新高考数学二轮复习培优讲义17 空间几何体的结构和内切 外切球问题 （含解析）

解密17空间几何体的体积和内切外切球问题【考点解密】1．多面体的结构特征名称棱柱棱锥棱台图形含义①有两个面互相平行且全等，其余各面都是平行四边形．②每相邻两个四边形的公共边都互相平行有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分侧棱平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点侧面形状平行四边形三角形梯形2.旋转体的结构特征名称圆柱圆锥圆台球图形母线互相平行且相等，垂直于底面相交于一点延长线交于一点轴截面全等的矩形全等的等腰三角形全等的等腰梯形圆侧面展开图矩形扇形扇环3.三视图与直观图三视图画法规则：长对正、高平齐、宽相等直观图斜二测画法：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中x′轴、y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．(2)原图形中平行于坐标轴的线段在直观图中仍平行于坐标轴，平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半.4.多面体的表面积、侧面积因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．5．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l6.柱、锥、台、球的表面积和体积名称几何体表面积体积柱体(棱柱和圆柱)S表面积＝S侧＋2S底V＝Sh锥体(棱锥和圆锥)S表面积＝S侧＋S底V＝eq\f(1,3)Sh台体(棱台和圆台)S表面积＝S侧＋S上＋S下V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h球S＝4πR2V＝eq\f(4,3)πR3【方法技巧】1．多面体与球接、切问题求解策略(1)截面法：过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系．(2)补形法：“补形”成为一个球内接长方体，则利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．2．球的切、接问题的常用结论(1)长、宽、高分别为a，b，c的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)若直棱柱(或有一条棱垂直于一个面的棱锥)的高为h，底面外接圆半径为x，则该几何体外接球半径R满足R2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))eq\s\up16(2)＋x2.(3)外接球的球心在几何体底面上的投影，即为底面外接圆的圆心．(4)球(半径为R)与正方体(棱长为a)有以下三种特殊情形：一是球内切于正方体，此时2R＝a；二是球与正方体的十二条棱相切，此时2R＝eq\r(2)a；三是球外接于正方体，此时2R＝eq\r(3)a.【核心题型】题型一：利用三视图求直视图的体积问题1．（2023·四川·校联考一模）如图，网格纸上绘制的是一个四棱台的三视图，网格小正方形的边长为1，则该多面体的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．7【答案】C【分析】根据三视图，结合体积公式直接求解即可.【详解】由题知该四棱台的上底面是边长为SKIPIF1<0的正方形，下底面是边长为SKIPIF1<0的正方形，高为SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0故选：C2．（2023·广西桂林·统考模拟预测）如图，已知某个几何体的三视图，根据图中标出的尺寸（单位：mm），可得这个几何体的体积是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据三视图得到几何体是四棱锥SKIPIF1<0，得到边长数据，计算体积得到答案.【详解】由三视图可得几何体是四棱锥SKIPIF1<0，其中面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0；底面SKIPIF1<0是边长分别为200和300的长方形；棱锥的高是200，由棱锥的体积公式得SKIPIF1<0，故选：D3．（2023秋·广西河池·高三统考期末）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据三视图可得，该几何体是以个正方体内挖去一个底面直径为正方体棱长且等高的圆锥，代入体积计算公式即可求解.【详解】由三视图可知：该几何体是一个棱长为SKIPIF1<0的正方体内挖去一个底面半径为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0的圆锥，由正方体和圆锥的体积计算公式可得：SKIPIF1<0，故选：SKIPIF1<0.题型二：利用三视图求直视图的面积问题4．（2022·四川雅安·统考一模）如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1，则构成该多面体的面中最大的面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．9 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据三视图可得多面体为三棱锥，结合条件及正方体的性质即得.【详解】由三视图可得该多面体为三棱锥，借助棱长为3的正方体画出三棱锥SKIPIF1<0，如图，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以构成该多面体的面中最大的面积为SKIPIF1<0.故选：D.5．（2022·河南·校联考模拟预测）下图为某四面体的三视图，则该几何体的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】在长方体中画出该四面体，再由余弦定理以及面积公式求解.【详解】由题意得该四面体ABCD的直观图如图所示，图中长方体的棱长分别为2，1，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四面体ABCD的四个面的面积均相等，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体ABCD的表面积为SKIPIF1<0.故选：B6．（2021秋·江西抚州·高三校考期末）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积SKIPIF1<0（

