江西省2022年中考数学总复习课后强化训练-第七章第二节　图形的对称(含折叠)

[基础过关]1．(2021·会昌模拟)下列学习用具中，不考虑尺具上的刻度文字，不是轴对称图形的是()解析：A.不是轴对称图形，故正确；B．是轴对称图形，故错误；C．是轴对称图形，故错误；D．是轴对称图形，故错误．答案：A2．(2021·赣州模拟)下列手机手势解锁图案中，是中心对称图形的是()解析：A.不是中心对称图形；B．是中心对称图形；C．不是中心对称图形；D．不是中心对称图形．答案：B3．(2021·赣州一模)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()解析：A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；D．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．答案：C4．(2021·江西模拟)如图是由三个全等的菱形拼接成的图形，若平移其中一个菱形，与其他两个菱形重新拼接(无覆盖，有公共顶点)，并使拼接成的图形为轴对称图形，则平移的方式共有()A．3种B．6种C．8种D．10种解析：如图，把菱形A平移到①或②或⑤或⑥的位置可得轴对称图形．把菱形B平移到③或④或⑤或⑥的位置可得轴对称图形．共有8种方法．答案：C5．点A(4，－2)关于x轴的对称点的坐标为()A．(4,2) B．(－4,2)C．(－4，－2) D．(－2,4)解析：点A(4，－2)关于x轴的对称点为(4,2)．答案：A6．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，若AB＝4，BC＝8，则D′F的长为()A．2eq\r(5)B．4C．3D．2解析：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，CD＝AB＝4，AD∥BC.∴∠AFE＝∠CEF.由折叠的性质，得∠AEF＝∠CEF，AE＝CE，∠D′＝∠D＝90°，AD′＝CD＝4，∴∠AFE＝∠AEF.∴AF＝AE＝CE.设AF＝AE＝CE＝x，则BE＝8－x，在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB2＋BE2＝AE2，即42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5，∴AF＝5.在Rt△AFD′中，由勾股定理，得D′F＝eq\r(AF2－AD′2)＝eq\r(52－42)＝3.答案：C7．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，动点P满足S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，则点P到A，B两点距离之和PA＋PB的最小值为()A．2eq\r(13)B．2eq\r(10)C．3eq\r(5)D.eq\r(41)解析：设△ABP中AB边上的高是h.∵S△PAB＝eq\f(1,3)S矩形ABCD，∴eq\f(1,2)AB·h＝eq\f(1,3)AB·AD.∴h＝eq\f(2,3)AD＝2.∴动点P在与AB平行且与AB的距离是2的直线l上．如图，作A关于直线l的对称点E，连接AE，BE，则BE的长就是所求的最短距离．在Rt△ABE中，∵AB＝6，AE＝2＋2＝4，∴BE＝eq\r(AB2＋AE2)＝eq\r(62＋42)＝2eq\r(13).即PA＋PB的最小值为2eq\r(13).答案：A8．在数学拓展课上，小明发现：若一条直线经过平行四边形对角线的交点，则这条直线平分该平行四边形的面积．如图是由5个边长为1的小正方形拼成的图形，P是其中4个小正方形的公共顶点，小强在小明的启发下，将该图形沿着过点P的某条直线剪一刀，把它剪成了面积相等的两部分，则剪痕的长度是()A．2eq\r(2)B.eq\r(5)C.eq\f(3\r(5),2)D.eq\r(10)解析：如图，经过P，Q的直线则把它剪成了面积相等的两部分，由图形，可知△AMC≌△FPE≌△BPD，∴AM＝PB.∴PM＝AB.∵PM＝eq\r(32＋12)＝eq\r(10)，∴AB＝eq\r(10).答案：D9．如图，x轴是△AOB的对称轴，y轴是△BOC的对称轴，点A的坐标为(1,2)，则点C的坐标为()A．(－1，－2)B．(1，－2)C．(－1,2)D．(－2，－1)解析：∵x轴是△AOB的对称轴，∴点A与点B关于x轴对称．