专题1.6 二次函数（全章直通中考）（提升练）-2023-2024学年九年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（浙教版）

专题1.6二次函数（全章直通中考）（提升练）【要点回顾】【要点一】二次函数的解析式一般式：(a、b、c是常数，)；顶点式：()，二次函数的顶点坐标是(h，k)；交点式：()，其中x1，x2是图象与x轴交点的横坐标．【要点二】二次函数的图象与性质开口方向a>0时，开口向上；a<0时，开口向下.对称轴y轴y轴x=hx=h顶点与最值(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0时，顶点是最低点，此时y有最小值，最小值为0(或k或)；a<0时，顶点是最高点，此时y有最大值，最大值为0(或k或).增

减

性a>0x<0(h或)时，y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大。即在对称轴的左边，y随x的增大而减小；在对称轴的右边，y随x的增大而增大。a<0x<0(h或)时，y随x的增大而增大；x>0(h或)时，y随x的增大而减小。即在对称轴的左边，y随x的增大而增大；在对称轴的右边，y随x的增大而减小。对称性1.图象是轴对称图形；2.抛物线上y值相等的两点，其中点必在对称轴上；3.抛物线上到对称轴距离相等的点，y值必定相等.【要点三】二次函数的图象与各项系数之间的关系(1)的正负决定开口方向：，抛物线开口向上；，抛物线开口向下.的大小决定开口的大小：越大，抛物线的开口越小；越小，抛物线的开口越大.(2)、b的符号共同决定对称轴的位置当时，，对称轴为y轴；当a、b同号时，，对称轴在y轴左边；当a、b异号时，，对称轴在y轴右边．（简记为“左同右异”）(3)c决定抛物线与轴的交点的位置当c＞0时，抛物线与y轴的交点在正半轴上；当c＝0时，抛物线经过原点；当c＜0时，抛物线与y轴的交点在负半轴上.【要点四】二次函数图象的变换（1）图象的平移：任意抛物线y＝a(x－h)2＋k可以由抛物线y＝ax2经过平移得到，在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．具体平移方法如下：（2）图象的对称：化成顶点式，结合图像，求出对称后的顶点和开口方向，再写出对称后的解析式.【要点五】二次函数与一元二次方程二次函数()的图象与x轴交点的横坐标是一元二次方程的根.（1）当b2－4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点；（2）当b2－4ac＝0时，抛物线与x轴有一个交点；（3）当b2－4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点.【要点六】二次函数与不等式（1）抛物线在x轴上方图象上的点的纵坐标都为正，所对应的x的所有值就是不等式的解集；（2）抛物线在x轴下方图象上的点的纵坐标均为负，所对应的x的所有值就是不等式的解集.【要点七】二次函数的应用（1）最大利润问题：求解最值时，一定要考虑顶点横坐标（对称轴）的取值是否在自变量的取值范围内.（2）面积问题：篱笆问题，铅锤法求面积.（3）类抛物线问题：拱桥、投桥、喷泉问题.（4）与几何图形结合：与三角形、圆等几何图形结合，考查最大面积或最小距离等问题一、单选题1．（2023·广东广州·统考中考真题）如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在轴上，则的值为（

）

A． B． C． D．2．（2023·浙江台州·统考中考真题）抛物线与直线交于，两点，若，则直线一定经过（

）．A．第一、二象限B．第二、三象限C．第三、四象限 D．第一、四象限3．（2023·四川凉山·统考中考真题）已知抛物线的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（

）

A． B．C． D．（为实数）4．（2023·山东日照·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线，满足，已知点，，在该抛物线上，则m，n，t的大小关系为（

）A． B． C． D．5．（2023·四川南充·统考中考真题）若点在抛物线（）上，则下列各点在抛物线上的是（

）A． B． C． D．6．（2023·山东·统考中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：等都是三倍点”，在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是（

）A． B． C． D．7．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数是实数，则（

）A．当时，函数的最小值为 B．当时，函数的最小值为C．当时，函数的最小值为 D．当时，函数的最小值为8．（2023·湖南·统考中考真题）已知，若关于x的方程的解为．关于x的方程的解为．则下列结论正确的是（

）A．B．C． D．9．（2023·四川广安·统考中考真题）已知，，为常数，点在第四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况为（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．没有实数根 D．无法判定10．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于、两点，设，则下列结论正确的个数为（

