2023-2024学年江苏省常州市高二上册期初数学试题（含解析）

2023-2024学年江苏省常州市高二上册期初数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．已知复数（为虚数单位），为z的共轭复数，若复数，则的虚部为（

）A． B． C． D．3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（

）A．若，，，则 B．若，，则C．若，，，则 D．若，，，则4．已知，则（

）A． B． C． D．5．已知，为单位向量，若向量与的夹角的正弦值为，则向量在上的投影向量为（

）A． B． C． D．6．已知函数满足对任意，都有成立，则a的取值范围是（

）A． B． C． D．7．甲、乙、丙、丁四人各掷骰子5次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），并分别记录自己每次出现的点数，四人根据统计结果对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定出现6点的描述是（

）A．中位数为4，众数为4 B．中位数为3，极差为4C．平均数为3，方差为2 D．平均数为4，第25百分位数为28．中，，．对任意的实数t，恒有，则面积的最大值为（

）A． B． C．1 D．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．我国是世界上的快递大国，快递业务已经成为人们日常生活当中不可或缺的重要组成部分，给我们的生活带来巨大的便利，如图是2012～2020年我国快递业务量变化情况统计图，则关于这9年的统计信息，下列说法正确的是（

）

A．这9年我国快递业务量逐年增加B．这9年我国快递业务量同比增速的中位数为51.4%C．这9年我国快递业务量同比增速的极差超过36%D．这9年我国快递业务量的平均数超过210亿件10．下列结论中正确的有（

）A．的最小值是2B．如果，，，那么的最大值为3C．函数的最小值为2D．如果，，且，那么的最小值为211．下列命题正确的是（

）A．设，为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的充分不必要条件B．点是边的中点，若，则在的投影向量是C．点是边的中点，若点是线段上的动点，且满足，则的最大值为D．已知平面内的一组基底，，则向量，不能作为一组基底12．如图，已知正方体的棱长为1，为底面的中心，交平面于点，点为棱CD的中点，则（

）

A．四面体的体积与表面积的数值之比为B．点到平面的距离为C．异面直线与所成的角为D．过点A1，B，F的平面截该正方体所得截面的面积为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若样本数据的方差为8，则数据的方差为．14．已知，，若，则．15．已知，，若对任意的，总存在，使成立，求实数m的取值范围为．16．已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．读书可以增长知识，开拓视野，修身怡情．某校为了解本校学生课外阅读情况，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全校学生中抽出一个容量为100的样本，其中男生40名，女生60名．经调查统计，分别得到40名男生一周课外阅读时间（单位：小时）的频数分布表和60名女生一周课外阅读时间（单位：小时）的频率分布直方图．男生一周阅读时间频数分布表小时频数92263

(1)由以上频率分布直方图估计该校女生一周阅读时间的第75百分位数；(2)从一周课外阅读时间为的样本学生中按比例分配抽取7人，再从这7人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．18．已知函数．(1)求在上的最值；(2)已知锐角三角形内角A满足，求的值．19．如图，正方形ABCD和菱形ACEF所在平面互相垂直，．四棱锥的体积是．(1)求证：平面ABF；(2)求AB的长度及四面体ABEF的体积．20．已知函数，.(1)若为奇函数，求实数的值；(2)在（1）的条件下，当时，函数存在零点，求实数的取值范围；(3)定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的一个上界.若函数在上是以5为上界的有界函数，求实数的取值范围.21．摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢往上转，可以从高处俯瞰四周景色.位于潍坊滨海的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，该摩天轮轮盘直径为米，设置有个座舱.游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点时距离地面米，匀速转动一周大约需要分钟.当游客甲坐上摩天轮的座舱开始计时.