而点A的坐标为(1,2)，∴B(1，－2)．∵y轴是△BOC的对称轴，∴点B与点C关于y轴对称．∴C(－1，－2)．答案：A10．将一张正方形纸片按如图步骤，通过折叠得到图④，再沿虚线剪去一个角，展开铺平后得到图⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，则eq\f(FM,GF)的值是()A.eq\f(\r(5)－\r(2),2)B.eq\r(2)－1C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(2),2)解析：连接HF，设直线MH与AD边的交点为P，如图．由折叠可知，点P，H，F，M四点共线，且PH＝MF，设正方形ABCD的边长为2a，则正方形ABCD的面积为4a2，∵若正方形EFGH与五边形MCNGF的面积相等，∴由折叠可知正方形EFGH的面积＝eq\f(1,5)×正方形ABCD的面积＝eq\f(4,5)a2.∴正方形EFGH的边长GF＝eq\r(\f(4,5)a2)＝eq\f(2\r(5),5)a.∴HF＝eq\r(2)GF＝eq\f(2\r(10),5)a.∴MF＝PH＝eq\f(2a－\f(2\r(10),5)a,2)＝eq\f(5－\r(10),5)a.∴eq\f(FM,GF)＝eq\f(5－\r(10),5)a÷eq\f(2\r(5),5)a＝eq\f(\r(5)－\r(2),2).答案：A11．(2021·南昌模拟)如图，已知△ABC中，∠BAC＝132°，现将△ABC进行折叠，使顶点B，C均与顶点A重合，则∠DAE的度数为________．解析：∵∠BAC＝132°，∴∠B＋∠C＝180°－132°＝48°.由题意，得∠B＝∠DAB(设为α)，∠C＝∠EAC(设为β)，∴∠ADE＝2α，∠AED＝2β.∴∠DAE＝180°－2(α＋β)＝180°－96°＝84°.故答案为84°.答案：84°12．(2021·黔西南州)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________．解析：如图所示．由题意，可得∠1＝∠2，AN＝MN，∠MGA＝90°，则NG＝eq\f(1,2)AM，故AN＝NG，∴∠2＝∠4.∵EF∥AB，∴∠4＝∠3.∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝eq\f(1,3)×90°＝30°.∵四边形ABCD是矩形，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，∴AE＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)BC＝1.∴AG＝2.∴EG＝eq\r(22－12)＝eq\r(3).故答案为eq\r(3).答案：eq\r(3)13．如图，将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上，若∠A＝60°，∠1＝80°，则∠2＝________.解析：∵将△ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上，∴∠DA′E＝∠A＝60°.∴∠B＋∠C＝∠EDA′＋∠DEA′＝180°－60°＝120°.∴∠2＝360°－∠1－∠B－∠C－∠EDA′－∠DEA′＝360°－80°－120°－120°＝40°.故答案为40°.答案：40°14．(2021·会昌模拟)如图，菱形ABCD的周长为24cm，∠A＝120°，E是BC边的中点，P是BD上的动点，则PE＋PC的最小值是________．解析：∵菱形ABCD的周长为24cm，∴AB＝BC＝eq\f(24,4)＝6(cm)．∵∠A＝120°，∴∠ABC＝60°.方法一：如图，连接AC，连接AE交BD于点P，连接PC，∵菱形ABCD的对角线互相垂直平分，∴点A和点C关于BD对称．∴PA＝PC，此时PE＋PC＝PE＋PA＝AE.根据两点之间线段最短，∴PE＋PC的最小值即为AE的长．∵∠ABC＝60°，AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．∵AB＝6，∴BE＝3.∴AE＝eq\r(AB2－BE2)＝3eq\r(3).所以PE＋PC的最小值是3eq\r(3).故答案为3eq\r(3).方法二：如图，作点E关于直线BD的对称点E′，连接CE′交BD于点P，则CE′的长即为PE＋PC的最小值，∵四边形ABCD是菱形，∴BD是∠ABC的平分线．