09电磁感应-习题课

第十

章电磁感应§10.1法拉第电磁感应定律§10.2动生电动势§10.3感生电动势和感生电场§10.4互感§10.5自感§10.6磁场的能量§10.1法拉第电磁感应定律

（1）定律内容：

感应电动势的大小和通过导体回路的磁通量的变化率成正比。即ℰi（2）感应电流（3）感应电量§10.2动生电动势（motionalemf）1.运动的导线

ab-ℰℰdℰℰ2.转动的线圈θω（转轴⊥，位置随意）ℰ以与夹角为φ时为计时零点：ℰ§10-3感生电动势和感生电场（Inducedemfandinducedelectricfield）1.感生电动势：

变化→ℰ感和I感2.Maxwell涡旋电场假说①随时间变化的磁场在其周围激发的电场叫感生电场，也叫涡旋电场。涡旋电场场强。对闭合回路L：ℰi②即使没有任何导体存在，只要磁场随时间变化，这种电场总是存在的。且：3.涡旋电场与变化磁场的关系“-”号表示线与成左螺关系！4.一般电场的环流定理四、互感（mutualinductance）1.互感现象与互感电动势2.互感系数定义ℰ21ℰ12M值取决于两线圈的形状、大小、匝数、相对位置及周围磁介质的情况，与电流无关。对于两个固定的回路，互感系数是一个常数。3.SI制中M的单位：五、自感（self-inductance）1.自感现象与自感电动势ℰL2.自感系数（又叫电感）ℰLℰLL取决于线圈的形状、大小、匝数及周围磁介质的情况，与电流无关。ℰL的方向总是要使它阻碍回路本身电流的变化。1.自感线圈的磁能：适用于自感一定的任意线圈2.磁能密度wm：单位体积的磁能（普适）3.任意磁场的能量计算公式为六、磁场的能量10.1在通有电流I＝5A的长直导线近旁有一导线段ab，长l＝20cm，离长直导线距离d=10cm，如图。当它沿平行于长直导线的方向以速度υ=10m/s平移时，导线段中的感应电动势多大？a，b哪端的电势高？Iabdl解：如图10.1所示rdrℰabℰ由于ℰab

<0，所以a端电势高。10.3长直导线中通有电流I＝5.0A，另一矩形线圈共1×103匝，宽a＝10cm，长L=20cm，以υ＝2m/s的速度向右平动，求当d＝10cm时线圈内的感应电动势。IdaL解：线圈向右平移时，上下两边不产生动生电动势。左右两边动生电动势如图。ℰ1ℰ2因此，整个线圈内的感应电动势为ℰ=

ℰ1-

ℰ2

10.4上题中若线圈不动，而长导线中通有交电流i=5sin100πtA，线圈内的感生电动势将为多大？idaL解：通过线圈的磁链为ℰ10.5在半径为R的圆柱形体积内，充满磁感应强度为B的均匀磁场。有一长为L的金属棒放在磁场中，如图。设磁场在增强，并且已知，求棒中的感生电动势，并指出哪端电势高。

o●abRL解：如图，考虑△oba。以S表示其面积，则通过S

的磁通量：Φ＝BS。当磁通变化时，感应电场的电场线为圆心在o的同心圆。由法拉第电磁感应定律可得=0+ℰab

+0=ℰab由此得ℰab由于所以ℰab

<0，因而b端电势高。

o●abRL另一解法：直接对感应电场积分。在棒上dl处的rθ感应电场的大小为方向如图所示。ℰab10.14一圆环形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4.0cm2，放在另一个匝数等于100匝，半径为20.0cm的圆环形线圈b的中心，两线圈同轴。求：（1）两线圈的互感系数；（3）线圈b的感生电动势。（2）当线圈a中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈b内磁通量的变化率；ab●R解：（1）线圈b通电流Ib时，由于线圈a的半径较线圈b的半径甚小，所以可近似求得线圈a通过的磁链为：由此得：ab●R=20.0cm（2）（3）ℰba10.16一长直螺线管的导线中通入10.0A的恒定电流时，通过每匝线圈的磁能量是20μWb；当电流以4.0A/s的速率变化时，产生的自感电动势为3.2mV。求此螺线管的自感系数与总匝数。解：又（匝）ℰL10.13（略）习题集（磁学）一、选择题：12

