2022-2023学年山西大学附中高三（上）诊断数学试卷（9月份）（附答案详解）

2022-2023学年山西大学附中高三(上)诊断数学试卷(9月份)

1.已知集合力={x|0WxW3},B={0,1,3,4),则4nB=()

A.{0,1}B.[0,1,3}C.{0,1,4)D.{0,3,4}

2.已知复数2=白],则|z|=()

3十旬

A理B2D.y

525

3.“事函数/'(%)=(m2+m—1)%加在(0,+8)上为增函数”是"函数g(x)=2X—m2-2~x

为奇函数”的条件.()

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

4.若直线x=4y+7与双曲线C：a/-y2=i(a>0)的一条渐近线平行，则a的值为()

A.-1-6rB.74C.4D.16

5.已知等差数列｛a"满足电++…+%01=0，则有()

a

A.%+a101>0B.a2+ioo<。C.a3+ag9=0D.a51=51

6.将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则不同的分配

方案有()

A.30种B.90种C.180种D.270种

7.已知等比数列｛an｝中，as=9,a3a8=81a2>则a2a6=()

A.27B.9C.±9D.±27

8.已知正方形ABC。中，E为AB中点,H为A£>中点,F,G分别为8C,CQ上的点,CF=2FB,

CG=2GD,将△ABD沿着8力折起得到空间四边形ZiBCD,则在翻折过程中，以下说法正确

的是()

A.EF//GH8.即与6"相交C.EF与G”异面D.EH与FG异面

9.已知函数/'(x)=ln(V9x2+1—3%)+x+l,若a,b€R,a+b=2023,则/'(b—2025)+

f(a+2)=()

A.B.2C.3D.4

10.阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置.我国第一高楼上海中心大厦的阻

尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1.由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近

似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(zn)和时间t(s)的函数关系为y=sin&t+乃⑷>

0,\(p\<n),如图2.若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为t2，

13(0<G<12<t3),且Q+，2=2，t2+t3=6,则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位

移大于0.5m的总时间为()

图1

A.B.|sC.IsD.|s

11.已知△4BC中，AB=AC=3,BC=3痘,现以BC为旋转轴旋转360。得到一个旋转体,

则该旋转体的内切球的表面积为()

人nr「八

A.277rnB.—277rC.-27r7-rD.—27—7r

284

12.已知抛物线C：/=2py(p>o)的焦点为F,P是C上位于第一象限内的一点，若C在点

P处的切线与y轴交于N点，且NFPN=30。，。为坐标原点，则直线OP的斜率为()

A.1B.yC.yD.1

13.己知平面向量益=(zn,1),b=(1,4)>若五则m.

14.若直线，:x—V3y+9=0被圆C：x2+y2+2x-m=0截得线段的长为6,则实数m的

值为.

15.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若si/B+siMC=siM/l+sinBsinC,

且宿四=4,△ABC的面积S为.

16.已知数列｛aj满足%=1，a2=2,an+2=Cn+2m为奇数，记数列｛册｝的前〃项和为2,

3a”n为傅数

若存在正整数k,使得丹=①，则，"的值是.

17,已知等差数列5｝满足首项为1唯15-log310+glog34的值，且&3+=18.

(1)求数列｛a“｝的通项公式；

(2)设勾=」一，求数列｛%｝的前n项和

an^n+l

18.在A48C中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且5a=^+%.

(1)求cosA；

(2)若c=2,sinC：sinF=1：5,求a.

19.如图，在正三棱柱ABC—A/iCi中，AB=2,CCr=3,点。，E分别在棱和棱上,

S.AD=1,CE=2.

(1)求证：平面BDE1平面BCG%；

(2)求直线AC与平面8£>E所成角的正弦值.

20.北京时间2022年7月25EI3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口,2022

年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实

验舱.8月，中国空间站第2个实验舱段一一梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发

射.中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验

室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验.为普及空间站相关知识，某部门组织了

空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个

相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10

个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序

正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的

概率为0.6,每位选手每次编程都互不影响.

