内蒙古包头市2024届高三上学期调研考试数学试题文（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1内蒙古包头市2024届高三上学期调研考试数学试题（文）一、选择题1.已知集合，集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由，集合，得.故选：D.2.设，则复数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意可得：.故选：A.3.已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗对于命题p，当时，，故命题p为真命题；对于命题q，当时，，所以命题q为假命题.所以，为真命题，，，为假命题.故选：C.4.函数的一条对称轴是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗.A：因为，所以本选项不符合题意；B：因为，所以本选项不符合题意；C：因为，所以本选项符合题意；D：因为，所以本选项不符合题意，故选：C.5.若x，y满足约束条件，则最大值为（）A.6 B.4 C.3 D.2〖答案〗B〖解析〗画出约束条件所表示的平面区域，如图所示，目标函数，可化为直线，当经过点时，直线在轴上的截距最大，此时目标函数取得最大值，联立方程组，解得，代入可得.故选：B.6.若，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗.故选：D.7.一个路口的红绿灯，红灯的时间为40秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为45秒，当你到达路口时，看见黄灯的概率为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根据几何概型运算求解即可.【详析】由题意可得：看见黄灯的概率为.故选：D.8.下列函数中的奇函数是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗A选项，对于函数，由解得，所以的定义域是，所以是非奇非偶函数.B选项，对于函数，由解得，所以的定义域是，，所以是奇函数，B选项正确.C选项，对于函数，的定义域是，，所以是偶函数.D选项，对于函数，所以的定义域是，，所以是偶函数.故选：B9.在正方体中，直线与平面所成角为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，连接交于，连接，因为平面，在平面内，所以，又，平面，所以平面，所以为直线和平面所成的角，设正方体的棱长为1，则，又平面，故，所以，因为，所以，所以直线和平面所成的角为，故选：A10.已知为数列的前项积，若，则数列的前项和（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为为数列的前项积，所以可得，因为，所以，即，所以，又，得，所以，故是以3为首项，2为公差的等差数列；，故选：A11.抛物线的顶点为坐标原点，焦点在轴上，直线交于，两点，的准线交轴于点，若，则的方程为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题可设抛物线的方程为，则准线方程为，当时，可得，可得，又，，所以，即，解得，所以的方程为.故选：C.12.设函数则满足的取值范围是（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗当时，，则不成立；当时，，由，得，得，与矛盾，舍去，当时，，由，得，则，得．综上，满足的的取值范围是．故选：B．二、填空题13.已知向量，，若，则______.〖答案〗4〖解析〗，由于，所以.故〖答案〗为：414.双曲线的焦点到其渐近线的距离是__________.〖答案〗3〖解析〗由题意得：，故双曲线的焦点坐标为，渐近线方程为，则焦点到其渐近线的距离是.故〖答案〗为：3.15.记为各项均为正数的数列的前项和，若，，则______.〖答案〗30〖解析〗因为，，，所以，，由，可得，所以，所以.故〖答案〗为：30.16.在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥.所得多面体的三视图中，以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成这个多面体的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为___________（写出符合要求的一组〖答案〗即可）.〖答案〗④⑤〖解析〗根据题意，在一个正方体中，经过它的三个顶点的平面将该正方体截去一个三棱锥，如果图①是正视图，则几何体若如图下图（1）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次④⑤；几何体若如图下图（2）所示，则此时侧视图和俯视图的编号依次⑤④；图（1）图（2）故〖答案〗为：④⑤（或⑤④）.三、解答题（一）必考题17.，两台机器生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机器产品的质量，分别用两台机器各生产了100件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计机器7030100机器8020100合计15050200（1）机器，机器生产的产品中二级品的频率分别是多少？（2）能否有90%的把握认为机器的产品质量与机器的产品质量有差异？附：，0.150.100.0520722.7063.841解：（1）根据题表中数据知，机器生产的产品中二级品的频率是，机器生产的产品中二级品的频率是；（2）根据题表中数据可得，因为，所以没有90%的把握认为机器的产品质量与机器的产品质量有差异.18.已知的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，且.（1）求；（2）求.解：（1）因为的面积为，且，可得，所以，又因为，所以，由余弦定理可得，所以.（2）由（1）可得，则，又由，因为，则，联立方程组，解得，，根据正弦定理，即，所以，同理得，所以.19.如图，四棱锥底面是矩形，底面，，，．（1）证明：平面平面；（2）求及三棱锥的体积．（1）证明：因为平面，又平面，所以，又，且，平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：连接，由（1）可知，平面，又平面，故，又四边形是矩形，所以四边形是正方形，所以．所以20.已知函数．（1）讨论的单调性；（2）若有2个零点，求的值．（注：）解：（1），，当，即时，，所以在上单调递增，当，即或时，令，解得，，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，综上所述，当时，在上单调递增，当或时，在上单调递增，在上单调递减；（2）当时，，此时函数无零点，当时，等价于，设，，则，当时，，故单调递增，且，当时，，故单调递减，当时，，故单调递增，又，当且时，，当时，，如图作出函数的大致图象，由图可知，要使，两个函数有两个交点，则，即当时，有且只有2个零点．21.已知点，动点满足直线PM与PN的斜率之积为，记点P的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程，并说明C是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交曲线C于A，B两点，点A在第一象限，AD⊥x轴，垂足为D，连接BD并延长交曲线C于点H．证明：直线AB与AH的斜率之积为定值．（1）解：由题设得，化解得，所以为中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）证明：设直线的斜率为，则其方程为．由得，记，则，，．于是直线的斜率为，方程为．由得．①设，则和是方程①的解，则，故，由此得．从而直线的斜率，所以．所以直线与的斜率之积为定值．（二）选考题【选修4－4：坐标系与参数方程】22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为4.（1）写出的一个参数方程；（2）直线与相切，且与轴和轴的正半轴分别交于，两点，若，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程.解：（1）由题意可知，的标准方程为，所以的参数方程为（为参数）；（2）由题意可知，直线的斜率为，设其方程为，即，因为圆心到直线的距离为4，所以，化解得，解得，或，所以直线的直角坐标方程为，或，所以直线的极坐标方程为，或.【选修4－5：不等式选