(1)经过分钟后游客甲距离地面的高度为米，已知关于的函数关系式满足（其中，，），求摩天轮转动一周的解析式；(2)游客甲坐上摩天轮后多长时间，距离地面的高度第一次恰好达到米?(3)若游客乙在游客甲之后进入座舱，且中间间隔个座舱，游客乙进入座舱后距离地面高度能否超过游客甲，若能，是在甲进入后的多少分钟以后?22．在锐角△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，设向量，，且.(1)求证：(2)求的取值范围.1．B【分析】先将集合和集合化简，再利用集合的交集运算可得答案.【详解】，即，由指数函数的单调性可得，，，由，解得，，.故选：B.2．C【分析】首先化简，再求的虚部.【详解】由题意可知，，所以的虚部为.故选：C3．C【分析】根据线线，线面，面面的位置关系，即可判断选项.【详解】A.若，，，则与相交，平行，故A错误；B.若，，则或，故B错误；C.若，，则，且，则，故C正确；D.若，，，但没注明，所以与不一定垂直，故D错误.故选：C4．A【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】.故选：A5．B【分析】首先求，再求投影向量.【详解】，∴投影向量为．故选：B6．C【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解.【详解】∵满足对任意，都有成立，∴在上是减函数，，解得，∴a的取值范围是.故选：C．7．D【分析】根据中位数，众数和极差的定义举例即可判断AB，根据平均数和方差的定义利用反证法即可判断C，根据百分位数和平均数的定义利用反证法即可判断D.【详解】解：对于A，中位数为4，众数为4，则这5个数可以为，故A不符题意；对于B，中位数为3，极差为4，则这5个数可以是，故B不符题意；对于C，平均数为3，方差为2，设这5个数分别为，则，，若取，则，则，所以，所以这四个数可以为与，这与矛盾，所以6不存在，故C不符题意；对于D，按从小到大的顺序设这5个数为，因为，所以第25百分位数为5个数中从小到大排列的第二个数，又第25百分位数为2，所以，因为平均数为4，所以，则，若三个数都不是6，则，这与矛盾，故三个数一定会出现6，故D符合题意.故选：D.8．B【分析】首先根据向量的运算，以及向量模的几何意义，确定，再结合向量模的计算公式，以及面积公式，即可求解.【详解】∵，故点B到直线AC的最短距离为BC，∴．∵，，∴由勾股定理可得，故面积，故面积的最大值为．故选：B9．ACD【分析】对于A，由条形图有变化进行判断即可；对于B，先对这9年的增速排列，找到第5个数就是中位数；对于C，求出极差进行判断；对于D，从条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，从而可得平均数超过210亿件．【详解】由条形图可知，这9年我国快递业务量逐年增加，故A正确；将各年我国快递业务量同比增速按从小到大排列得：25.3%，26.6%，28.0%，30.5%，48.8%，51.4%，51.9%，54.8%，61.6%，故中位数为第5个数48.8%，故B错误；这9年我国快递业务量同比增速的极差为，故C正确；由条形图可知，自2016年起，各年的快递业务量远超过210亿件，故快递业务量的平均数超过210亿件，故D正确．故选：ACD．10．BD【分析】对A，如果，那么，命题不成立；对B，使用基本不等式得，即可得的最大值；对C，函数，当且仅当时取等号，此时无解；对D，根据题意构造，将“1”替换为，代入用基本不等式求解.【详解】对于A，如果，那么，最小值是2不成立，故A错误；对于B，如果，，，则，整理得，解得，当且仅当，时取等号，所以的最大值为3，故B正确；对于C，函数，当且仅当时取等号，此时x无解，故不能取得最小值2，故C错误；对于D，如果，，且，那么，当且仅当，时取等号，故D正确．故选：BD.11．ABC【分析】对A，根据向量平行的性质与数量积的运算判断即可；对B，根据平行四边形法则，结合单位向量的方法可得是以为直角的等腰直角三角形，进而判断；对C，根据、、三点共线，设，将替换为后与已知式子对比，用t表示，根据二次函数性质即可判断；对D，根据基底向量的性质结合平行四边形法则判断即可【详解】对A，若存在负数，使得，则成立；当时，可能夹角为钝角，不满足，故A正确；对B，由，结合平行四边形法则，可得与同向的单位向量和与同向的单位向量，和与同向的单位向量构成正方形的两边与对角线.故，且为的角平分线.又是边的中点，由三角形三线合一可得是以为直角的等腰直角三角形.故在的投影向量是.故B正确；对C，如图所示：∵在上，即、、三点共线，则可设，又∵，∴，∵，则，，令，时，取得最大值为，故C正确对D，已知平面内的一组基底，，则向量，为以，为边的平行四边形的两条对角线，故，一定不共线，故能作为一组基底，故D错误；故选：ABC12．ABD【分析】对于A，根据题意直接计算四面体的体积和表面积，对于B，可证得的长度就是点到平面的距离，然后根据题意求解，对于C，由正方体的性质可证得平面，从而可判断，对于D，取的中点，连接，，，，可得等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，从而可求出其面积.【详解】对于A，因为正方体的棱长为1，所以四面体为，表面积为，所以四面体的体积与表面积的数值之比为，所以A正确，对于C，因为平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，又平面，所以，即异面直线与所成的角为，故C不正确；