（P149）一导体圆线圈在均匀磁场中运动，能使其中产生感应电流的一种情况是:[]（A）线圈绕自身直径轴转动，轴与磁场方向平行。（B）线圈绕自身直径轴转动，轴与磁场方向垂直。（C）线圈平面垂直于磁场并沿垂直磁场方向平移。（D）线圈平面平行于磁场并沿垂直磁场方向平移。解：（A）B（B）（C）（D）13

（P149）尺寸相同的铁环与铜环所包围的面积中，通以相同变化率的磁通量，环中：[]（A）感应电动势不同。（B）感应电动势相同，感应电流相同。（C）感应电动势不同，感应电流相同。（D）感应电动势相同，感应电流不同。解：Dℰiℰi14（P149）如图所示，一矩形金属线框，以速度从无场空间进入一均匀磁场中，然后又从磁场中出来，到无声空间中。不计线圈的自感，下面哪一条图线正确地表示了线圈中感应电流对时间的函数关系？（从线圈刚进入磁场时刻开始计时，I以顺时针方向为正）：[]

解：线圈刚进入磁场到全部进入磁场的过程及线圈刚从磁场区进入无场空间的过程才有感应电动势，

且ℰi

=BLυ。感应电流为：ℰiIto进入磁场过程逆时针方向；进入无场过程顺时针方向。C15（P149）对于单匝线圈取自感系数的定义式为L＝Φ/I。当线圈的几何形状、大小及周围磁介质分布不变，且无铁磁性物质时，若线圈中的电流强度变小，则线圈的自感系数L：[]（A）变大，与电流成反比关系。（B）变小。（C）不变。（D）变大，但与电流不成反比关系。解：线圈的自感系数取决于线圈的形状、大小、匝数及周围磁介质的情况，与电流无关。C16（P149）在真空中一个能这有电流的线圈a所产生的磁场内有另一线圈b，a和b相对位置固定。则线圈b与a间的互感系数：[]（A）一定为零。（B）一定不为零。（C）可以不为零。（D）是不可能确定的。解：两线圈a和b的互感系数取决于两线圈的相对位置、形状、大小、匝数及周围磁介质的情况，与电流无关。给定的两线圈a、b

相对位置固定时，其互感系数M为确定的常数，且可以为零。也可以不为零。C17（P149）已知圆环式螺线管的自感为L。若将该螺线管锯成两个半环式螺线管，则它们的自感：[]（A）都等于L/2

。（B）一个大于L/2

，一个小于L/2

。（C）都大于L/2

。（D）都小于L/2

。解：逆向考虑——设两半环式螺线管自感为L´，它们顺接串联成为一个自感为L的圆环式螺线管，则（M为两半环式螺线管之间的互感）。D18（P150）如图，一导体棒ab在均匀磁场中沿金属导轨向右作匀加速运动，磁场方向垂直导轨所在平面。若导轨电阻忽略不计，并设铁芯磁导率为常数，则达到稳定后的电容器的M极板上：[]（A）带有一定量的正电荷；（B）带有一定量的负电荷；（C）带有越来越多的正电荷；（D）带有越来越多的负电荷。abM×××××××××N铁芯解：线圈1所在回路：12ℰ1方向如图。ℰ1I1I1在线圈2中引起的磁链方向如图，磁链增加，线圈2中感应电流I2方向如图。I2线圈2中的感应电动势大小为：ℰ2为定值，与I2方向一致。ℰ2MN+两板间U=ℰ2时稳定，M板带一定量负电荷。B解：距导线为a处：则该处的磁能密度为：B19（P150）真空中一根无限长直细导线上通有电流强度为I电流，则距导线垂直距离为a的空间某点处的磁能密度为：[]（A）

