ANSYS工程分析-基础与观念Chapter02

第2章结构力学总复习ReviewofStructuralMechanics这一章的目的是希望能够在最短的时间内，帮读者对结构力学作一个总复习，以具备必要的背景知识去理解以后各章节所介绍的观念。本章的讨论只限于线性、静态的结构之问题。在第一节中我们先定义结构分析的问题：一个实体（body）承受了负载（loads），我们要去求出它所产生的反应（responses）。在这个简洁的定义中我们使用了几个名词：body、loads、及responses，我们将一一分别讨论。结构承受负载后的反应通常可以用变位（displacements）、应变（strains）、及应力（stresses）来表示，这些量之间存在某些关系；我们将在第二节中讨论控制着这些未知量间的方程式。第三节我们将讨论利用有限元素法来解这些控制方程式的基本观念，包括有限元素法的基本构想及形状函数（shapefunctions）、劲度矩阵（stiffnessmatrices）等名词及其背后的重要性。第节结构分析问题的定义DefinitionofStructuralAnalysisProblems结构分析问题很多的工程分析问题都可以定义成在一个区域（domain）中，承受某些的负载（loads），而我们想要知道这个domain的反应（response）。所谓domain可能是一固体、流体、或只是一个空间，但在结构分析问题上，domain是指一个固态的实体（solidbody）。结构分析是一个固态的实体（body）承受负载（loads）后（如图2-1所示），求解结构反应（responses）的过程。图2-1结构分析问题定义图2-1中我们画了一个body，并有四个常见的负载加在这个body上。第一个load是作用在边界S1上的均布载重F1；第二个load是作用在边界S2上的集中载重F2；第三个load是作用在边界S3上的拘束（变位为0）；第四个load是作用在边界S4上的已知变位。结构分析的目是去求解在这样的loads下所产生的结构的反应。我们所举的四个负载都是作用在边界上，所以又可以称为「边界条件」（boundaryconditions）。但是负载并不一定全部都作用在边界上，譬如重力可以均匀作用在body内部，这种情形我们通常不称之为边界条件，而以「负载」统称这些分布在边界上及物体内的条件。负载种类我们将在小节进一步介绍，而要怎么去完整的描述结构的反应，我们将在至小节讨论。在小节中我们仅以两个简单的例子来说明图2-1的意义。2.1.2结构分析实例图2-2的例子中的body是一根梁，这根梁承受三个负载：一是集中载重P；二是均布载Q；三是梁左端的一个拘束（变位为0）。我们想知道在这些负载下，结构的反应是怎样子的。图2-3的例子是一个根梁承受了两个负载：一是右端的已知变位D，二是左端的固定拘束。我们想要知道在这样的情形下，它的反应会是怎样子的。PPQ图2-2结构分析实例：悬臂梁承受集中载重P及均布载QDD图2-3结构分析实例：悬臂梁承受变位D2.1.3负载为了有效地将负载作用在body中，我们有必要对loads去作一个很清楚的分类。前面所举的一些loads例子，都是作用在body表面上的，所以我们可以先将负载分为两大类：作用在物体表面及作用在物体内部的loads。图2-4列出ANSYS中所考虑的结构物负载。作用在物体表面的loads包括了力及变位；力又可分为集中力（SI单位N）及分布力（SI单位N/m2）；变位则又可分为零变位及非零变位。以上这些负载应该都是很容易理解的。作用在body内部的loads，最常看到的是热负载，在ANSYS中是以温度变化量（℃）描述于整个body中（而非只有表面）。惯性力（如重力、离心力等，SI单位N/m3）也是常见的分布于整个body的力。