对于B，根据证明的方法，同理可得，因为，平面，所以平面，则的长度就是点到平面的距离，显然为正三角形的中心，因为正方体的棱长为1，所以正三角形的边长为，所以，又，所以，即点到平面的距离为，故B正确；对于D，取的中点，连接，，，，因为∥，∥，，，所以∥，,因为，，所以，所以四边形为等腰梯形，所以等腰梯形就是过点，，的平面截该正方体所得截面，如图：

因为，，，所以等腰梯形的高为，所以等腰梯形的面积为，即过点，，的平面截该正方体所得截面的面积为，故D正确.故选：ABD.关键点点睛：此题考查几何体的体积和表面积的求法，考查点到面的距离的求法，考查求异面直线所成的角，考查正方体的截面问题，解题的关键是充分利用正方体的性质结合已知条件求解，考查空间想象能力，属于较难题.13．32【分析】根据方差的性质计算即可.【详解】若样本数据的方差为8，则数据的方差为，故3214．【分析】代入向量垂直的坐标表示公式，即可求解.【详解】由题意可知，，得.故15．【分析】根据题意，分别求两个函数的值域，再转化为子集问题，即可求解.【详解】若对任意的，总存在，使成立，只需在区间函数的值域为函数的值域的子集，因为函数，所以函数在上单调递减，所以函数的值域为．对函数，．①当时，为常数，不符合题意，舍去；②当时，的值域为，此时只需，解得；③当时，的值域为，不符合题意，舍去．综上，m的取值范围为．故16．【分析】由题意，再根据正弦函数的单调区间，列出区间端点满足的不等式求解即可.【详解】，因为，函数在上单调递减，所以，得．当时，，所以，解得．故17．(1)(2)【分析】（1）根据百分数的定义，结合频率分布直方图可得答案；（2）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有6人，女生有人，按照比例抽样，利用古典概型可解.【详解】（1）设女生一周阅读时间的分位数为a，，解得；（2）由频数分布表，频率分布直方图知，一周课外阅读时间为的学生中男生有6人，女生有（人），若从中按比例分别抽取7人，则男生有2人，记为，，女生有5人，记为，，，，，则样本空间，共有21个样本点．记事件A＝“恰好一男一女”，则包含10个样本点，故所求概率．18．(1)最大值，最小值－1(2)【分析】（1）根据同角基本关系式及倍角公式，辅助角公式进行化简，再利用正弦函数的性质求得答案；（2）由已知结合平方关系求得，将，结合两角和的余弦公式化简得出答案.【详解】（1），，∴，∴时，即时，取得最大值；时，即时，取得最小值－1．（2）因为，所以，又，所以．因为，所以，所以．19．(1)证明见解析(2)6；【分析】（1）根据线线平行，转化为证明平面平面ABF，即可证明；（2）首先根据四棱锥的体积，求棱长，再根据面面垂直的性质定理求四面体ABEF的高，再代入体积公式，即可求解.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是菱形，所以，,且平面，平面，平面，平面，所以平面DCE，平面DCE，又AB，AF是平面ABF内的两条相交直线，∴平面平面ABF，又平面DCE，∴平面ABF．（2）连接BD，与AC交于点O，连接EO，则O为AC，BD的中点，∵四边形ACEF是菱形，，∴是正三角形，∴，∵平面平面ACEF，且交线为AC，平面ACEF，∴平面ABCD，同理，得平面ACEF，设正方形ABCD的边长为a，则，，∴，解得，∴，四面体ABEF在面AEF上的高为，四面体ABEF的体积为：．.20．(1)(2)(3)【分析】（1）根据奇函数的定义即可化简求解，（2）利用换元法以及二次函数的性质即可求解最值，（3）利用对勾函数的单调性，分别利用函数单调性求解，的最值即可求解.【详解】（1）因为为奇函数，所以对定义域内的，有恒成立，即，即，解得，经检验，不合题意，故；（2）由（1）得，令，由，所以，则，其对称轴为，当时，，当时，，所以值域为，又因为函数存在零点，等价于方程有解，所以实数的取值范圆是；（3）由已知，在上恒成立，即在上恒成立，化简得在上恒成立，所以，设，因为，即得，记，，易得在上单调递增，所以，由于当且仅当时取等号，由于，故根据对勾函数的性质可知在上单调递减，故，因此实数的取值范围是.21．(1)，(2)分钟(