）

①，②，③当线段长取最小值时，则的面积为④若点，则A． B． C． D．二、填空题11．（2023·福建·统考中考真题）已知抛物线经过两点，若分别位于抛物线对称轴的两侧，且，则的取值范围是．12．（2023·上海·统考中考真题）一个二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是．13．（2023·江苏泰州·统考中考真题）二次函数的图像与x轴有一个交点在y轴右侧，则n的值可以是（填一个值即可）14．（2022·江苏盐城·统考中考真题）若点在二次函数的图象上，且点到轴的距离小于2，则的取值范围是．15．（2022·吉林长春·统考中考真题）已知二次函数，当时，函数值y的最小值为1，则a的值为．16．（2022·福建·统考中考真题）已知抛物线与x轴交于A，B两点，抛物线与x轴交于C，D两点，其中n＞0，若AD＝2BC，则n的值为．17．（2022·内蒙古呼和浩特·统考中考真题）在平面直角坐标系中，点和点的坐标分别为和，抛物线与线段只有一个公共点，则的取值范围是．18．（2022·湖南湘西·统考中考真题）已知二次函数y＝﹣x2+4x+5及一次函数y＝﹣x+b，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围是．

三、解答题19．（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．（1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．（2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围．20．（2023·浙江杭州·统考中考真题）设二次函数，（，是实数）．已知函数值和自变量的部分对应取值如下表所示：…0123……11…（1）若，求二次函数的表达式；（2）在（1）问的条件下，写出一个符合条件的的取值范围，使得随的增大而减小．（3）若在m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，求的取值范围．21．（2023·浙江·统考中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上．（1）当时，求和的值；（2）若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围；（3）求证：．22．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，抛物线过点，，矩形的边在线段上（点B在点A的左侧），点C，D在抛物线上，设，当时，．

（1）求抛物线的函数表达式；（2）当t为何值时，矩形的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持时的矩形不动，向右平移抛物线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H，且直线平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．23．（2023·河北·统考中考真题）嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表1m长．嘉嘉在点处将沙包（看成点）抛出，并运动路线为抛物线的一部分，淇淇恰在点处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线的一部分．（1）写出的最高点坐标，并求a，c的值；（2）若嘉嘉在x轴上方的高度上，且到点A水平距离不超过的范围内可以接到沙包，求符合条件的n的整数值．24．（2023·四川南充·统考中考真题）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m为常数，且，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为元，元，请分别写出，与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润（售价成本）产销数量专利费】参考答案1．B【分析】连接，交y轴于点D，根据正方形的性质可知，然后可得点，进而代入求解即可．解：连接，交y轴于点D，如图所示：

当时，则，即，∵四边形是正方形，∴，，∴点，∴，解得：，故选B．【点拨】本题主要考查二次函数的图象与性质及正方形的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质及正方形的性质是解题的关键．2．D【分析】根据已知条件可得出，再利用根与系数的关系，分情况讨论即可求出答案．解：抛物线与直线交于，两点，，．，∵，．当，时，直线经过第一、三、四象限，当，时，直线经过第一、二、四象限，综上所述，一定经过一、四象限．故选：D．【点拨】本题考查了二次函数的图象与系数的关系，解题的关键在于熟练掌握根与系数关系公式．3．C【分析】根据开口方向，与y轴交于负半轴和对称轴为直线可得，，由此即可判断A；根据对称性可得当时，，当时，，由此即可判断B、C；根据抛物线开口向上，对称轴为直线，可得抛物线的最小值为，由此即可判断D．解：∵抛物线开口向上，与y轴交于负半轴，∴，∵抛物线对称轴为直线，∴，∴，∴，故A中结论错误，不符合题意；∵当时，，抛物线对称轴为直线，∴当时，，∴，故B中结论错误，不符合题意；∵当时，，抛物线对称轴为直线，∴当时，，∴，又∵，∴，故C中结论正确，符合题意；∵抛物线对称轴为直线，且抛物线开口向上，∴抛物线的最小值为，∴，∴，故D中结论错误，不符合题意；故选C．【点拨】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数图象的性质等等，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．4．C【分析】利用解不等式组可得且，即可判断二次函数的对称轴位置，再利用函数的增减性判断即可解题．解：解不等式组可得:，且所以对称轴的取值范围在，由对称轴位置可知到对称轴的距离最近的是，其次是，最远的是，即根据增减性可得，故选C．【点拨】本题考查二次函数的图像和性质，求不等组的解集，掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．5．D【分析】观察抛物线和抛物线可以发现，它们通过平移得到，故点通过相同的平移落在抛物线上，从而得到结论．解：∵抛物线是抛物线（）向左平移1个单位长度得到∴抛物线上点向左平移1个单位长度后，会在抛物线上∴点在抛物线上故选：D【点拨】本题考查函数图象与点的平移，通过函数解析式得到平移方式是解题的关键．6．D【分析】由题意可得：三倍点所在的直线为，根据二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”转化为和至少有一个交点，求，再根据和时两个函数值大小即可求出．解：由题意可得：三倍点所在的直线为，在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，即在的范围内，和至少有一个交点，令，整理得：，则，解得，，∴，∴或当时，，即，解得，当时，，即，解得，综上，c的取值范围是，故选：D．【点拨】本题考查二次函数与一次函数交点问题，熟练掌握相关性质是关键．7．A【分析】令，则，解得：，，从而求得抛物线对称轴为直线，再分别求出当或时函数y的最小值即可求解．解：令，则，解得：，，∴抛物线对称轴为直线当时，抛物线对称轴为直线，把代入，得，∵∴当，时，y有最小值，最小值为．故A正确，B错误；当时，抛物线对称轴为直线，把代入，得，∵∴当，时，y有最小值，最小值为，故C、D错误，故选：A．【点拨】本题考查抛物线的最值，抛物线对称轴．利用抛物线的对称性求出抛物线对称轴是解题的关键．8．B【分析】把看做是直线与抛物线交点的横坐标，把看做是直线与抛物线交点的横坐标，画出对应的函数图象即可得到答案．解：如图所示，设直线与抛物线交于A、B两点，直线与抛物线交于C、D两点，∵，关于x的方程的解为，关于x的方程的解为，∴分别是A、B、C、D的横坐标，∴，故选B．