其它还有静电力、磁力等也是分布在body的力。负载作用在物体表面力表面分布力点集中力变位零变位（固定）非零变位作用在物体内部力惯性力（重力、离心力）其它体积分布力（电力、磁力）热温度变化图2-4结构负载的分类2.1.4反应我们通常用变位、应变、应力来表示一个body承受loads后的结构反应。图2-5列出本书所用的变位、应变、应力的符号及它们分量的个数。注意，在3D的结构分析中，我们总共使用了15个分量来描述结构反应，而每一个分量都是位置的函数。事实上，这些量之间并非是完全独立的，我们将在节讨论它们之间的关系。为什么我们要用变位、应变、应力来描述结构反应呢？变位是指每一直点的位移，它代表结构的变形；所以描述结构反应时，变位是不可或缺的。但是应力、应变的重要性又是如何呢？一个材料它能够承受的应力、应变都是有一限度的；应力、应变超过某一程度，就会破坏掉（fracture）或降伏掉（yield），所以它们通常作为结构设计是否实用的重要检验基准。结构反应符号分量数目变位（displacements）{u}3应变（strains）{}6应力（stresses）{}6图2-5结构负载的分类在本书中，我们用{u}来代表变位、用{}来代表应变、用{}来代表应力。我们会在以下的三个小节里分别来讨论这些量。注意，这三个量都不是单一的量，所以我们用向量来表示它们。在3D的结构系统里面，变位有3个分量，应变及应力各有六个分量，一共有15个分量。我们把这15个量当做是我们要去求解的未知量，只要知道了这15个量，就能清楚的来描述结构反应。注意，去选用多少的未知量是任意的，只要我们建立出等量的方程式，就可以去解出未知量。2.1.5变位图2-6变位变位应该是很容易了解的。在图2-6中，我们画了变形前及变形后的body；假设某一个特定的质点（x,y,z）在变形后移到了一个新的位置，我们把它的位移用一个向量（vector）来表示，这就是这个点的变位（displacement），我们用{u(x,y,z)}来代表。因为它是一个向量，所以在3D中我们可以用三个分量ux、uy、uz来表示： (2.1)注意，式中的3个分量都是位置的函数。2.1.6应力上一小节所讨论的「变位」是很容易了解的，它可以用向量来表示，而我们通常很熟悉向量的观念。相对的，应力及应变的观念则有一点复杂。严格来说「应力」用向量来表示是不精确的；比较精确的方式是用张量（tensor）来表示，但是tensor是很不容易理解的数学表示方式，所以除非必须非常深入地讨论应力，一般的结构力学讲解还是舍弃用tensor来解说应力。应力是在描述力的密度（intensity），也就是是每单位面积有多少力量（SI单位N/m2）。如果有一条断面积A的钢条被施以F的力量，则我们说沿着长度方向有F/A的应力。在3D的情况下，事情变得有点复杂。现在假想你被埋在一个body里面的A点，这个body承受了某些loads，如图2-7所示；你如何对外面的人描述你所承受到的「力的密度」呢？也就是说你的每单位表面积受到多少力。图2-7结构系统中的某一点A的应力为了说明，我们假设有一个坐标系统xyz可供参照，如图所示。如果这个body是一静止的液体，你会受到四面八方相同的压力，所以只要一个量就可以完整地描述你承受的应力。假设压应力大小是p（SI单位N/m2），那么你可以如此描述：「我感受到p的压应力」。当我们感受力量向着自己时，这个应力称为压应力；反之当我们感受力量远离自己时，这个应力称为张应力。注意，当图中的body是静止液体时，你永远会感受力量向着自己的，亦即永远是压应力，而且此压应力大小与方向无关。当图中的body是固态实体时，你会在不同的方向感受到不同大小的力量，所以若要精确地描述所承受的力，必须先说明在哪个方向，譬如：「我在某方向感受到p的应力」。注意，p本身是一个向量，当向着你自己时，这个应力称为压应力；反之当远离自己时，这个应力称为张应力。