）A．26 B．36 C．48 D．35【答案】C【分析】由三视图可得，该几何体是由一个长方体中间挖掉一个圆柱得到的，再根据长方体和圆柱的表面积公式即可得解.【详解】由三视图可得，该几何体是由一个长方体中间挖掉一个圆柱得到的，其中长方体的长为SKIPIF1<0，宽为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，圆柱的高为SKIPIF1<0，底面圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故选：C.题型三：几何体的体积的求法7．（2023·浙江嘉兴·统考模拟预测）《九章算术·商功》中记载：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑，不易之率也.”我们可以翻译为：取一长方体，分成两个一模一样的直三棱柱，称为堑堵.再沿堑堵的一顶点与相对的棱剖开，得一个四棱锥和一个三棱锥，这个四棱锥称为阳马，这个三棱锥称为鳖臑.现已知某个鳖臑的体积是1，则原长方体的体积是（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】根据柱体和锥体体积公式求得正确答案.【详解】如图所示，原长方体SKIPIF1<0，设矩形SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，鳖臑SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即原长方体的体积是SKIPIF1<0.故选：B8．（2023·湖北·统考模拟预测）截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角而得到．如图，将棱长为6的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面截角得到所有棱长均为2的截角四面体，则该截角四面体的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】求出棱长为1的正四面体的体积结合条件即得.【详解】截角四面体的体积为大正四面体的体积减去四个相等的小正四面体体积，因为棱长为1的正四面体的高SKIPIF1<0，则棱长为1的正四面体的体积SKIPIF1<0，所以该截角四面体的体积为SKIPIF1<0．故选：C．9．（2023·江西南昌·统考一模）对食道和胃粘膜有刺激性的粉末或颗粒，或口感不好、易于挥发、在口腔中易被唾液分解，以及易吸入气管的药需要装入胶囊，既保护了药物药性不被破坏，也保护了消化器官和呼吸道．在数学探究课中某同学设计一个“胶囊形”的几何体，由一个圆柱和两个半球构成，已知圆柱的高是底面半径的4倍，若该几何体表面积为SKIPIF1<0，则它体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，可求得该几何体表面积为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，进而求出该几何体的体积．【详解】∵设圆柱的底面半径为SKIPIF1<0，则球的半径为SKIPIF1<0，圆柱的高是SKIPIF1<0，∴圆柱的侧面积为SKIPIF1<0，两个半球的表面积为SKIPIF1<0，∴该几何体表面积为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，∴该几何体的体积为SKIPIF1<0．故选：D．题型四：几何体的表面积求法10．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）河南博物院主展馆的主体建筑以元代登封古观星台为原型，经艺术夸张演绎成“戴冠的金字塔”造型，冠部为“方斗”形，上扬下覆，取上承“甘露”、下纳“地气”之意．冠部以及冠部下方均可视为正四棱台．已知一个“方斗”的上底面与下底面的面积之比为SKIPIF1<0，高为2，体积为SKIPIF1<0，则该“方斗”的侧面积为（

）A．24 B．12 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据题意得正四棱台的侧面为四个等腰梯形，先计算侧面的高，然后利用梯形的面积公式代入计算即可.【详解】由题意可知，记正四棱台为SKIPIF1<0，其底面为正方形，侧面为四个等腰梯形，把该四棱台补成正四棱锥如图，设SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0上SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点，SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0上SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的交点则SKIPIF1<0是正四棱锥SKIPIF1<0的高，SKIPIF1<0为正四棱台SKIPIF1<0的高，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则上、下底面的面积分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为PA的中点，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以侧棱长SKIPIF1<0是SKIPIF1<0，由勾股定理可得侧面的高为SKIPIF1<0，所以侧面积为SKIPIF1<0.故选：D11．（2023·全国·模拟预测）如图1是一栋度假别墅，它的屋顶可近似看作一个多面体，图2是该屋顶的结构示意图，其中四边形ABFE和四边形DCFE是两个全等的等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是两个全等的正三角形.已知该多面体的棱BF与平面ABCD所成的角为45°，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则该屋顶的表面积为（

）A．100 B．SKIPIF1<0 C．200 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】过点F作SKIPIF1<0平面ABCD，O为垂足，作SKIPIF1<0于点N，连接OB，ON，通过线面垂直的性质定理可得SKIPIF1<0，通过几何关系可算出SKIPIF1<0，即可得到答案【详解】如图，过点F作SKIPIF1<0平面ABCD，O为垂足，作SKIPIF1<0于点N，连接OB，ON，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.在直角三角形FON中，易知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴在直角三角形FBN中，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴该屋顶的表面积为SKIPIF1<0，故选：D.12．