；（B）

；（C）；（D）。20（P150）电位移矢量的时间变化率的单位是:[]（A）库仑/米2；（B）库仑/秒；（C）安培/米2；（D）安培·米2。C解：在感应电场中，闭合导体回路中的感应电动势为：这说明，感应电场不是保守力场；在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念。D21在感应电场中电磁感应定律可写成，式中为感应电场的电场强度。此式表明：[]（A）闭合曲线l上处处相等；（B）感应电场是保守力场；（C）感应电场的电力线不是闭合曲线；（D）在感应电场中不能像对静电场那样引入电势的概念。ℰ1=但并不能说明，闭合曲线L上处处相等；也不能说明，感应电场的电力线不是闭合曲线。22用导线围成如图所示的回路（以o点为心的圆，加一直径），放在轴线通过o点垂直于图面的圆柱形均匀磁场中，如磁场方向垂直图面向里，其大小随时间减小，则感应电流的流向为：[]

o●●●解：依题意知，：⊙线…同心圆，与成左螺！顺时针。直径上：ℰ1=圆环上：ℰ2=由楞次定律判断，ℰ2的方向为顺时针。I1I1B方法2：把题中回路看成图示两个回路合并而成，则不难选出答案。二、填空题：

19（P154）桌子上水平放置一个半径r=10cm的金属圆环，其电阻R=1Ω。若地球磁场磁感应强度的竖直分量为5×10－5

T。那么将环面翻转一次，沿环面流过任一横截面的电量q＝

。解：将环面翻转，穿过环面的磁通量变号，LL则通过环面的磁通量增量为：20半径为a的无限长密绕螺线管，单位长度上的匝数为n，通以交变电流i=Im

sinωt，则围在管外的同轴圆形回路（半径为r）上的感生电动势为：

。inra解：管内通过圆形回路的磁通量∴ℰi解：回路绕ab边匀角速度ω旋转时ℰac21一直角三角形abc回路放在一磁感应强度为的均匀磁场中，磁场的方向与直角边ab

平行，回路绕ab边以匀角速度ω旋转，则ac边中的动生电动势为：

，整个回路产生的动生电动势为

。Rlabcω300ℰ回路=0。022有一根无限长直导线绝缘地紧贴在矩形线圈的中心轴oo´上，则直导线与矩形圈间的互感系数为

。解：设长直导线中电流为I，通过矩形圈的磁通量为0，则0o´o23一自感线圈中，电流强度在0.002s内均匀地由10A增加到12A，此过程中线圏内自感电动热为400V，则线圈的自感系数为L＝

。解：∵ℰL0.400HℰLℰL24位于空气中的长为l，横截面半径a，用N匝导线绕成的直螺线管，当符合

和

的条件时，其自感系数可表成L=μ0(N/l)2V，其中V是螺线管的体积。l>>a细导线均匀密绕25一个中空的螺绕环上每厘米绕有20匝导线，当通以电流I＝3A时，环中磁场能量密度we=

。（μ0=4π×10－7N/A2）。解：中空的螺绕环内环中磁场能量密度26真空中一根无限长直导线中流有电流强度为I的电流，则距导线垂直距离为a

的某点的磁能密度we=

。解：距导线垂直距离为a的空间某点处的磁感强度为：则该点处的磁能密度为：27无限长密绕直螺线管通以电流I，内部充满均匀、各向同性的磁介质，磁导率为μ。管上单位长度绕有n匝导线，则管内部的磁感应强度为

，内部的磁能密度为

。解：无限长密绕螺线管内磁感强度为：内部的的磁能密度为：28有两个长度相同，匝数相同，截面积不同的长直螺线管，通以相同大小的电流。现在将小螺线管完全放入大螺线管里（两者轴线重合），且使两者产生的磁场方向一致，则小螺线管内的磁能密度是原来的