图2-8物体中某一点的应力描述我们以图2-8来进一步说明上述这一句话（在某方向感受到p的应力）的意义。图2-8中，我们以围绕在A点（图2-7）的6个平面来分别代表+x、-x、+y、-y、+z及-z方向，譬如垂直于+x方向的平面称为+x平面、垂直于-x方向的平面称为-x平面、其它类同。假设你在+x方向感受到p的应力（注意，其SI单位为N/m2），亦即有p的应力作用在+x平面上。若将此应力拆成三个分量，分别平行于x、y、及z方向——在图中我们以x、xy、xz来表示，注意其中第一个下标x是指作用在+x平面上、第二个下标是指应力的方向。因为x垂直于+x平面，所以我们称之为该平面上的正向应力；而因为xy、xz相切于+x平面，所以我们称之为该平面上的剪向应力。图2-9是与图2-8是完全一样的，只是转个方向而已。图2-9物体中某一点的应力描述（X-YPlaneView）为了描述某一个点的应力，只有描述一个方向（或平面）的应力是不够的；在3D的世界里，我们最少需要描述三个方向的应力才能完整地描述某一点的应力状态。其它方向的应力可以从这三个方向的应力来推算出来，但是这三个方向必须是独立的，一般我们选择+x、+y、及+z方向。如前面所讨论的，我们以x、xy、xz来表示+x方向的正应力及平行于+y及+z方向的剪应力；同样的我们以y、yx、yz来表示+y方向的正应力及平行于+x及+z方向的剪应力；而以z、zx、zy来表示+z方向的正应力及平行于+x及+y方向的剪应力。所以我们可以用9个分量来表示一个点的应力状态： (2.2)这9个应力分量分别表示在图2-8中的立方体上。事实上这9个分量也并不是完全的独立的，我们可以证明 (2.3)也就是说式中的矩阵是对称的。所以只要用6个分量就可以来描述，用向量的方式来表示，我们可以写成 (2.4)式的证明很简单，只要将图2-8的立方体视为一个自由体（freebody），再取下列力平衡条件即可得到证明：2.1.7应变图2-10质点A的应变应变是在描述某一质点被拉申或压缩的程度，它的单位是每单位长度的拉伸长度（SI单位m/m，所以相当于无单位）。如果有一长度L的物体被均匀拉长L，则我们说沿着长度方向有L/L的应变。在3D的情况下，应变比应力更难理解。现在让我们来思考一个body内的一个质点A及邻近的点B和C，如图2-10所示。注意，我们故意选择三个点的位置使的AB和AC互相垂直。假设这个body变形以后ABC三个点变为A’B’C’三个点。为了要计算AB和AC这两根纤维在变形后被拉伸了多少，我们先将变位前后的纤维迭合在一起做比较，亦即将变形后的纤维A’B’C’作一个旋转变成A’B”C”，再作一个平移变成AB’’’C’’’。注意，经过旋转及平移后并不影响其两根纤维的相对关系（即长度及夹角）。现在可以很清楚地看出原来的x方向的一条小纤维AB被拉伸成AB’’’，其总伸长可以用向量BB’’’来表示。这个伸长量BB’’’可拆成两个分量：正向伸长量BD及剪向伸长量DB’’’，我们将它们除以原来的长度AB就是正向应变（用x表示）及剪向应变（用xy表示）：注意我们使用了和应力一样的下标，亦即第一个下标x是指作用在+x平面上、第二个下标是指应变的方向。以上的诱导主要是要让读者在观念上理解到正向应变及剪向应变的涵义。根据上式，正向应变（normalstrain）是很容易理解的：x平面上（有关x平面的定义请参照小节）的正向应变就是x方向的一条无穷小的纤维，它的伸长量除以原来的长度。而剪向应变（shearstrain）则需进一步思考，以下的讨论我们假设变形是无穷小的。根据上式，x平面上向着y方向的剪应变事实上就是夹角BAB’’’，亦即在无穷小的变位假设下这个角度也就是两根原来垂直的纤维其角度的变化。我们的结论是：xy表示x平面上y方向的剪应变分量，它是xy平面上两根原来垂直的纤维其角度的变化。