重庆市南华中学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试卷（含答案）

重庆市南华中学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．5的相反数是(

)A． B． C． D．2．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．估算的值应在（

）A．4和5之间 B．3和4之间C．2和3之间 D．1和2之间4．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（

）A．0 B．3 C．6 D．95．如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（）A． B． C． D．6．如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（

）A． B． C． D．7．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（

）

A．32 B．34 C．37 D．418．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．9．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（

）

A． B． C． D．10．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；③满足条件的整式共有16个．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．国内某大学芯片研究学院研发出了厚度约为0.000019米的芯片，用科学记数法表示数据0.000019应为________．12．如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______．13．如图，，若，则的度数为__________

14．如图，中，，，若点P的坐标为，点N的坐标为，则点M的坐标为___________．15．如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为________；的面积为________．16．对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是______；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为______．三、解答题17．（1）解方程（2）解不等式组，写出它的所有整数解．18．如图，在中，．(1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点F在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；(2)根据（1）中作图，若，证明：．证明：垂直平分，①________，，，，，．在和中，，．③________．在中，，，，即④________．．19．为增强学生的法律意识，某校举办了《法律知识知多少》测试，从该校七、八两个年级中各随机抽取10名学生的成绩，并对其成绩（单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息：七年级10名学生的成绩在组中的数据是：94

93

91

90八年级10名学生的成绩是：83

85

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100七、八年级抽取的学生成绩统计表年级平均数中位数众数七年级9189八年级9191根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中_____，_____，_____；(2)根据以上数据分析，你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)已知该校七年级有700人、八年级有900人参加了此次知识竞赛活动，请估计该校七、八两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的学生共有多少人？20．先化简，再求值：，其中．21．猕猴桃被誉为“维之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多千克，两种水果的总销售额为元．(1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？(2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了元的红心猕猴桃和元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？22．如图，在矩形中，，，点E为的中点，动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点A停止，点Q也以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点B停止．设运动时间为x秒，的面积为y．

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)若直线与y的图象有且只有一个交点，请直接写出m的取值范围________．23．如图，四边形是某城市的休闲步道，小明家在点处，点处是超市，点处是公园，点处是书店．经测量，点在的正南方向，点在的西南方向，点在的正西方向，米，米，点在点的北偏西方向上．(1)求步道的长度（精确到个位）；(2)周末，小明和父亲在公园处晨练，结束后两人同时步行回家，已知：小明速度为70米/分，沿的方向行走，小明父亲速度为100米/分，沿的方向行走，他们谁先到家？请说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：，）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．25．在中，，，点为线段上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．

1．D2．B3．B4．D5．B6．C7．C8．A9．C10．D11．12．1213．14．15．/150度/16．9876711417．解：（1），∴，即，解得：；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为：，它的所有整数解为3．18．(1)如下图，即为所求作；（2）证明：垂直平分，，，，，，．在和中，，．．在中，，，，即．．19．（1）解：根据题意得：，即；∵七年级A组的人数为，在组中的数据是：94

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90，所以位于第5位和第6位的两个数分别为90，91，∴中位数∵八年级10名学生的成绩中，91出现的次数最多，∴众数；故答案为：30；；91(2)解：此次竞赛中，对法律知识的掌握情况更好的是八年级．理由如下：因为两个年级的平均数均相同，都是91，且八年级的众数91大于七年级的众数89，八年级的中位数91大于七年级的中位数，所以八年级更好；（3）解：人，即该校七、八两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的学生共有1050人．20．解：，∵，将代入，得原式．21．（1）解：设第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克，根据题意得：，解得：，答：第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克．（2）解：设第二周黄心猕猴桃的进价为元，则红心猕猴桃的进价为元，根据题意得：，整理得：，解得：，经检验是所列方程的解，答：第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克7元．22．（1）当时，；当时，，∴y关于x的函数关系式为；(2)画出函数图象如下，函数y的一条性质：当时，y随x的增大而增大；当，y随x的增大而减小；（3）把代入得，，解得，把代入得，，解得，把代入得，，解得，∴若直线与y的图象有且只有一个交点，m的取值范围是或．故答案为：或．23．（1）过点作于点，过点作于点（如答图）．在中，，（米）．在四边形中，，四边形是矩形，（米），（米）．在中，，（米）．答：的长度为566米．(2)小明爸爸先到家，理由：根据题意，得，，，．则（米），（分），（米），（分），小明爸爸先到家．24．（1）解：将点，代入得：，解得：，∴该抛物线的函数表达式为：；（2）如图，设交于，∵，，∴OA＝OB＝4，∴，∵PC∥OB，PD∥OA，∴，，∴，设直线AB的解析式为，则，解得：，∴直线AB的解析式为，设，则，，∴，∴当时，取得最大值，此时；（3）由题意得：平移后抛物线解析式为，，∴，∵抛物线的对称轴为，∴设，，分情况讨论：①当为对角线时，则，解得：，此时，∴；②当为对角线时，则，即，此时，∴；③当为对角线时，则，即，此时，∴，综上所述，点的坐标为：，，．25．(1)（1）解：在中，，，∴，∵，∴；(2)证明：如图所示，延长使得，连接，∵是的中点则，，，∴，∴，∴，∴∵是等边三角形，∴，∵，∴四点共圆，∴，，∴，∵，∴，∴，∴；（3）解：如图所示，