（2023·河南平顶山·叶县高级中学校联考模拟预测）如图，在四面体ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四面体ABCD外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意分析可知SKIPIF1<0平面ACE，根据外接球的性质以及四面体ABCD的结构特征确定四面体ABCD的外接球的球心所在位置，进而可求半径和面积.【详解】如图1，取BD的中点E，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ACE则SKIPIF1<0平面ACE，如图2，延长AE至Q，使得SKIPIF1<0，延长CE至P，使得SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0的外接圆的直径SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故易知P为SKIPIF1<0的外心，Q为SKIPIF1<0的外心，过点P作平面BCD的垂线，过点Q作平面ABD的垂线，两垂线的交点O就是四面体ABCD外接球的球心．由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，故四面体ABCD外接球的表面积为SKIPIF1<0．故选：A.【点睛】结论点睛：（1）球的任何截面均为圆面；（2）球心和截面圆心的连线垂直于该截面，故外接球的球心位于过底面的外心的垂线上.题型五：几何体的内切（外切）球问题13．（2023·广东·校联考模拟预测）已知四棱锥SKIPIF1<0的五个顶点都在球面O上，底面ABCD是边长为4的正方形，平面SKIPIF1<0平面ABCD，且SKIPIF1<0，则球面O的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】如图，取SKIPIF1<0中点为E，三角形SKIPIF1<0外接圆圆心为SKIPIF1<0，正方形ABCD外接圆圆心为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0做平面SKIPIF1<0，底面ABCD垂线，则两垂线交点为四棱锥外切球球心O.由题目条件，可证得四边形SKIPIF1<0为矩形，设外接球半径为R，则SKIPIF1<0.后可得答案.【详解】如图，取SKIPIF1<0中点为E，三角形SKIPIF1<0外接圆圆心为SKIPIF1<0，正方形ABCD外接圆圆心为SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0，底面ABCD垂线，则两垂线交点为四棱锥外接球球心O.因平面SKIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面ABCDSKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面ABCD.又SKIPIF1<0平面ABCD，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0.因SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0为矩形.设三角形SKIPIF1<0外接圆半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0则SKIPIF1<0.则SKIPIF1<0，设外接球半径为R，则SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则球O表面积为：SKIPIF1<0.故选：C.14．（2023·河南焦作·统考模拟预测）在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0为等边三角形，若三棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则该三棱柱外接球表面积的最小值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据直三棱柱的体积得到SKIPIF1<0，根据直三棱柱外接球半径的求法得到SKIPIF1<0，然后构造函数，求导得到SKIPIF1<0的最小值，即可得到外接球表面积的最小值.【详解】设直三棱柱的高为SKIPIF1<0，外接球的半径为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0外接圆的半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以该三棱柱外接球表面积的最小值为SKIPIF1<0.故选：A.15．（2023·山西晋中·统考二模）我国古代《九章算术》将底面为矩形的棱台称为刍童．若一刍童为正棱台，其上、下底面分别是边长为SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的正方形，高为1，则该刍童的外接球的表面积为（

）A．16π B．18π C．20π D．25π【答案】C【分析】根据题意，作出图形，设该刍童外接球的球心为O，半径为R，分两种情况讨论，分别根据条件列出方程组，即可求出外接球半径，代入球的表面积公式计算即可求解.【详解】设该刍童外接球的球心为O，半径为R，上底面中心为SKIPIF1<0，下底面中心为SKIPIF1<0，则由题意，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．如图，当O在SKIPIF1<0的延长线上时，设SKIPIF1<0，则在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0①，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0②，联立①②得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以刍童外接球的表面积为20π．同理，当O在线段SKIPIF1<0上时，设SKIPIF1<0，则有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，不满足题意，舍去．综上所述，该刍童外接球的表面积为20π．故选：SKIPIF1<0.【高考必刷】一、单选题16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考阶段练习）某药厂制造一种药物胶囊，如图所示，胶囊的两端为半球形，半径SKIPIF1<0，中间可视为圆柱，若该种胶囊的表面积为SKIPIF1<0，则该种胶囊的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】设圆柱高为SKIPIF1<0，左、右两端半球形半径为SKIPIF1<0，其表面积为S，胶囊的体积为SKIPIF1<0，由圆柱侧面积和球的表面积公式列出等式，用SKIPIF1<0表示出SKIPIF1<0，然后由圆柱与球体积公式求得SKIPIF1<0并代入已知可得．