注意此角度是以径度量（radian）表示的，相当于无单位（dimensionless）。在3D的情况下，x平面上除了正应变x外还有y方向的剪应变分量xy及z方向的剪应变分量xz；y平面上则有正应变y、x方向的剪应变分量yx、及z方向的剪应变分量yz；z平面上则有正应变z、x方向的剪应变分量zx、及y方向的剪应变分量zy。所以在3D的情况下，我们可以用9个分量来表示一个点的应变状态 (2.5)这9个应变分量可以分别表示乘类似图2-8的样子（只要把改为就可以了）；图2-11则是x-y平面的表示方式。图2-11质点A的应变描述式中的9个分量也并不是完全的独立的，我们可以证明（程序有点复杂，若有兴趣可以参考任何材料力学课本，譬如Ref.24）； (2.6)也就是说式中的矩阵是对称的。所以只要用6个分量就可以来描述，用向量的方式来表示，我们可以写成 (2.7)第节控制方程式GoverningEquations2.2.1控制方程式在节所定义的结构分析问题中，我们所选定的未知量是变位{u}、应力{}、及应变{}， (2.1) (2.4) (2.7)其中变位有3个未知量，应力有6个未知量，应变也有6个未知量，这15个未知量都是位置的函数，所以我们分别称之为变位场、应力场、及应变场。我们必须建立15个方程式才能解出这15个未知量，这些方程式就是所谓的控制方程式（governingequations）。一般在建立控制方程式我们会先寻求可以利用的物理法则，例如动量守恒定律、能量守恒定律、及质量守恒定律。再来是观察这些未知量间是否存在着几何关系或任何数学关系。最后，在未能建立足够的方程式之下，我们必须做适当的假设，当然这些假设是经过很多实验来证实大致上是可以应用的。注意，很多物理定律、假设、或数学定理都会以不同的形式来描述或应用，工程师需要深切理解这点，譬如动量守恒定律在结构力学上常以牛顿运动定律的形式（力平衡原理）来应用。我们先大致叙述结构分析控制方程式的诱导程序，然后在接下来的三个小节中再详细讨论。面对节所定义的结构分析的问题，我们会先利用力平衡原理来建立3个方程式。在3D中，力平衡方程式应该有6个，但是其中3个我们已经用来证明在剪应力是对称的了（小节最后部分）。接着利用应变与变位之间的几何关系，去建立出6个方程式，称为应变与变位关系。最后是假设应力与应变之间存在着某一个关系（就是有名的虎克定律），有6条方程式。所以共有15个方程式。注意，在以下三个小节的讨论中，有时侯在别的教科书上你所看到的控制方程式并不一定是这样子的，可能是另一种形式，可是它们都是相等的。记着，当你选用几个未知量，就必须建立一样数量的方程式才能解这些结构反应。2.2.2力平衡方程式我们要介绍的第一组方程式称为力平衡方程式，即动量守恒定律的另一种形式。为了思考body上某一质点的力平衡，我们可分成两个可能性来讨论。第一个可能性是这一点是在body内部的某一个质点，第二个可能性是这一点是在body表面上的一个质点。我们先讨论在body里面的某一个质点，假想一个微小元素（如图所示），它的长宽高分别是dx、dy、dz。假设它除了受x、y、z、xy、yz、zx外，其内部还受了fx、fy、fz的bodyforces（譬如重力等，SI单位N/m3），我们对这个微小的元素应用力平衡条件可以得到下列方程式 (2.8)注意，我们不能再应用三个力矩平衡条件，因为我们已经用这三个力矩平衡条件来证明在剪应力是对称的了（小节最后部分）。如果这个质点是在body的表面上，我们也是可以取一个微小元素，再对这个微小元素应用力平衡条件，也可求得方程式如下 (2.9)其中nx、ny、nz是该点在body表面上的单位法向向量（unitnormalvector）的分量，而Tx、Ty、Tz是作用在body表面上外力（称为surfacetractions）。