2024届高考数学一轮总复习第九章计数原理概率随机变量及其分布第七讲条件概率二项分布与正态分布课件

第七讲条件概率、二项分布与正态分布课标要求考情分析1.了解条件概率和条件概率与独立性的关系，能计算简单随机事件的条件概率.2.会利用乘法公式计算概率，会利用全概率公式计算概率.3.了解伯努利试验，掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.4.通过误差模型，了解服从正态分布的随机变量.通过具体实例，借助频率直方图的几何直观，了解正态分布的特征以理解独立重复试验、二项分布的概念为主，重点考查二项分布概率模型的应用，高考中常以解答题的形式考查，难度为中高档1.条件概率(续表)2.事件的相互独立性(1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立.3.全概率公式4.独立重复试验与二项分布(1)伯努利实验

只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验.将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.n重伯努利试验具有如下特征： ①同一个伯努利试验重复做n次. ②各次试验的结果相互独立.(2)二项分布一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率.5.正态分布μ和σ为参数(σ>0，μ∈R).我们称函数f(x)的图象为正态密度曲线，简称正态曲线. (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交. ②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称.④当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴.⑤曲线与x轴之间的面积为1.⑥当σ一定时，曲线的位置由μ确定，且随着μ的变化而沿x轴平移，如图9-7-1①所示.

⑦当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图9-7-1②所示.①②图9-7-1(3)正态分布的定义及表示

若随机变量x的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2).特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布.正态总体在三个特殊区间内取值的概率值①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≈0.6827.②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≈0.9545.③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≈0.9973.

考点一条件概率1.投掷一枚质地均匀的骰子两次，记A＝{两次的点数均为奇数}，B＝{两次的点数之和为4}，则P(B|A)＝()A.

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1B. 4C.29D.23

解析：由题意知事件A包含的样本点为(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)共9个，在A发生的条件下，事件B包含的样本点为(1，3)，(3，1)共2个，所以答案：C

3.(一题两空)(2022年天津)现有52张扑克牌(去掉大小王)，每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为________；在第一次抽到A的条件下，第二次也抽到A的概率是________.n(AB)，得P(B|A)＝【题后反思】求条件概率的常用方法(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P(AB)

P(A).

(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数，即n(AB)

n(A).考点二全概率公式

[例1]有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%.已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？解：设事件A为“任取一件为次品”，事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3.如图9­7­2，B1∪B2∪B3＝S，图9-7-2由全概率公式得P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3).

P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.【题后反思】(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生时.(2)如何用全概率公式：将一个复杂事件表示为几个彼此互斥事件的和.(3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.

【变式训练】

(2022年古冶区校级期末)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，则取到的零件是次品的概率为()A.0.0415C.0.0425

B.0.0515D.0.0525

解析：设B＝“任取一个零件为次品”，Ai＝“零件为第i台答案：D车床加工”(i＝1，2，3)，则Ω＝A1∪A2∪A3，A1，A2，A3，两两互斥.根据题意得P(A1)＝0.25，P(A2)＝0.3，P(A3)＝0.45.P(B|A1)＝0.06，P(B|A2)＝P(B|A3)＝0.05.由全概率公式，得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝0.25×0.06＋0.3×0.05＋0.45×0.05＝0.0525.故选D.考点三独立重复试验与二项分布考向1相互独立事件的概率(1)求乙、丙两个家庭各自回答这道题正确的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答这道题正确的概率.考向2独立重复试验研究所分三个小组分别独立进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假定某次试验种子发芽则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的.(1)第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；(2)第二小组做了四次试验，设试验成功与失败的次数的差的绝对值为X，求X的分布列及数学期望；

(3)第三小组进行试验，到成功了四次为止，在第四次成功之前共有三次失败的前提下，求恰有两次连续失败的概率.考向3二项分布

[例4]某社区组织开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节.在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案.抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“普法宣传人人参与”卡和“扫黑除恶利国利民”卡即可获奖，否则，均为不获奖.卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行.活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只(1)求抽奖者获奖的概率；

(2)为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X表示获奖的人数，求X的分布列和均值.【题后反思】(1)求相互独立事件同时发生的概率的方法①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较烦琐或难以入手时，可从其对立事件入手计算.(2)独立重复试验与二项分布问题的常见类型及解题策略①在求n次独立重复试验中事件恰好发生k次的概率时，首先要确定n和k的值，再准确利用公式求概率；

②在根据独立重复试验求二项分布的有关问题时，关键是理清事件与事件之间的关系，确定二项分布的试验次数n和变量的概率，从而求得概率.【考法全练】A.