【详解】设圆柱高为SKIPIF1<0，左、右两端半球形半径为SKIPIF1<0，其表面积为S，胶囊的体积为SKIPIF1<0，依题意，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入可得SKIPIF1<0，故选：A17．（2023春·四川成都·高三四川省成都市玉林中学校考阶段练习）已知三棱锥SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0是正三角形且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】证明出SKIPIF1<0，将三棱锥SKIPIF1<0补成正方体SKIPIF1<0，可求出该三棱锥的外接球的半径，再利用球体的表面积公式可求得结果.【详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，将三棱锥SKIPIF1<0补成正方体SKIPIF1<0，如下图所示：所以，三棱锥SKIPIF1<0的外接球直径即为正方体SKIPIF1<0的体对角线长，故三棱锥SKIPIF1<0的外接球直径为SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，因此，三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0.故选：B.18．（2023·河北邢台·校联考模拟预测）在四棱台SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是边长为4的正方形，其余各棱长均为2，设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的外接球的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先确定四棱锥SKIPIF1<0为正四棱锥，从而得出外接球的球心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，再由勾股定理确定半径，进而得出四棱锥SKIPIF1<0的外接球的体积.【详解】设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于点SKIPIF1<0因为四棱台SKIPIF1<0为正四棱台，直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0的交点为SKIPIF1<0，所以四棱锥SKIPIF1<0为正四棱锥，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.四棱锥SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0在直线SKIPIF1<0上，连接SKIPIF1<0，设该外接球的半径为SKIPIF1<0.因为SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，则四棱锥SKIPIF1<0的外接球的体积为SKIPIF1<0.故选：A19．（2023·湖南·模拟预测）在意大利，有一座满是“斗笠”的灰白小镇阿尔贝罗贝洛，这些圆锥形屋顶的奇特小屋名叫Trullo，于1996年被收入世界文化遗产名录，现测量一个Trullo的屋顶，得到母线SA长为6米（其中S为圆锥顶点，O为圆锥底面圆心），C是母线SA的靠近点S的三等分点．从点A到点C绕圆锥顶侧面一周安装灯带，若灯带的最短长度为SKIPIF1<0米，则圆锥的SO的体积为（

）A．SKIPIF1<0立方米 B．SKIPIF1<0立方米 C．SKIPIF1<0立方米 D．SKIPIF1<0立方米【答案】C【分析】设圆锥底面半径为r，如图，根据余弦定理得到SKIPIF1<0，计算SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，再计算体积得到答案.【详解】设圆锥底面半径为r，如图，扇形SKIPIF1<0是圆锥的侧面展开图，SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以圆锥的体积为SKIPIF1<0（立方米），故选：C20．（2023·福建福州·统考二模）已知三棱锥SKIPIF1<0的四个顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则球SKIPIF1<0的体积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，进而可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为球的半径，结合勾股定理可得SKIPIF1<0，进而求解.【详解】过SKIPIF1<0点作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外心，则SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的外接圆半径），则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,设SKIPIF1<0为球心，SKIPIF1<0为球的半径，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0.故选：C.21．（2023·安徽·统考一模）在三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0外接球的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【分析】求得外接球的半径，进而求得外接球的表面积.【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的外接圆半径SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，所以外接球的半径SKIPIF1<0，所以外接球的表面积SKIPIF1<0.故选：B22．（2023·江西赣州·统考一模）古希腊数学家帕普斯在《数学汇编》第三卷中记载着一个确定重心的定理：“如果同一平面内的一个闭合图形的内部与一条直线不相交，那么该闭合图形围绕这条直线旋转一周所得到的旋转体的体积等于闭合图形面积乘以该闭合图形的重心旋转所得周长的积”，即SKIPIF1<0（V表示平面图形绕旋转轴旋转的体积，S表示平面图形的面积，SKIPIF1<0表示重心绕旋转轴旋转一周的周长）.已知Rt△ACB中，SKIPIF1<0，则△ACB的重心G到AC的距离为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．1 D．2【答案】B【分析】根据题意，用式子分别表示出圆锥体积、三角形面积以及重心绕旋转轴旋转一周的周长，进而求出距离.