以上、的诱导步骤我们并没有详细说明，因为诱导过程并不是我们的重点，我们的重点是：无论质点是在body内部或边界上，都存在着3个方程式，它们描述了应力分量之间的关系；这3个方程式式由力平衡条件诱导来的；在body的内部它们的形式是，而在body的边界上它们的形式是。注意，这些方程式都是线性的。2.2.3应变与变位关系接下来我们介绍下列的6个方程式，描述着应变{}和变位{u}间的关系； (2.10)纯粹是一种几何关系（而不涉及任何物理现象）。你可以取一个微小的元素，从其几何关系导出这样的关系出来。诱导过程中忽略了二次微分项及更高的微分项只留下一次微分项；这代表是在很小的变形量下才能够成立。所以对我们要强调的有三个重点：其一是它们描述了应变与变位之间的关系。其二是它们由纯粹几何关系（而不含物理观念）导出；其三是应变与变位是线性的，因为是在无穷小的变形假设之下所导出来的。我们稍微进一步地去观察中6个方程式的涵意，我们看第一个方程式是指在x方向的纤维每单位长度在x方向的变位，这是相当符合我们在小节的理解的。同样的y、z也是一样意思。而xy是xy平面上原来垂直的两根纤维的角度变化量，它等于2.2.4应力与应变关系接下来我们要介绍下列的这6个方程式，它们又叫做虎克定律（Hooke’sLaw），它们描述了应力和应变的关系： (2.11)注意这6条方程式只是一种理想化的假设，也就是说当你应用到这些方程式的时候，你必须确定材料符合这种假设。这种描述应力应变关系的方程式又称为材料的本构方程式（constitutiveequations），是常被应用的形式，因为它是最简单的形式，并且在很多情况下其精确度是可以接受的。注意，中，应力与应变呈线性关系。符合的材料称为线性材料（或线性弹性材料）。为什么需要假设一组应力应变关系的方程式呢？理由很简单：因为如此才有足够的方程式来解结构反应。中包含了3个参数，它们代表线性弹性材料的材料参数：E、G、及。E称为杨氏模数（Young’sModulus）。当我们对线性弹性材料做单轴拉伸实验时，如果把横轴作为应变，纵轴作为应力，所画出来的线应该是一条直线，而直线的斜率即为杨氏模数E。G称为剪力模数（shearmodulus）。当我们对线性弹性材料作剪力实验时，如果把横轴作为剪应变，纵轴作为剪应力，所画出来的线应该是一条直线，而直线的斜率即为剪力模数G。称为波松比（Poisson’sratio）。当我们做单轴拉伸实验时，x方向被拉伸的同时，y和z的方向会收缩；此时y或z方向的收缩量与x方向拉伸量的比即为Poisson’sratio。事实上这3个材料参数并非独立的，实验可以证明它们存在着下列的关系： (2.12)所以只要知道其中两个参数即可知道其它一个参数，也就是说符合虎克定律的线性弹性材料只有两个独立的材料参数——E、G、之中的任何两个。让我们来看看中的方程式。第1、2、3条方程式事实上就是杨氏模数及Poisson’sratio的定义。对3D空间中的某一质点而言，它承受的应力可能是多轴的，所以当我们在观察x方向的应变时，不只是x方向的应力会造成x方向的拉伸，y方向的应力也会造成x方向的收缩，同样的z方向的应力也会造成x方向的收缩。第4、5、6条方程式事实上就是剪力模数的定义。第节解题方法：有限元素法SolutionMethod:FiniteElementMethod2.3.1数值解法在节中我们建立了15条方程式，这15条方程式共包含了15个未知量。理论上这15条方程式可以来解15个未知量，但是实务上，只有很简单的结构并且承受很简单的负载的结构问题才有可能获得一个解析解（analyticalsolution）。实务上的工程问题中，结构的几何形状及负载都是很复杂的。过去在没有计算机的年代，大都数的工程师会对问题都做一个适当的简化，把几何形状及负载做简化，再来解问题。