在取得最小值的条件下，即，设，则，，∴，，∵将沿所在直线翻折至所在平面内得到．∴∴点在以为圆心，为半径的圆上运动，取的中点，连接，则是的中位线，∴在半径为的上运动，当取最大值时，即三点共线时，此时如图，过点作于点，过点作于点，

∵是的中点，∴，∴是等边三角形，则，∴，∵，，∴，∴，，∵，∴，如图所示，连接，交于点，则四边形是矩形，

∴，是的中点，∴即是的中位线，同理可得是的中位线，∴，∵是等边三角形，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，∴∴则在中，∴．

重庆市南华中学校2025-2026学年九年级上学期第一次月考数学试题一、单选题1．5的相反数是(

)A． B． C． D．2．纹样是中国文化的瑰宝，以下纹样既是轴对称图形又是中心对称图形的是（

）A． B． C． D．3．估算的值应在（

）A．4和5之间 B．3和4之间C．2和3之间 D．1和2之间4．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为（

）A．0 B．3 C．6 D．95．如图，是的直径，，若，则圆周角的度数是（）A． B． C． D．6．如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为（

）A． B． C． D．7．用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（

）

A．32 B．34 C．37 D．418．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．9．如图，在正方形中，平分交于点，点是边上一点，连接，若，则的度数为（

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A． B． C． D．10．已知整式，其中为自然数，为正整数，且．下列说法：①满足条件的整式中有5个单项式；②不存在任何一个，使得满足条件的整式有且只有3个；③满足条件的整式共有16个．其中正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3二、填空题11．国内某大学芯片研究学院研发出了厚度约为0.000019米的芯片，用科学记数法表示数据0.000019应为________．12．如果一个正多边形的每一个外角都是，那么这个正多边形的边数为______．13．如图，，若，则的度数为__________

14．如图，中，，，若点P的坐标为，点N的坐标为，则点M的坐标为___________．15．如图，点是在等边三角形内一点．连结，，．将线段绕点逆时针旋转，得到线段．连接，，若，，，则的度数为________；的面积为________．16．对于一个四位正整数，若满足各数位上的数字互不相同，它的千位数字与个位数字之和等于百位数字与十位数字之和，称这个数为“开心数”．则最大的“开心数”是______；若“开心数”（，且均为整数），规定将的十位数字与百位数字之差记为，若正整数都是“开心数”，其中，（，，且都是整数），当能被3整除时，求满足条件的所有正整数的和为______．三、解答题17．（1）解方程（2）解不等式组，写出它的所有整数解．18．如图，在中，．(1)用尺规完成基本作图：作线段的垂直平分线交于点E，交于点D，在射线上截取线段（点F在的下方），使得，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；(2)根据（1）中作图，若，证明：．证明：垂直平分，①________，，，，，．在和中，，．③________．在中，，，，即④________．．19．为增强学生的法律意识，某校举办了《法律知识知多少》测试，从该校七、八两个年级中各随机抽取10名学生的成绩，并对其成绩（单位：分）进行整理、描述和分析（成绩得分用表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息：七年级10名学生的成绩在组中的数据是：94