∴E′在AB上，由图形对称的性质可知：BE＝BE′＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)×6＝3，∵BE′＝BE＝eq\f(1,2)BC，∠ABC＝60°，∴△BEE′是等边三角形．∴△BCE′是直角三角形．∴CE′＝eq\r(BC2－BE′2)＝eq\r(62－32)＝3eq\r(3).故PE＋PC的最小值是3eq\r(3).故答案为3eq\r(3).答案：3eq\r(3)[能力提升]15．黄帅拿一张正方形的纸按如图所示沿虚线连续对折后剪去带直角的部分，然后打开后的形状是()解析：严格按照图中的顺序向右下对折，向左下对折，从直角顶点处剪去一个直角三角形，展开得到结论．答案：C16．(2021·南昌模拟)如图，将左边正方形剪成四块，恰能拼成右边的矩形，若a＝2，则b的值是()A.eq\r(5)B.eq\r(3)C.eq\r(5)＋1D.eq\r(3)＋1解析：根据图形和题意，可得(a＋b)2＝b(a＋2b)，其中a＝2，则方程是(2＋b)2＝b(2＋2b)，解得b＝eq\r(5)＋1.答案：C17．从平面镜里看到背后墙上电子钟的示数如图所示，这时的正确时间是()A．21：05 B．21：15C．20：15 D．20：12解析：由图分析可得题中所给的“20：15”与“21：05”成轴对称，这时的时间应是21：05.答案：A18．(2021·江西模拟)如图，四边形OABC是菱形，点M，N都在OA的延长线上，且OM＝2，MN＝6，∠OAB＝120°，则BM＋BN的最小值为()A.eq\r(26)B．6C．2eq\r(13)D．2eq\r(15)解析：∵四边形OABC是菱形，∠OAB＝120°，∴∠AOC＝60°.∴∠AOB＝30°.如图，作N关于直线OB的对称点N′，连接N′M交OB于B，则MN′＝BM＋BN的最小值，过N′作N′H⊥ON于H，∵NN′⊥OB于E，∴∠OEN＝90°.∵∠AOB＝30°，∴∠ONE＝60°.∵OM＝2，MN＝6，∴EN＝eq\f(1,2)ON＝4.∴NN′＝8.∴HN＝4，N′H＝4eq\r(3).∴MH＝2.∴MN′＝eq\r(4＋48)＝2eq\r(13).∴BM＋BN的最小值为2eq\r(13).答案：C19．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，将其折叠使AB落在对角线AC上，得到折痕AE，那么BE的长度为()A.eq\f(\r(2)－1,2)B.eq\f(\r(3)－1,2)C.eq\f(\r(5)－1,2)D.eq\f(\r(6)－1,2)解析：设BE的长为x，则BE＝FE＝x，CE＝2－x，在Rt△ABC中，AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝eq\r(5).∵∠ECF＝∠ACB，∠CFE＝∠ABE＝90°，∴△CEF∽△CAB(两对对应角相等的两三角形相似)．∴eq\f(EF,AB)＝eq\f(CE,AC).∴FE＝x＝eq\f(CE,AC)×AB＝eq\f(2－x,\r(5))×1，x＝eq\f(\r(5)－1,2).∴BE＝x＝eq\f(\r(5)－1,2).答案：C20．在平面直角坐标系中，点P(4,2)关于直线x＝1的对称点的坐标是________．解析：∵点P(4,2)，∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3.∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3.∴点P′的横坐标为1－3＝－2.∴对称点P′的坐标为(－2,2)．故答案为(－2,2)．答案：(－2,2)21．请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．(1)如图①，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形ABCD的对称轴m；(2)如图②，四边形ABCD中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出BC边的垂直平分线n.解：(1)如图①，直线m即为所求；(2)如图②，直线n即为所求．22．如图，把平行四边形纸片ABCD沿BD折叠，点C落在点C′处，BC′与AD相交于点E.(1)连接AC′，则AC′与BD的位置关系是________；(2)EB与ED相等吗？证明你的结论．解：(1)如图，连接AC′，∵四边形A