譬如简化成一个悬臂梁承受一个集中载重或均布载重等。但是大部分的工程问题若是太勉强地简化的结果，所解出来的解答与实际的偏离太多了。在少数可以简化的问题上，工程师本身必须具有相当的知识、经验、及洞察能力，才能适当第简化这些问题，才能适当地抓住原本结构的行为本质；这些知识、经验、及洞察能力常常需要长时间（譬如20、30年）的养成。所以长久以来工程师、数学家试着去研发很多的方法来解节中所描述的方程式。数值解法是必要的，因为现代的电子计算器都是以数值方式来处理的（其它处理方式都不算很成功）。数值计算方法的发展几乎是平行于计算机科技发展的。工程师们从有计算机开始就开始着手发展一套有效数值的方法来解类如节所描述的方程式，其中有很多成功的例子，但是到目前为止最成功、最被普遍应用的方法可以说是有限元素法了。从1930年代至今，它已经发展了70年以上了。有限元素法事实上是针对边界值问题（boundaryvalueproblems）所发展的。实际的工程问题的自变量通常可分为两类，一个是空间（常用x、y、z三个变量表示），另一个是时间（常用t表示）。在空间变量上我们通常可以将问题model成一个边界值问题，但是在时间变量上，我们通常将问题model成一个初始值问题（initialvalueproblem），因为通常初始时间的条件是已知的，但是最后时间点的条件通常无法得知。初始值问题通常以有限差分法（finitedifferencemethod）来解是比较适合的。所以一般含时间变量在内的工程问题（即动态问题），我们沿着时间轴将问题切割（利用有限差分法）成许多只含空间变量的边界值问题，再以有限元素法来解这些边界值问题；亦即在固定的时间点上去解一个边界值问题，再将每个时间点的解答串联起来。2.3.2有限元素法：基本构想前面提过实务上的结构系统大多有很复杂的几何形状及负载，而我们也知道对于简单的几何形状及负载，可直接去写出它的方程式。有限元素法的基本构想是基于上述的事实的。首先我们把一个有复杂几何形状的区域切割成一些比较小且形状较简单的区域，每个小区域称为一个元素（element），如图2-12所示。图2-12有限元素法的基本构想所谓简单的区域是指其几何形状是简单的，譬如说在2D的情况下是三角形或四边形等，在3D的情况下是四面体或六面体等。元素与元素假设是经由节点（nodes）来连接的；在图2-12中我们用黑点表示节点。就单一个元素来看，这些节点可以认为是附属在元素上面的；举例来讲，一个三角形元素，它的节点可能座落在三个顶点上。再以六面体为例，若它的顶点上面各有一个节点的话，那么一个六面体就共有八个节点。无论是2D的三角形、四边形、3D的四面体或六面体，通常在每个顶点上都有一个节点，但是这并不表示只有顶点上可以有节点。举个例子，2D四边形的元素，可以在四个顶点上有节点外，也可以在四个边上的中点各有一个节点，这样的元素就共有8个节点。在有限元素法中，我们通常取节点上的变位量作为未知量，未知量又称为自由度（degreesoffreedom）。在3D的情况下，每个节点有三个自由度，分别是x、y、z方向的变位量；而在2D的情况下，每个节点有二个自由度，分别是x、y方向的变位量。对一个2D的三角形元素而言，若三个顶点各有一节点，那么这个元素就有6个自由度。对一个3D的六面体而言，若各个顶点各有一节点，共有8个节点，那么这个元素就有24个自由度。因为每一个元素都是有简单的几何形状，而只有节点上可能有外力作用（因为元素间只有节点相连接），我们很容易可以把这么简单的结构实体的方程式写出来，并且把这些方程式用自由度（未知变位量）来表示，这些方程式就称为元素的方程式（elementequations）。每个元素都会有一组elementequations，它们事实上是将一个元素视为一个自由体（freebody）的力平衡方程式。