(1)求乙闯关成功的概率；

(2)求甲编写程序正确的个数X的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.

21.如图，椭圆C：各，=1,=夕，&是椭圆C的左焦点，&是椭圆C的左顶点，

当是椭圆C的上顶点，且砧=6方，点P(/i,0)(nH0)是长轴上的任一定点，过P点的任一

直线/交椭圆C于A,B两点、.

(1)求椭圆C的方程；

(2)是否存在定点Q(&,0),使得丽•谑为定值，若存在，试求出定点。的坐标，并求出此定

值；若不存在，请说明理由.

22.已知函数f(%)=ax(\nx-1)+y(ae/?).

(1)若a=2,求曲线y=/(%)在点(1J(1))处的切线方程；

(2)若/(x)有两个极值点与，不(与<亚)，且不等式篝2+1>0恒成立，求实数4的取值

范围.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A={x|0<x<3],B={0,134},

：.AC\B-[0,1,3).

故选：B.

直接由交集的定义即可求解.

本题考查交集运算，属基础题.

2.【答案】D

【解析】解：VZ=

3+4i

|1-i|JI2+(-I)2V2

…一”-5

故选：D.

根据已知条件，结合复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数模公式，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：:幕函数/'(%)=(m2+m-在(o,+8)上为增函数，

2

Jm+m-l=l(解得7n=i,

km>0

若函数g(x)=2x-m2-2r为R上奇函数，

则g(0)=1—m2—0.•••m—+1,

经检验知，当m=±l时，g(x)=2*—为奇函数，二ni=±1,

“嘉函数/(x)=(m2+m-1)产在(o,+8)上为增函数”是“函数9(乃=2"一小2.2-工为奇函

数”的充分不必要条件，

故选：4

利用幕函数的概念及其单调列式求得幕函数/'(X)在(0,+8)上为增函数时的〃?值，再利用奇偶性的

定义求出函数g(x)为奇函数的巾值即可.

本题考查奇偶性的定义，幕函数的概念及性质，属于中档题.

4.【答案】A

【解析】解：双曲线a--y2=1(Q>0)的渐近线方程为y=±Vax,

由x=4y+7,可得、=4%-彳，

•・,直线x=4y+7与双曲线C：ax2-y2=l(a>0)的一条渐近线平行，

・•.Va=p解得a=2.

故选：A.

由题意可得关于。的方程组，求解a的值，则答案可求.

本题考查双曲线的几何性质，考查双曲线标准方程的求法，考查运算求解能力，是基础题.

5.【答案】C

【解析】解：取满足题意的特殊数列与=0,即可得到+。99=0

故选：C.

根据特殊数列与=0可直接得到。3+。99=0,进而看得到答案.

本题主要考查等差数列的性质.做选择题时要合理选择最恰当的方法可节省做题时间.

6.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查排列、组合的综合运用，注意此类题目一般顺序为先组合、再排列.

根据题意，先把5名实习教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，计算其分组的方法种数,

进而将三个组分到3个班，即进行全排列，计算可得答案.

【解答】

解：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，

则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有琴=15种方法，

再将3组分到3个班，共有15•Al=90种不同的分配方案,

故选8.

7.【答案】4

【解析】解:等比数列｛an｝中，=%a3a8=81。2,

9

81alq'

解得q2=3,Qi=1,

则a2a6=aiQ6=27.

故选：A.

由已知结合等比数列的通项公式即可求解.

本题主要考查了等比数列的通项公式的应用，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：由CF=2FB,CG=2GD,则FG〃CD且FG=|SD,

由E为AB中点，”为A。中点，^\EH//CDS.EH=^BD,

所以EH〃FG且EHKFG,

则四边形EFG”为梯形.

梯形EFG"的两腰EF,"G延长必交于一点，

所以EFGH相交，EH与FG平行,

故选项4,C,。不正确，选项8正确.

