54四川省成都市郫都区2023-2024学年高二上学期期中数学试题

郫都区2023—2024学年度上期期中考试高二数学说明：1．本卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟．2．所有试题均在答题卡相应的区域内作答．第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．）1．直线的倾斜角为（）A． B． C． D．不存在2．一支野外科学考察队有男队员56人，女队员42人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体队员中抽出一个容量为28的样本，如果样本按比例分配，那么下面说法正确的为（）A．女队员应抽取6人 B．女队员应抽取14人C．男队员应抽取12人 D．男队员应抽取16人3．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关，在右图两种分布形态中，分别对应平均数和中位数之一，则可能的对应关系是（）abcdA．为中位数，为平均数，为平均数，为中位数B．为平均数，为中位数，为平均数，为中位数C．为中位数，为平均数，为中位数，为平均数D．为平均数，为中位数，为中位数，为平均数4．直线过点，则直线与轴、轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A．9 B．12 C．18 D．245．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学各自的统计结果的数字特征，可以判断出一定没有出现点数6的是（）A．中位数为3，众数为3 B．平均数为3，中位数为3C．中位数为2，极差为2 D．平均数为2，标准差为26．为庆祝中国共产主义青年团成立100周年，某校甲、乙两个班共70人（甲班40人，乙班30人）参加了共产主义青年团知识竞赛，甲班的平均成绩为77分，方差为123，乙班的平均成绩为70分，方差为130，则甲、乙两班全部同学的成绩的方差为（）A．74 B．129 C．136 D．138更多免费优质滋源请家威杏MXSJ6637．小赵同学准备了四个游戏，四个游戏中的不透明的盒子中均装有3个白球和2个红球（小球除颜色外都相同），游戏规则如下表所示：游戏1游戏2游戏3游戏4取球规则一次性取一个，取一次一次性取两个，取一次一次性取一个，不放回地取两次一次性取一个，有放回地取两次获胜规则取到红球→小赵胜取到白球→小赵败两球不同色→小赵胜两球同色→小赵败两球不同色→小赵胜两球同色→小赵败两球不同色→小赵胜两球同色→小赵败若你和小赵同学玩这四个游戏中的一个，你想获胜，则应该选（）A．游戏1 B．游戏2 C．游戏3 D．游戏48．已知在中，其中的平分线所在的直线方程为，则的面积为（）A． B． C．8 D．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．已知事件，且，则（）A．如果，那么B．如果，那么C．如果与相互独立，那么D．如果与相互独立，那么10．下列结论正确的有（）A．直线与直线之间的距离为5B．若一直线的方向向量为，则此直线倾斜角为C．若直线与直线平行，则D．已知点，若直线与线段相交，则的取值范围是11．2022年2月28日，国家统计局发布了我国2021年国民经济和社会发展统计公报，在以习近平同志为核心的党中央坚强领导下，各地区各部门沉着应对百年变局和世纪疫情，构建新发展格局，实现了“十四五”良好开局．2021年，全国居民人均可支配收入和消费支出均较上一年有所增长，结合如下统计图表，下列说法中正确的是（）图1：2017—2021年全国居民人均可支配收入及其增长速度图2：2021年全国居民人均消费支出及其构成A．2017-2021年全国居民人均可支配收入逐年递增B．2020年全国居民人均可支配收入较前一年下降C．2021年全国居民人均消费支出24000元D．2021年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过12．在空间直角坐标系中，已知向量，点，点．（1）若直线经过点，且以为方向向量，是直线上的任意一点且其坐标满足，称为直线的方程；（2）若平面经过点，且以为法向量，是平面内的任意一点且其坐标满足，称为平面的方程．设直线的方程为，平面的方程为，，则（）A．B．直线与平面所成角的余弦值为C．到平面的距离为D．向量是平面内的任意一个向量，则存在唯一的有序实数对，使得，其中．第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指定的答题区域内作答，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，答在试题卷上无效．三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．