【点拨】本题主要考查了抛物线与一元二次方程的关系，正确把一元二次方程的解转换成直线与抛物线交点的横坐标是解题的关键．9．B【分析】根据点在第四象限，得出，进而根据一元二次方程根的判别式，即可求解．解：点在第四象限，，，方程的判别式，方程有两个不相等的实数根．故选：B．【点拨】本题考查了第四象限点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，得出是解题的关键．10．C【分析】根据二次函数与一次函数的图象和性质，根与系数的关系，进行解答，即可．解：直线与抛物线交于、两点，∴，整理得：，∴，∴正确；∵，解得：，，∴，，∴；∴正确；∵，当时，即轴时，有最小值，∴，∴；∴正确；当点时，假设，则：是直角三角形，取的中点为点，连接，∴，∵，∴，，∴点，∴点，∵点，∴，∴时，，即与不一定垂直；∴错误；∴正确的为：．故选：C．

【点拨】本题考查二次函数的知识，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，直角三角形的性质，两点间的距离公式．11．【分析】根据题意，可得抛物线对称轴为直线，开口向上，根据已知条件得出点在对称轴的右侧，且，进而得出不等式，解不等式即可求解．解：∵，∴抛物线的对称轴为直线，开口向上，∵分别位于抛物线对称轴的两侧，假设点在对称轴的右侧，则，解得，∴∴点在点的右侧，与假设矛盾，则点在对称轴的右侧，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案为：．【点拨】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．12．（答案不唯一）【分析】根据二次函数的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，可确定，对称轴，，从而确定答案．解：∵二次函数的对称轴左侧的部分是上升的，∴抛物线开口向上，即，∵二次函数的顶点在y轴正半轴上，∴，即，，∴二次函数的解析式可以是（答案不唯一）故答案为：（答案不唯一）．【点拨】本题考查二次函数的性质，能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的关键．13．（答案不唯一）【分析】根据根与系数的关系即可求解．解：设二次函数的图象与轴交点的横坐标为、，即二元一次方程的根为、，由根与系数的关系得：，，一次函数的图象与轴有一个交点在轴右侧，，为异号，，故答案为：（答案不唯一）．【点拨】本题考查抛物线与轴的交点，根与系数之间的关系，关键是根与系数之间的关系的应用．14．【分析】先判断，再根据二次函数的性质可得：，再利用二次函数的性质求解n的范围即可．解：点到轴的距离小于2，，点在二次函数的图象上，，当时，有最小值为1．当时，，的取值范围为.故答案为：【点拨】本题考查的是二次函数的性质，掌握“二次函数的增减性”是解本题的关键．15．/【分析】先把函数解析式化为顶点式可得当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后分两种情况讨论：若；若，即可求解．解：，∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，若，当时，y随x的增大而减小，此时当时，函数值y最小，最小值为，不合题意，若，当时，函数值y最小，最小值为1，∴，解得：或（舍去）；综上所述，a的值为．故答案为：【点拨】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．16．8【分析】先求出抛物线与x轴的交点，抛物线与x轴的交点，然后根据，得出，列出关于n的方程，解方程即可。解：把y=0代入得：，解得：，，把y=0代入得：，解得：，，∵，∴，∴，即，，令，则，解得：，，当时，，解得：，∵，∴不符合题意舍去；当时，，解得：，∵，∴符合题意；综上分析可知，n的值为8．【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，根据题意用n表示出，列出关于n的方程是解题的关键．17．或【分析】根据抛物线求出对称轴，轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，分两种情况讨论：当时，当时，利用抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，即可求解．解：抛物线的对称轴为：，当时，，故抛物线与轴的交点坐标为，顶点坐标为，直线CD的表达式，当时，且抛物线过点时，，解得（舍去），当，抛物线与线段只有一个公共点时，即顶点在直线CD上，则，解得，当时，且抛物线过点时，，解得，当抛物线过点时，解得，m=-1由抛物线的性质可知，当越大，则抛物线的开口越小，且抛物线与线段只有一个公共点，，综上所述，的取值范围为或，故答案为或．【点拨】本题考查了二次函数的性质，理解对称轴的含义，熟练掌握二次函数的性质，巧妙运用分类讨论思想解决问题是解题的关键．18．【分析】解方程﹣x2+4x+5＝0得A（﹣1，0），B（5，0），再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），然后求出直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时b的值和当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时b的值，从而得到当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围．解：如图所示：