故选：B.

由条件可得EH〃FG且丰FG,则四边形EFGH为梯形，从而可得出答案.

本题考查了空间中两直线的位置关系，属于基础题.

9.【答案】B

【解析】解：因为9/+1>9/,所以才9」2+1>3|划,

所以K9%2+1-3%>0,

所以函数的定义域为R,因为a,bWR,a+b=2023,

所以f(b-2025)+f(a+2)="2023-a-2025)+f(a+2)=f[-(a+2)]+/(a+2),

而/(x)+/(-x)=ln(V9x2+1-3x)+x+1+ln(V9x2+1+3x)-x+1=ln[(V9x2+1-

3x)■(79x2+i+3刈4-2=Ini+2=2,

所以f(b-2025)+f(a+2)=2,

故选：B.

由题意可得定义域为R,化简/(b-2025)+f(a+2)=/(2023-a-2025)+/(a+2)=

H-(a+2)]+/(a+2),求出f(x)+f(一乃的值，可得f(b-2025)+f(a+2)的值.

本题考查函数的对称性的性质的应用，属于基础题.

10.【答案】D

【解析】解：「Xti+tz)=1，

法+3=3，

・,・函数y=sin(a)t+0)的周期为T=2x(3-1)=4,

•・•y=sin%在周期［0,2兀）内时，

y>0.5的区间为冷,

OO

区间长度是周期的g,

・•・在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为：x4=gs,

故选：D.

由三角函数的对称轴与周期的关系知函数y=sinQt+（p）的周期为4,注意到位移大于0.5ni及函

数丫=sinx在周期［0,2n）内时，y>0.5的区间为弓片），从而求得.

本题考查了三角函数的图象的应用及转化思想的应用，注意审题，属于中档题.

11.【答案】D

【解析】解：如图所示，旋转体的轴截面为边长为3的菱形，。为内切球的球心,

因为AB=AC=3,FC=3V3,

_9+9-271

所以COSNBAC

-2ABAC_2x3x32,

因为0°<乙BAC<180°,

所以484c=120°,所以4WC=N4CB=30°,

所以内切球的半径r=AC・sin30°-cos30°=苧，

故S=4x兀x（竽）2=笠、

故选：D.

如图作出旋转体的轴截面，由题意可得轴截面为边长为3的菱形，其中NBAC=120。，从而可求

出内切球的半径，进而可求出其表面积.

本题考查了旋转体内切球的表面积，属于基础题.

12.【答案】C

【解析】解：设P（&,第，因为C:y=\,故y=］

故切线PN的方程为y-g=包Q-&）,即y=与一学，

zpPPzp

故N（0,—第•又由抛物线的定义可得”=恭a且FN=91

故FP=FN,故4FNP=4FPN=30°,故直线PN的倾斜角为60°,

所以^=tan60°=遍，即％o=遮p,故P(bp,,p).

Pz

所以直线OP的斜率为备

故选：C.

设PQo，S)，根据导数的几何意义可得切线PN的方程，结合抛物线的定义可得FP=FN,从而得

„2

到直线PN的倾斜角为60。，得出x°=V5p，代入P®),为，再计算直线。尸的斜率即可.

本题考查抛物线的性质，考查学生的运算能力，属于中档题.

13.【答案】-4

【解析】解：•・•平面向量五=(m,1),b=(1,4),alb,

Aa-b=m+4=0,m=—4,

故答案为：-4.

由题意，利用两个向量垂直的性质，列方程求出〃2的值.

本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属

于基础题.

14.【答案】24

【解析】解：圆C：x24-y24-2x-m=0的标准方程为(％-I)2+y2=14-m,

所以圆心C(-l,0),半径丁=Vl+m,

圆心到直线E:x-V3y+9=0的距离为d=一懈%=,

V1+34

因为上%-V3y+9=0被被圆C：%2+y2+2x-m=0截得线段的长为6,

根据勾股定理可得卢+32=r2,即16+9=1+m,解得m=24.