倍；若使两螺线管产生的磁场方向相反，则小螺线管中的磁能密度为

（忽略边缘效应）。管内二者产生的磁场方向一致时小螺线管内：解：二者产生的磁场方向相反时小螺线管内：29写出麦克斯韦议程组的积分形式：

，

，

，

。¨¨（1）¨¨（2）¨¨（3）¨¨（4）电磁波能流密度矢量30坡印廷矢量的物理意义是：

；其定义式为

。31反映电磁场基本性质和规律的积分形式的麦克斯韦方程组为：①②③④试判断下列结论是包含于或等效于哪一个麦克斯韦方程式的，将你确定的方程式用代号填在相应结论后的空白处。（1）变化的磁场一定伴随有电场；

；②（2）磁感应线是无头无尾的；

；③（3）电荷总伴随有电场。

。①32在没有自由电荷与传导电流的变化电磁场中：

；

；

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圆形平板电容器，从q=0开始充电，试画出充电过程中，极板间某点P处电场强度和磁场强度的方向。•Pi解：++++----全电流连续；位移电流在磁效应方面与传导电流相同。

N1组线通电流I1后，通过N2的磁链数为解：10.13一个长l、截面半径为R的圆柱形纸筒上均匀密绕有两组线圈。一组的总匝数为N1，另一组的总匝数为N2。求筒内为空气时两组线圈的互感系数。

10.15半径为2.0cm的螺线管，长30.0cm，上面均匀密绕1200匝线圈，线圈内为空气。（1）求这螺线管中自感多大？（2）如果在螺线管中电流以3.0×102A/s的速度改变，在线圈中产生的自感电动势多大？解：（1）（2）ℰ10.17如图10.5所示的截面为矩形的螺绕环，总匝数为N。（1）求此螺绕环的自感系数；解（2）沿环轴线拉一根直导线。求直导线与螺绕环的互感系数M12和M21，二者是否相等？（1）可求得电流为I时通过环截面积的磁通量。因此自感系数为（2）直导线可以认为在无限远处闭合，匝数为1。螺绕通过电流I1时，通过螺绕环截面的磁通量也就是通过直导线回路的磁链。因此当直导线通有电流I2时，其周围的磁场为通过螺绕环截面积的磁通量为比较两个结果得10.19两个平面线圈，圆心重合地放在一起，但轴线正交。二者的自感系数分别为L1和L2，以L表示二者相连结时的等效自感，试证明：（1）两线圈串联时，（2）两线圈并联时证（1）当两线圈串联时，。将代入即可得应当注意，上述分析只考试了两个线圈的自感，而没有考虑它们的相互影响－－互感。由于两线圈平面相互垂直，各自产生的磁通量并不会通过对方围绕的面积，因而自然也就不会有互感了。和10.20两线圈的自感分别为L1和L2，它们之间的互感为M（图10.6）。（1）当二者顺串联，即2,3端相连，1，4端接入电路时，证明二者的等效自感为L＝L1＋L2＋2M；证（1）由于二者顺串联，所以当电流通过时，此一线圈自身产生的磁通量的方向相同。因而通过两线圈的总磁链数由于Ψ＝LI，Ψ1＝L1I1，Ψ2＝L2I2，Ψ21＝MI，而且有I＝I1＝I2。将这些都代入上面的磁链关系式即可得（2）当二者反串联时，此一线圈产生的通过另一线圈的磁通量的方向将和另一线圈自身产生的磁通量的方向相反，而上述磁链关系式中的Ψ21和Ψ12前应改为负号。这样，仍利用上面的磁链数和自感系数或互感系数的关系，就可得到10.22实验室中一般可获得的强磁场约为2.0T，强电场约为1×106V/m。求相应的磁场能量密度和电场能量密度多大？哪种场更有利于储存能量？解：两者相比，磁场更有利于储存能量。10.24一长直的铜导线截面半径为5.5mm，通有电流20A。求导线外贴近表面处的电场能量密度和磁场能量密度各是多少？铜的电阻率为1.69×10－8Ω·m。解由于导线表面内外切向电场连续，所以