93

91

90八年级10名学生的成绩是：83

85

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100七、八年级抽取的学生成绩统计表年级平均数中位数众数七年级9189八年级9191根据以上信息，解答下列问题：(1)上述图表中_____，_____，_____；(2)根据以上数据分析，你认为该校七年级和八年级中哪个年级学生掌握知识较好？请说明理由（写出一条理由即可）；(3)已知该校七年级有700人、八年级有900人参加了此次知识竞赛活动，请估计该校七、八两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的学生共有多少人？20．先化简，再求值：，其中．21．猕猴桃被誉为“维之王”，超市里红心猕猴桃与黄心猕猴桃两种水果很受欢迎，红心猕猴桃售价为每千克8元，黄心猕猴桃售价为每千克元，若第一周红心猕猴桃的销量比黄心猕猴桃的销量多千克，两种水果的总销售额为元．(1)求第一周销售红心猕猴桃和黄心猕猴桃分别多少千克？(2)该超市第二周继续销售这两种水果，第二周购进了元的红心猕猴桃和元的黄心猕猴桃，红心猕猴桃进价比黄心猕猴桃进价少3元，它们购进的数量相同，求第二周购进的黄心猕猴桃的进价是每千克多少元？22．如图，在矩形中，，，点E为的中点，动点P，Q同时从点E出发，点P以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点A停止，点Q也以每秒1个单位长度沿折线方向运动到点B停止．设运动时间为x秒，的面积为y．

(1)请直接写出y关于x的函数表达式并注明自变量x的取值范围；(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；(3)若直线与y的图象有且只有一个交点，请直接写出m的取值范围________．23．如图，四边形是某城市的休闲步道，小明家在点处，点处是超市，点处是公园，点处是书店．经测量，点在的正南方向，点在的西南方向，点在的正西方向，米，米，点在点的北偏西方向上．(1)求步道的长度（精确到个位）；(2)周末，小明和父亲在公园处晨练，结束后两人同时步行回家，已知：小明速度为70米/分，沿的方向行走，小明父亲速度为100米/分，沿的方向行走，他们谁先到家？请说明理由．（结果精确到0.1，参考数据：，）24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．(1)求该抛物线的函数表达式；(2)点是直线下方拋物线上的一动点，过点作轴的平行线交于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及此时点的坐标；(3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点为点的对应点，平移后的抛物线与轴交于点，为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．25．在中，，，点为线段上一动点，连接．

(1)如图1，若，，求线段的长．(2)如图2，以为边在上方作等边，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点．若，求证：．(3)在取得最小值的条件下，以为边在右侧作等边．点为所在直线上一点，将沿所在直线翻折至所在平面内得到．连接，点为的中点，连接，当取最大值时，连接，将沿所在直线翻折至所在平面内得到，请直接写出此时的值．

1．D2．B3．B4．D5．B6．C7．C8．A9．C10．D11．12．1213．14．15．/150度/16．9876711417．解：（1），∴，即，解得：；（2）解不等式①得：，解不等式②得：，∴原不等式组的解集为：，它的所有整数解为3．18．(1)如下图，即为所求作；（2）证明：垂直平分，，，，，，．在和中，，．．在中，，，，即．．19．（1）解：根据题意得：，即；∵七年级A组的人数为，在组中的数据是：94

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90，所以位于第5位和第6位的两个数分别为90，91，∴中位数∵八年级10名学生的成绩中，91出现的次数最多，∴众数；故答案为：30；；91(2)解：此次竞赛中，对法律知识的掌握情况更好的是八年级．理由如下：因为两个年级的平均数均相同，都是91，且八年级的众数91大于七年级的众数89，八年级的中位数91大于七年级的中位数，所以八年级更好；（3）解：人，即该校七、八两个年级参加竞赛活动的成绩不低于90分的学生共有1050人．20．解：，∵，将代入，得原式．21．（1）解：设第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克，根据题意得：，解得：，答：第一周销售红心猕猴桃千克，黄心猕猴桃千克．（2）解：设第二周黄心猕猴桃的进价为元，则红心猕猴桃的进价为元，根据题意得：，整理得：，解得：，经检验是所列方程的解，答：第二周购进的黄心猕