【详解】直角三角形绕SKIPIF1<0旋转一周所得的圆锥的体积为SKIPIF1<0；三角形SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0，记重心SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的重心G到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0.故选：B.23．（2023·辽宁阜新·校考模拟预测）已知矩形ABCD中，AB=8，取AB、CD的中点E、F，沿直线EF进行翻折，使得二面角SKIPIF1<0的大小为120°，若翻折后A、B、C、D、E、F都在球SKIPIF1<0上，且球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，则AD=（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作出图形，根据外接球与几何的的对称关系确定球心，再利用勾股定理确定半径即可求解.【详解】作出图形如图，记三角形SKIPIF1<0外接圆的圆心为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为外接圆的半径，因为二面角SKIPIF1<0的大小为120°，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0又因为球SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在直角三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，故选：A.24．（2023·陕西咸阳·陕西咸阳中学校考模拟预测）已知三棱锥SKIPIF1<0的所有顶点都在球SKIPIF1<0的球面上，SKIPIF1<0，二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，若球SKIPIF1<0的表面积等于SKIPIF1<0，则三棱锥SKIPIF1<0的体积等于（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】作出辅助线，找到球心，求出外接球半径，求出底面积和高，得到三棱锥的体积.【详解】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离相等，故SKIPIF1<0即为球心.由球SKIPIF1<0的表面积等于SKIPIF1<0，设外接球半径为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，过SKIPIF1<0作SKIPIF1<0垂直于SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，因为二面角SKIPIF1<0的大小为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,故三棱锥的高为SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积SKIPIF1<0.故选：A【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径25．（2023春·河南·高三洛宁县第一高级中学校联考阶段练习）在很多人的童年中都少不了折纸的乐趣，而现如今传统意义上的手工折纸与数学联系在一起，并产生了许多需要缜密论证的折纸问题.有一张直角梯形纸片ABCD,ADSKIPIF1<0BC，∠A=90°，AD=1，BC=2，E为AB的中点，将△ADE和△BCE分别沿DE，CE折起，使得点A，B重合于P，构成三棱锥P-CDE，且三棱锥P-CDE的底面和侧面PCD均为直角三角形.若三棱锥P-CDE的所有顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】根据题意可判断SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，进而根据直角三角形的性质可判断外接球的球心位置，即可利用三角形的边角关系求解.【详解】在三棱锥P-CDE的侧面PCD中，如果∠CPD=90°，则三条侧棱PC，PE，PD两两垂直，底面CDE不可能为直角三角形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.在直角梯形ABCD中，因为SKIPIF1<0，所以在三棱锥SKIPIF1<0平面PCD，则PE⊥平面PCD，又CDSKIPIF1<0平面PCD，所以PE⊥CD，又因为CD⊥PD，SKIPIF1<0平面PDE,所以CD⊥平面PDE，又SKIPIF1<0平面PDE，所以CD⊥DE，即SKIPIF1<0.所以三棱锥P-CDE外接球的球心为CE的中点O，半径为OC.在△PCD中，∠PDC=90°，PD=1，PC=2，则SKIPIF1<0.在直角梯形ABCD中，作DH⊥BC于H，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，所以外接球O的半径为SKIPIF1<0，球O的表面积为SKIPIF1<0.故选:A二、多选题26．（2023·广东江门·统考一模）勒洛FranzReuleaux（1829～1905），德国机械工程专家，机构运动学的创始人.他所著的《理论运动学》对机械元件的运动过程进行了系统的分析，成为机械工程方面的名著.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体.如图所示，设正四面体SKIPIF1<0的棱长为2，则下列说法正确的是（

）A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为SKIPIF1<0B．勒洛四面体被平面SKIPIF1<0截得的截面面积是SKIPIF1<0C．勒洛四面体表面上交线SKIPIF1<0的长度为SKIPIF1<0D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2【答案】ABD【分析】A选项：求出正四面体SKIPIF1<0的外接球半径，进而得到勒洛四面体的内切球半径，得到答案；B选项，作出截面图形，求出截面面积；C选项，根据对称性得到交线SKIPIF1<0所在圆的圆心和半径，求出长度；D选项，作出正四面体对棱中点连线，在C选项的基础上求出长度.