）根据三角形内角和定理以及角平分线性质，先求出∠D、∠A的等式，推出∠D＝∠A，即可求得结论．【解答】解：（1）∵BD为△ABC的角平分线，∠ABC＝60°，∴∠DBC＝30°，∵∠DCE＝70°，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝70°﹣30°＝40°；（2）∵∠ABC＝70°，∠A＝80°，∴∠ACE＝150°∵BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC外角∠ACE的平分线，∴∠DBC＝∠ABC＝35°，∠DCE＝∠ACE＝75°，∴∠D＝∠DCE﹣∠DBC＝75°﹣35°＝40°；（3）不变化，理由：∵∠DCE＝∠DBC+∠D，∴∠D＝∠ACE﹣∠ABC＝（∠A+∠ABC）﹣∠ABC＝∠A．故答案为40；40．【点评】此题考查三角形内角和定理以及三角形外角的性质的综合运用，解此题的关键是求出∠D＝∠A．23．（10分）综合与实践八年级二班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究实验活动，请你和他们一起探究吧．【发现问题】他们在探究实验活动中遇到了下面的问题：如图1，AD是△ABC的中线，若AB＝5，AC＝3，求AD的长的取值范围．【探究方法】他们通过探究发现，延长AD至点E，使ED＝AD，连接BE．可以证出△ADC≌△EDB，利用全等三角形的性质可将已知的边长与AD转化到△ABE中，进而求出AD的长的取值范围．【方法小结】从上面的思路可以看出，解决问题的关键是将中线AD延长一倍，构造出全等三角形