接着就把全部元素的力平衡方程式联立起来，变成一组联立方程式系统，称为整体结构方程式（structuralglobalequations）。解出这组联立方程式后就可以得知每个节点上的变位量了。有了节点上的变位量后，可以计算整个元素上的变位场（displacementfield）。变位场与节点变位的关系通常是透过合理的假设的，这是有限元素法的重点之一，也有限元素法误差的主要来源之一，我们将在小节再来讨论。有了变位场{u}后可以利用计算应变场{}，再利用计算应力场{}。2.3.3自由度前面我们提到的自由度（degreesoffreedom）有必要在这里再进一步地讨论。自由度是指节点上的未知量。结构的问题通常是以变位（displacement）为未知量。2D时每个节点有二个自由度，3D时每个节点有三个自由度。在图2-13中的3D四面体元素，共有四个节点，每个四个节点上有三个自由度，所以共有12个自由度，表示成{d}。假设每个节点上的自由度分别用ux、uy、uz来表示，而四个节点分别用i、j、k、l来表示，则这个元素的自由度可以表示成 (2.13)图2-13自由度对热分析而言，自由度通常是指温度，也就是说未知量是温度。对流场分析而言，其自由度则相当复杂，包括了流速（vx、vy、vz）还有压力（p）等。而对电场分析上而言，自由度通常是电压（voltage）。磁场分析则使用磁位能（scalarmagneticpotential或vectormagneticpotential）作为自由度。2.3.4ShapeFunctions让我们来思考一个问题，考虑一个未知函数y=f(x)，已知某些x点上的y值，那么要怎么去反求这个函数f(x)。当然，正确解是不可能的，但是至少我们可以找出一条通过这些已知点的曲线，作为其近似解。这条曲线可以是连续的（continued）或片段连续的（piece-wisecontinued）。一个很简单的方法是去假设这些已知点中间的函数为直线；换句话说把每一个已知点用直线连结起来，形成一条片段连续的函数，来代表这个未知函数。对很多应用而言，这种方法常常已经足够精确；尤其如果已知点之间的距离足够小时，通常足够精确。这样用直线来作为两个已知点间的内插值的方法称为线性内插（linearinterpolation）。同样的道理，你也可以用片段的二次函数来代表一个未知函数，这样的曲线会更平滑（smooth），精确度会更高。这样用二次曲线来作个已知点间的内插值的方法称为二次曲线内插（quadraticinterpolation）。同样的观念可以应用在有限元素法里面，我们将变位场{u}当作未知函数，节点上的变位量{d}当成已知量。如果假设节点间的变位场是线性的分布，那么就采用线性的内插函数来表示节点间的变位量的值；同理，如果假设节点间的变位场是二次的分布，那么就采用二次的内插函数来表示节点间的变位量的值。在有限元素里面我们不把它叫内插函数，而叫形状函数（shapefunction）。数学上{u}和{d}间的关系可以用下列的方程式来表示 (2.14)中的[N]就是所谓的形状函数矩阵；以图2-13的四面体元素为例，因为{u}是3×1的向量，{d}是12×1的向量，所以[N]是3×12的矩阵，其形式如下所示 (2.15)其中Ni、Nj、Nk、Nl称为形状函数。注意，形状函数是位置的函数。一般而言一个元素如果有n个节点的话就会有n个独立的形状函数；当形状函数是线性时，表示变位场被假设为片段线性函数，而当形状函数是二次时，表示变位场被假设为片段二次函数。2.3.5OrderofElement一个元素的order是指它的形状函数是一次还是二次；如果其形状函数是一次的，这个元素就称为线性元素（linearelement）；如果其形状函数是二次的，这个元素就称为二阶元素（quadraticelemen