当y＝0时，﹣x2+4x+5＝0，解得x1＝﹣1，x2＝5，则A（﹣1，0），B（5，0），将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为，即y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5），当直线y＝﹣x+b经过点A（﹣1，0）时，1+b＝0，解得b＝﹣1；当直线y＝﹣x+b与抛物线y＝x2﹣4x﹣5（﹣1≤x≤5）有唯一公共点时，方程，即有相等的实数解，即解得，所以当直线y＝﹣x+b与新图象有4个交点时，b的取值范围为＜b＜﹣1，故答案为：．【点拨】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．19．（1），顶点坐标为；（2）【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．（1）解：∵二次函数图象经过点和．∴，解得：，∴抛物线为，∴顶点坐标为：；（2）当时，，∴解得：，，

如图，当时，∴．【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．20．（1）；（2）当时，则时，随的增大而减小；当时，则时，随的增大而减小；（3）【分析】（1）用待定系数法求解即可．（2）利用抛物线的对称性质求得抛物线的对称轴为直线；再根据抛物线的增减性求解即可．（3）先把代入，得，从而得，再求出，，，从而得，然后m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，得，求解即可．（1）解：把，代入，得，解得：，∴．（2）解：∵，在图象上，∴抛物线的对称轴为直线，∴当时，则时，随的增大而减小，当时，则时，随的增大而减小．（3）解：把代入，得，∴∴把代入得，，把代入得，，把代入得，，∴，∵m、n、p这三个实数中，只有一个是正数，∴，解得：．【点拨】本题考查用待定系数法求抛物线解析式，抛物线的图象性质，解不等式组，熟练掌握用待定系数法求抛物线解析式和抛物线的图象性质是解析的关键．21．（1）；（2）；（3）见分析【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答；（2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答；（3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论．（1）解：当时，图像过点和，∴，解得，∴，∴．（2）解：∵函数图像过点和，∴函数图像的对称轴为直线．∵图像过点，∴根据图像的对称性得．∵，∴．（3）解：∵图像过点和，∴根据图像的对称性得．∴，顶点坐标为．将点和分别代人表达式可得①②得，∴．∴．∴．∴．∴．【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键．22．（1）；（2）当时，矩形的周长有最大值，最大值为；（3）4【分析】（1）设抛物线的函数表达式为，求出点C的坐标，将点C的坐标代入即可求出该抛物线的函数表达式；（2）由抛物线的对称性得，则，再得出，根据矩形的周长公式，列出矩形周长的表达式，并将其化为顶点式，即可求解；（3）连接A，相交于点P，连接，取的中点Q，连接，根据矩形的性质和平移的性质推出四边形是平行四边形，则，．求出时，点A的坐标为，则，即可得出结论．（1）解：设抛物线的函数表达式为．∵当时，，∴点C的坐标为．将点C坐标代入表达式，得，解得．∴抛物线的函数表达式为．（2）解：由抛物线的对称性得：，∴．当时，．∴矩形的周长为．∵，∴当时，矩形