故答案为:24.

把圆的一般方程化为圆的标准方程，利用点到直线的距离公式以及勾股定理进行求解即可.

本题主要考查直线与圆的位置关系，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题.

15.【答案】2V3

【解析】解：因为siMB+siMC=siMa+sinBsinC,

由正弦定理可得炉+c2=a2+be,

由余弦定理可得cosA=?包=驾上=

2bc2bc2

又Ae（0,兀），所以a=?

因为前•荏=4,所以正•荏=|前而|•cosA=bccosA=Tbc=4,所以be=8,

故S=3besinA=1-8--y=2V3-

故答案为：26.

利用正余弦定理结合siMB+sin2c=siMa+sinBsinC可得4=p再根据而•AF=4可得be=8,

再利用三角形面积公式可求得S.

本题考查正余弦定理的在解三角形中的应用，考查三角形面积的求法，考查数学运算的核心素养，

属于中档题.

16.【答案】2

【解析】解：数列闻｝满足臼=1,=2,an+2=产+2,几为奇数,记数列｛每｝的前〃项和为的,

3a“,rt为偶数

当”为奇数时，数列｛aj是以1为首项，2为公差的等差数列;

当〃为偶数时，数列｛即｝是以2为首项，3为公比的等比数列；

所以S2nl=巾+”"；T)x2+2"j1T)=m+m2-m+3m-1=m2+3m-

S2m_i=m+吗辿x2+2x%-i)=m2+3m-i-i；

所以4=写；3,

^2m-lm2-l+3m1

故只有Q1=1,a2=2,g=3可能存在;

当血=1时，：2中=以不成立,、

d2m-l

当m=2时，S2m=今成立;

d2m-l

当m=3时，：2见一=以不成立.

d2m-l

故答案为：2.

直接利用数列的递推关系式和数列的求和公式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，数列的求和，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

17.【答案】解：(1)根据题意得，a±=log315-log310+^log34

15厂

=1。。3而+1093V4

33

=log3-+log32=log3(-x2)=1,

因为数列｛oj是等差数列，设公差为d,

则由的+劭=18,得%+2d+%+6d=18,解得d=2,

所以时=14-(n—l)x2=2n—1；

(2)由(1)可得b=(2n_i；(2n+i)=3(七一焉)’

所以―勺+技―》+…+虫+_焉)=*1—焉)=就.

【解析】本题考查裂项相消法求数列的前〃项和、求等差数列的通项公式、对数的运算，考查学

生的运算能力，属于中档题.

(1)利用对数的运算法则求得｛即｝的首项的，再利用等差数列的通项公式代入。3+&7=18即可求

解公差d,最后可求数列｛即｝的通项公式；

(2)将(1)中斯=2n-1代入刈=」一，利用裂项相消法求和即可求得及.

斯册+1

18.【答案】解：(1)由5a=鸟+等.得5acosC=5b+5c,

COSUCOSC

由正弦定理得5sirh4cosc=5sinB+3sinC,

・•・SsinAcosC=5sin(4+C)+3sinC,

・•・5sini4cosC=5sin/cosC+ScosAsinC+3sinC,

3

sinCH0,A5cosA+3=0,・•・cosA=--；

(2)由sinC：sinB=1：5,由正弦定理可得c：b=1：5,

所以b=10,由余弦定理得M=炉+02_2bccosA=1024-22—2x10x2(--)=128,

・•・a=8A/2.

【解析】(1)由正弦定理得5sin/cosC=5sinB+3sinC,进而可得cos/=—|,

(2)由正弦定理可得c：b=1：5,可得/?,进而由余弦定理可得a.

本题考查正余弦定理在解三角形中的应用，属中档题.