已知点是点在平面上的射影，则等于______．14．二战期间盟军的统计学家主要是将缴获的德军坦克序列号作为样本，用样本估计总体的方法得出德军某月生产的坦克总数．假设德军某月生产的坦克总数是，缴获的该月生产的辆坦克编号从小到大为，即最大编号为，且缴获的坦克是从所生产的坦克中随机获取的，因为生产坦克是连续编号的，所以缴获坦克的编号，相当于从中随机抽取的个整数，这个数将区间分成个小区间，由于是未知的，除了最右边的区间外，其他个区间都是已知的．由于这个数是随机抽取的，所以可以用前个区间的平均长度估计所有个区间的平均长度，进而得到的估计值．例如，缴获坦克的编号是3，5，12，18，20，则统计学家利用上述方法估计德军每月生产的坦克数为______．15．小明设计如下的方案测二面角大小：如图，设斜坡面与水平面的交线为，小明分别在水平面和斜坡面选取两点，且到直线的距离到直线的距离，则二面角的大小为______．16．已知正四棱锥的所有棱长均为为的中点，则线段上的动点到直线的距离的最小值为______．四、解答题（本大题共6小题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）如图，平行六面体的底面是菱形，且（1）用空间的一个基底表示，并求的长；（2）求异面直线与所成角的余弦值．18．（本小题满分12分）为了解学校食堂的满意度，某调查小组在高一和高二两个年级各随机抽取10名学生进行问卷计分调查（满分100分），得分如下所示：高一：高二：（1）求高一年级问卷计分调查平均数，估计高一年级学生问卷计分调查的第70百分位数；（2）若规定打分在86分及以上的为满意，少于86分的为不满意，从上述满意的学生中任取2人，先列出所有可能的结果，再计算这2人来自同一年级的概率．19．（本小题满分12分）已知直线．（1）若直线与直线垂直，求实数的值；（2）若直线在轴上的截距是它在轴上截距的2倍，求直线的方程．20．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，侧面是正三角形，侧面底面，是的中点，平面平面．（1）判断与的位置关系并给予证明；（2）求到平面的距离．21．（本小题满分12分）从2022年秋季学期起，四川省启动实施高考综合改革，实行高考科目“”模式．“3”指语文、数学、外语三门统考学科，以原始分数计入高考成绩；“1”指考生从物理、历史两门学科中“首选”一门学科，以原始分数计入高考成绩；“2”指考生从政法、地理、化学、生物四门学科中“再选”两门学科，以等级分计入高考成绩．按照方案，再选学科的等级分赋分规则如下，将考生原始成绩从高到低划分为五个等级，各等级人数所占比例及赋分区间如下表：等级人数比例赋分区间将各等级内考生的原始分依照等比例转换法分别转换到赋分区间内，得到等级分，转换公式为，其中分别表示原始分区间的最低分和最高分，分别表示等级赋分区间的最低分和最高分，表示考生的原始分，表示考生的等级分，规定原始分为时，等级分为，计算结果四舍五入取整．某次化学考试的原始分最低分为50，最高分为98，呈连续整数分布，其频率分布直方图如右图所示：（1）根据频率分布直方图，估计此次化学考试成绩的平均值；（2）按照等级分赋分规则，估计此次考试化学成绩等级的原始分区间；（3）用估计的结果近似代替原始分区间，若某学生化学成绩的原始分为60，试计算其等级分．22．（本小题满分12分）如图甲，已知在长方形中，为的中点．将沿折起，如图乙，使得平面．甲乙（1）求证：平面平面；（2）若点是线段上一动点，点在何位置时，二面角的余弦值为．参考答案：1-4BDAB5-8CDAC9．ABD10．BC11．AC12．ACD13．14．2415．120°16．17．（1）由题，，，构成空间的一个基底．因为，所以，所以．（2）又，，所以∴∴异面直线与所成的角为，余弦值为0．18．（1）高一年级问卷计分调查平均数：，将高一调查的数据从小到大排列：64，72，75，78，78，79，85，86，91，92，∴，所以第7位数和第8位数的平均数位第70百分位数，即．（2）高一年级满意的有3个，记为，高二年级满意的有2个，记为，则从上述满意的学生中任取2人，基本事件有共有10个，设事件“上述满意的学生中任取2人，求这2人来自同一级”为，则包含，共有4个，故．19．（1）因为直线与直线垂直，所以，解得或.（2）令，得，令，，由题意知，解得或，所以直线的方程为或（或者找出恒过点，利用截距式方程求解）20.【详解】（1）证明：∵底面为正方形，∴，∵平面，平面∴平面，∵平面﹐平面平面∴（2）取的中点，连接，∵为正三角形，∵侧面底面，侧面底面，平面，底面故到底面的距离为：，且，则∵，则，即：，故，又是的中点，所以到平面的距离为.（或者建立空间直角坐标系，用点面距离公式直接求解）21.（1）由，可得，此次化学考试成绩的平均值为分．（2）由频率分布直方图知，原始分成绩位于区间的占比为，位于区间的占比为，因为成绩E等级占比为，成绩D等级占比为所以等级D的原始分区间的左端点位