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3B. 4

13C. 16

1D. 4图9-7-3答案：C

2.(考向2)为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有40人，不超过100km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100km/h的有20人，不超过100km/h的有25人.

(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；

(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列.

3.(考向3)(2022年汕头市一模)足球比赛全场比赛时间为90分钟，在90分钟结束时成绩持平，若该场比赛需要决出胜负，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采取“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队应各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5次可能射中的球数，则不需再踢，例如第4轮结束时，双方进球数比为2∶0，则不需再踢第5轮了；③若前5轮点球大战中双方进球数持平，则采用“突然死亡法”决出胜负，即从第6轮起，双方每轮各派1人罚点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜.练中，小明射了3次点球，且每次射点球互不影响，记X为射进点球的次数，求X的分布列及数学期望.(2)记“在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出”为事件A，

由题意可知，在第4轮结束时，甲队进了3个球并刚好胜出，则甲、乙两队进球数之比为3∶0或3∶1.“甲、乙两队进球数之比为3∶0”记为事件A1，“甲、乙两队进球数之比为3∶1”记为事件A2，则A＝A1＋A2，且A1与A2互斥，

考点四正态分布[例5](1)(2021年全国Ⅱ)某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2

)，则下列结论中不正确的是()

A.σ越小，该物理量在一次测量中落在(9.9，10.1)内的概率越大

B.该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C.该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D.该物理量在一次测量中结果落在(9.9，10.2)与落在(10，10.3)的概率相等

解析：因为某物理量的测量结果服从正态分布N(10，σ2

)，所以测量的结果的概率分布关于10对称，且方差σ2

越小，则分布越集中.对于A，σ越小，概率越集中在10左右，则该物理量一次测量结果落在(9.9，10.1)内的概率越大，故A正确；对于B，由于概率分布关于10对称，测量结果大于10的概率为0.5，故B正确；对于C，因为10.01和9.99关于10对称，所以测量结果大于10.01的概率等于小于9.99的概率，故C正确；

对于D，由于概率分布是集中在10附近的，(9.9，10.2)分布在10附近的区域大于(10，10.3)分布在10附近的区域，故测量结果落在(9.9，10.2)内的概率大于落在(10，10.3)内的概率，故D错误.答案：D图9-7-4解析：由题意可知X～N(1，σ2)，答案：C【题后反思】解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间.利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率.注意只有在标准正态分布下对称轴才为x＝0.【变式训练】设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800，502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为()

[参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.9974]A.0.9772C.0.9974

B.0.6826D.0.9544解析：∵X～N(800，502)，∴P(700≤X≤900)＝0.9544，∴P(X≤900)＝1－0.0228＝0.9772.故选A.答案：A

⊙二项分布与超几何分布模型识别问题(数据分析、数学建模)

教科书和考题中常涉及二项分布与超几何分布，学生对这两种模型的定义不能很好地理解，一遇到“取”或“摸”的题型，就认为是超几何分布，不加分析，滥用公式，运算对象不明晰，事实上，超几何分布和二项分布确实有着密切的联系，但也有明显的区别.[例6]写出下列离散型随机变量的分布列，并指出其中服从二项分布的是哪些？服从超几何分布的是哪些？

(1)X1表示n次重复抛掷1枚骰子出现点数是3的倍数的次数；

(2)X2

表示连续抛掷2枚骰子，所得的2个骰子的点数之和；

(3)有一批产品共有N件，其中次品有M件(N＞M＞0)，采用有放回抽取方法抽取n次(n＞N)，抽出的次品件数为