19.【答案】(1)证明：如图，取BiG的中点凡BE的中点G,连

接FG,DG,&F,

则FG〃CCi〃A&,且FG=笔BB[=亨=2,

所以FG〃&。且尸G=&D,所以四边形为OGF为平行四边形，所以&F〃DG,

因为△&B1C1是等边三角形，尸是BiG的中点，所以&F1.B1C1，

又因为平面AiBiG_L平面BCC/i，平面为B1C1n平面BCGB1=BiG，A/u平面为%(；1，

所以4/1平面BCC/i，

所以DG1平面BCGBi，

又DGu平面BDE,所以平面BOE_L平面BCG/.

(2)设BC的中点为。，连接。A,0G,易知O,G,尸三点共线.

在正三棱柱48C-4B1G中，可得40_LBC,所以OA,0B,。尸两两互相垂直.

分别以画，而，标的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，

则8(0,1,0),E(0,-l,2),D(V3,0,1),4(遮,0,0),C(0,-1,0),

所以丽=(0,-2,2),前=(旧,一1,1),前=(-V3,-l,0).

设平面BOE的法向量为元=(x,y,z),

由「•吧=?y+2z=°，令1,得到平面BDE的法向量元=(0,1,1).

设直线AC与平面BOE所成的角为0,则sin®=|韶；|=孚，

同闸4

所以直线AC与平面BDE所成角的正弦值为学.

【解析】(1)根据面面垂直的判定定理，结合等边三角形的性质，可得线线垂直，结合正三棱柱中

侧面与底面垂直，可得线面垂直，可得答案；

(2)建立空间直角坐标系，得到点的对应坐标，进而得到线的方向向量和面的法向量，结合向量夹

角公式，可得答案.

本题考查面面垂直判定定理和线面角，属于中档题.

20.【答案】解：(1)记事件A为“乙闯关成功”，

乙正确完成每个程序的概率为0.6,

则P(4)=Cfx0.62x(1-0.6)+(0.6)3=0.648；

(2)中编写程序正确的个数X的可能取值为0,1,2,3,

P(X=0)=早=4，P(X=1)=学=之

7v10

、C?o30>c?0

P(X=2)=荤=1,P(X=3)=卑=:，

岛2'do6

故X的分布列为：

X0123

1311

P

301026

故E(X)=0x—+lx—+2x-+3x-=-,

JUJLU乙oo

甲闯关成功的概率P=:+；=|>0.648,

Zoo

故甲比乙闯关成功的概率要大.

【解析】本题主要考查超几何分布的分布列和期望、二项分布的概率计算，属于中档题.

(1)依题意由二项分布的概率公式，即可求解.

(2)由题意可得是一个超几何分布模型，X所有可能取值为0,1,2,3,依次求出对应的概率，再

结合期望公式，即可求出X的分布列和期望，再求出甲闯关的概率，即可求解.

a2+b2=7

21.【答案】解：(1)由题意可知，］a=2c，解得a=2,b=5

a2=b2+c2

.•椭圆C的方程为4+4=1；

43

(2)设4(乙,%),8。2而，

当直线/的斜率存在时，设/：y=fc(x-n),

2

代入椭圆方程可得：(4fc+3)X2,Qk2nx+4k2n2-12=0.

8k2n4k2n2-12

Xi+X=-?-，％1%2=----7-------，

/2加+34M+3

2

QA-QB=^-x0)(x2-x0)+=(Xi-x0)(x2-x0)+k(xr-n)(x2-n)

2

=(fc+1)%1%2一(k2Tl+XO)(X1+x2)-%o4-k2n2

_(In2-8nxQ+4xg-12)/c24-3XQ-12①

4必+3

若①是与k无关的常数,则3(7九2一8nx0+4就-12)=4(3贿-12),

解得：

此时，丽•丽=球-4=心+52-4；

当/与x轴垂直时，/：%=n,

此时4(71,《3(1一力),B(n,-^3(1-^)),

QA-QB=(n-右)2_3(1_竽)=诏-4=吗+y)2-4成立.

・•・存在定点Q3+y,0)