【详解】A选项，先求解出正四面体SKIPIF1<0的外接球，如图所示：取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为等边SKIPIF1<0的中心，外接球球心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为外接球半径，设SKIPIF1<0，由正四面体的棱长为2，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由勾股定理得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，此时我们再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示：图中取正四面体SKIPIF1<0中心为SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0交平面SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0与SKIPIF1<0共面，其中SKIPIF1<0即为正四面体外接球半径SKIPIF1<0，设勒洛四面体内切球半径为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；B选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示：面积为SKIPIF1<0，B正确；C选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线SKIPIF1<0所在圆的圆心为SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且半径为SKIPIF1<0，故交线SKIPIF1<0的长度等于SKIPIF1<0，C错误；D选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示：连接SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于中点SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0于中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则由C选项的分析知：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D正确.故选：ABD【点睛】勒洛四面体考试中经常考查，下面是一些它的性质：①勒洛四面体上两点间的最大距离比四面体的棱长大，是对棱弧中点连线，最大长度为SKIPIF1<0，②表面6个弧长之和不是6个圆心角为60°的扇形弧长之和，其圆心角为SKIPIF1<0，半径为SKIPIF1<0.27．（2023·山东泰安·统考一模）如图，正方形ABCD的边长为1，M，N分别为BC，CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，以下结论中正确的是（

）A．异面直线AC与BD所成的角为定值B．三棱锥SKIPIF1<0的外接球的表面积为SKIPIF1<0C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直D．三棱锥SKIPIF1<0体积的最大值为SKIPIF1<0【答案】ABD【分析】利用线面垂直的性质判断A；易知外接球球心SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中点求解判断B；利用垂直的转化通过反证法可判断C选项；利用等积法判断D选项.【详解】对于A，取SKIPIF1<0中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角为SKIPIF1<0，为定值，故选项A正确；对于B，因为OA=OB=OC=OD，所以外接球球心是SKIPIF1<0，所以外接球半径SKIPIF1<0，∴四面体SKIPIF1<0的外接球体积为SKIPIF1<0，故B正确．对于C，若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0垂直，∵直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0也垂直，则直线SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0和SKIPIF1<0为腰长的等腰三角形，与题意不符，故C错误；对于D，SKIPIF1<0，当平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0时三棱锥SKIPIF1<0体积取最大值，此时SKIPIF1<0，故选项D正确.故选：ABD.28．（2023·福建泉州·统考三模）在长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0在底面SKIPIF1<0内，直线SKIPIF1<0与该长方体的每一条棱所成的角都相等，且SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0B．点SKIPIF1<0的轨迹长度为SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值D．SKIPIF1<0与该长方体的每个面所成的角都相等【答案】BCD【分析】将长方体SKIPIF1<0补成正方体SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，确定点SKIPIF1<0的位置，求出SKIPIF1<0的长，可判断A选项；确定点SKIPIF1<0的轨迹，求出点SKIPIF1<0的轨迹的长度，可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断C选项；利用线面角的定义可判断D选项.【详解】如下图所所示，将长方体SKIPIF1<0补成正方体SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0与正方体SKIPIF1<0的每一条棱所成的角都相等，所以，SKIPIF1<0与底面SKIPIF1<0的交点即为点SKIPIF1<0.对于A选项，SKIPIF1<0，A错；对于B选项，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，又因为四边形SKIPIF1<0为正方形，则SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，同理，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0的轨迹为线段SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，B对；对于C选项，记点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，同理可知，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以，点SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为定值，又因为SKIPIF1<0的面积为定值，所以，三棱锥SKIPIF1<0为定值，C对；对于D选项，因为SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0、平面SKIPIF1<0、平面SKIPIF1<0的距离都相等，易知，直线SKIPIF1<0与正方体SKIPIF1<0的每个面所成的角都想等，所以，SKIPIF1<0