专题2.14 等腰三角形的轴对称性（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.14等腰三角形的轴对称性（直通中考）【要点回顾】【要点一】等腰三角形的定义有两条边相等的三角形，叫做等腰三角形，其中相等的两条边叫做腰，另一边叫做底，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角.【要点二】等腰三角形的性质1.等腰三角形的性质性质1：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）．性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合（简称“三线合一”）．2.等腰三角形是轴对称图形等腰三角形底边上的高（顶角平分线或底边上的中线）所在直线是它的对称轴，通常情况只有一条对称轴．【要点三】等腰三角形的判定如果一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称“等角对等边”）.一、单选题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，中，，则的度数为（

）

A． B． C． D．2．（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，直线，直线与直线分别相交于点，点在直线上，且．若，则的度数为（

）

A． B． C． D．3．（2023·江苏宿迁·统考中考真题）若等腰三角形有一个内角为，则这个等腰三角形的底角是（

）A． B． C． D．4．（2023·贵州·统考中考真题）5月26日，“2023中国国际大数据产业博览会”在贵阳开幕，在“自动化立体库”中有许多几何元素，其中有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为，则底边上的高是（

）

A． B． C． D．5．（2023·四川自贡·统考中考真题）第29届自贡国际恐龙灯会“辉煌新时代”主题灯组上有一幅不完整的正多边形图案，小华量得图中一边与对角线的夹角，算出这个正多边形的边数是（

）

A．9 B．10 C．11 D．126．（2023·四川凉山·统考中考真题）如图，在等腰中，，分别以点点为圆心，大于为半径画弧，两弧分别交于点和点，连接，直线与交于点，连接，则的度数是（

）

A． B． C． D．7．（2023·河北·统考中考真题）在和中，．已知，则（

）A． B． C．或 D．或8．（2023·河北·统考中考真题）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化．当为等腰三角形时，对角线的长为（

）

A．2 B．3 C．4 D．59．（2023·贵州·统考中考真题）如图，在四边形中，，，．按下列步骤作图：①以点D为圆心，适当长度为半径画弧，分别交于E，F两点；②分别以点E，F为圆心以大于的长为半径画弧，两弧交于点P；③连接并延长交于点G．则的长是（

）

A．2 B．3 C．4 D．510．（2023·甘肃武威·统考中考真题）如图，是等边的边上的高，以点为圆心，长为半径作弧交的延长线于点，则（

）

A． B． C． D．二、填空题11．（2023·江西·统考中考真题）将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为cm．

12．（2023·新疆·统考中考真题）如图，在中，若，，，则．

13．（2023·吉林·统考中考真题）如图，在中，．点，分别在边，上，连接，将沿折叠，点的对应点为点．若点刚好落在边上，，则的长为．

14．（2023·浙江·统考中考真题）如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，．若，则的长是．

15．（2023·四川·统考中考真题）如图，，直线l与直线a，b分别交于B，A两点，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，F，作直线，分别交直线a，b于点C，D，连接AC，若，则的度数为．

16．（2023·湖南·统考中考真题）如图，已知，点D在上，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，连接，则的度数是度．

17．（2023·内蒙古通辽·统考中考真题）如图，等边三角形的边长为，动点P从点A出发以的速度沿向点B匀速运动，过点P作，交边于点Q，以为边作等边三角形，使点A，D在异侧，当点D落在边上时，点P需移动s．

18．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，连接，过点O作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；过点作于点，过点作轴于点；…；按照如此规律操作下去，则点的坐标为．

三、解答题19．（2022·四川自贡·统考中考真题）如图，△是等边三角形，在直线上，．求证：．20．（2023·江苏苏州·统考中考真题）如图，在中，为的角平分线．以点圆心，长为半径画弧，与分别交于点，连接．

（1）求证：；（2）若，求的度数．21．（2023·湖北荆州·统考中考真题）如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．

22．（2023·内蒙古赤峰·统考中考真题）已知：如图，点M在的边上．求作：射线，使．且点N在的平分线上．作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交射线，于点C，D．②分别以点C，D为圆心．大于长为半径画弧，两弧在的内部相交于点P．③画射线．④以点M为圆心，长为半径画弧，交射线于点N．⑤画射线．射线即为所求．

（1）用尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）根据以上作图过程，完成下面的证明．证明：∵平分．∴①，∵，∴②，（

③

)．（括号内填写推理依据）∴．∴．(

④

)．（填写推理依据）23．（2023·湖北武汉·统考中考真题）如图，在四边形中，，点在的延长线上，连接．

（1）求证：；（2）若平分，直接写出的形状．24．（2022·青海·统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.（1）问题发现：如图1，若和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是底边.求证：；

图1（2）解决问题：如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一条直线上，CM为中DE边上的高，连接BE，请判断∠AEB的度数及线段CM，AE，BE之间的数量关系并说明理由.

图2参考答案1．C【分析】根据等腰三角形的等边对等角和三角形的内角和定理，即可解答．【详解】解：，，，故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的等边对等角性质，三角形内角和定理，熟知上述概念是解题的关键．2．C【分析】由，，可得，由，可得，进而可得的度数．【详解】解：∵，，∴，∵，∴，故选：C．【点拨】本题考查了等边对等角，三角形的内角和定理，平行线的性质．解题的关键在于明确角度之间的数量关系．3．C【分析】先判断出的内角是这个等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的定义求解即可得．【详解】解：等腰三角形有一个内角为，∴这个等腰三角形的底角是，故选：C．【点拨】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的两个底角相等．4．B【分析】作于点D，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，再根据含30度角的直角三角形的性质即可得出答案．【详解】解：如图，作于点D，

中,，，，，，故选B．【点拨】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质等，解题的关键是掌握30度角所对的直角边等于斜边的一半．5．D【分析】根据三角形内角和定理以及正多边形的性质，得出，然后可得每一个外角为，进而即可求解．【详解】解：依题意，，，∴∴∴这个正多边形的一个外角为，所以这个多边形的边数为，故选：D．【点拨】本题考查了三角形内角和定理，正多边形的性质，正多边形的外角与边数的关系，熟练掌握正多边的外角和等于360°是解题的关键．6．B【分析】先根据等边对等角求出，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，则，可得，由此即可得到．【详解】解：∵在等腰中，，，∴，由作图方法可知，是线段的垂直平分线，∴，∴，∴，故选B．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，三角形内角和定理等等，灵活运用所学知识是解题的关键．7．C【分析】过A作于点D，过作于点，求得，分两种情况讨论，利用全等三角形的判定和性质即可求解．【详解】解：过A作于点D，过作于点，∵，∴，当在点D的两侧，在点的两侧时，如图，

∵，，∴，∴；当在点D的两侧，在点的同侧时，如图，

∵，，∴，∴，即；综上，的值为或．故选：C．【点拨】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键．8．B【分析】利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解．【详解】解：在中，，∴，即，当时，为等腰三角形，但不合题意，舍去；若时，为等腰三角形，故选：B．【点拨】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．9．A【分析】先根据作图过程判断平分，根据平行线的性质和角平分线的定义可得，进而可得，由此可解．【详解】解：由作图过程可知平分，，，，，，，故选A．【点拨】本题考查角平分线的作图，平行线的性质，等腰三角形的判定，解题的关键是根据作图过程判断出平分．10．C【分析】由等边三角形的性质求解，再利用等腰三角形的性质可得，从而可得答案．【详解】解：∵是等边的边上的高，∴，∵，∴，故选C【点拨】本题考查的是等边三角形的性质，等腰三角形的性质，熟记等边三角形与等腰三角形的性质是解本题的关键．11．【分析】根据平行线的性质得出，进而可得是等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解．【详解】解：∵直尺的两边平行，∴，又，∴是等边三角形，∵点，表示的刻度分别为，∴，∴∴线段的长为,故答案为：．【点拨】本题考查了平行线的性质，等边三角形的性质与判定，得出是解题的关键．12．【分析】根据等边对等角得出，再有三角形内角和定理及等量代换求解即可．【详解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，即，解得：，故答案为：．【点拨】题目主要考查等边对等角及三角形内角和定理，结合图形，找出各角之间的关系是解题关键．13．【分析】根据折叠的性质以及含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解．【详解】解：∵将沿折叠，点的对应点为点．点刚好落在边上，在中，，，∴，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．14．4【分析】由可得，由是的垂直平分线可得，从而可得．【详解】解：∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴．故答案为：4．【点拨】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及等角对等边等知识，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．15．/56度【分析】先判断为线段的垂直平分线，即可得，，再由，可得，即有，利用三角形内角和定理可求的度数．【详解】解：由作图可知为线段的垂直平分线，∴，∴，，∵，∴，∴，∵，∴，故答案为：．【点拨】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断为线段的垂直平分线是解答本题的关键．16．65【分析】根据题意可得，再根据等腰三角形两个底角相等和三角形内角和为180°进行计算即可解答．【详解】解：根据题意可得：，∴，∵，∴．故答案为：65．【点拨】本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形内角和等要点，掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键．17．1【分析】当点D落在上时，如图，，根据等边三角形，是等边三角形，证明，进而可得x的值．【详解】解：设点P的运动时间为，由题意得，，

∵，∴，∵和是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得．故答案为：1．【点拨】本题主要考查等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用等边三角形的性质是解题的关键．18．【分析】根据题意，结合图形依次求出的坐标，再根据其规律写出的坐标即可．【详解】解：在平面直角坐标系中，点A在轴上，点B在轴上，，是等腰直角三角形，，，是等腰直角三角形，同理可得：均为等腰直角三角形，，根据图中所有的三角形均为等腰直角三角形，依次可得：由此可推出：点的坐标为．故答案为：．【点拨】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，以及点的坐标变化规律问题，等腰直角三角形的性质，解题的关键是依次求出的坐标，找出其坐标的规律．19．详见解析【分析】由等边三角形的性质以及题设条件，可证△ADB≌△AEC，由全等三角形的性质可得．【详解】证明：∵△是等边三角形，∴AB=AC，∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=∠ACE，在△ADB和△AEC中，∴△ADB≌△AEC(SAS)，∴．【点拨】本题考查等边三角形的性质、补角的性质、全等三角形的判定和性质，综合性强，但是整体难度不大．20．(1)见解析(2)【分析】（1）根据角平分线的定义得出，由作图可得，即可证明；（2）根据角平分线的定义得出，由作图得出，则根据三角形内角和定理以及等腰三角形的性质得出，，进而即可求解．【详解】（1）证明：∵为的角平分线，∴，由作图可得，在和中，，∴；（2）∵，为的角平分线，∴由作图可得，∴，∵，为的角平分线，∴，∴【点拨】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的性质与判定是解题的关键．21．见解析【分析】利用三线合一和等腰三角形的性质，证出，再利用等边对等角即可．【详解】证明：为等边的中线，

，，，【点拨】本题考查了等边三角形，等腰三角形的性质和判定，理解记忆相关定理是解题的关键．22．(1）见解析(2)①，②，③等边对等角；④内错角相等，两直线平行【分析】（1）根据题意用尺规作图，依作法补全图形即可；（2）由平分推导，由推导，从而推出，继而利用“内错角相等，两直线平行”判定．【详解】（1）根据意义作图如下：射线