专题11等差数列等比数列（学生版）

专题11等差数列、等比数列数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型的基本工具,在日常生活中也有着广泛的应用。本单元的学习,可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律；能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，通过代数运算掌握数列的项与项之间确定的关系，了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的完整性。——合肥八中中学一级教师关数列是一类特殊的函数，是数学重要的研究对象，是研究其他类型的基本工具,在日常生活中也有着广泛的应用。本单元的学习,可以帮助学生通过对日常生活中实际问题的分析，了解数列的概念；探索并掌握等差数列和等比数列的变化规律；能运用等差数列、等比数列解决简单的实际问题和数学问题，通过代数运算掌握数列的项与项之间确定的关系，了解等差数列与一元一次函数、等比数列与指数函数的联系，感受数列与函数的共性与差异，体会数学的完整性。——合肥八中中学一级教师关良玲——高级教师探究1：等差、等比数列的判定与证明【典例剖析】例1.(2022·安徽省合肥市模拟)已知数列an的前n项和为Sn，若2Sa2022=4048，则aA.-8 B.-3 C.-2 D.8选题意图:选题意图:等比数列在用定义法判定时，要特别关注新首项的值，在保证首项不为零以后，才能证明数列为等比数列.思维引导：题干中的和与项的关系式，消去Sn得到递推关系，注意n的取值范围，从而构造出从第二项起公比为1的等比数列，表示出通项公式【变式训练】练11(2022·湖南省衡阳市一模)在单调递增数列{an}中，已知a1=1，a2=2，且a2n-1，a2n，a2n+1成等比数列，a2n，练12(2021·江苏省南京市模拟)设非常数数列{an}满足an+2=αan+1+βanα+β，n∈N*，其中常数α，β均为非零实数，且α+β≠0．

(1)证明：数列{an}为等差数列的充要条件是α+2β=0；

(2)【规律方法】1．等差数列的四个判定方法(1)定义法：an+1－an(2)等差中项法：2an＋(3)通项公式法：an＝pn＋q(p，(4)前n项和公式法：Sn＝An2+Bn(2．等比数列的四个判定方法(1)定义法：eq\f(an＋1,an)＝(2)等比中项法：aeq\o\al(2,n＋1)＝(3)通项公式法：an＝cqn(c，(4)前n项和公式法：Sn＝k·qn－注意：(1)定义法和等比中项法主要适合在解答题中使用，通项公式法和前n项和公式法主要适合在选择题或填空题中使用．(2)若要判定一个数列不是等差（比）数列，则只需判定存在连续三项不成等差（比）数列即可．探究2：等差、等比数列的性质应用【典例剖析】例2.(2022·山东省菏泽市一模)已知等比数列{an}各项均为正数，且满足：0<a1<1，a17a18+1<aA.36 B.35 C.34 D.33选题意图：选题意图：高考对于等差数列、等比数列性质的考查是热点，且具有“新、巧、活”的特点，要熟记性质，从而建立相关关系，优化过程.思维引导：本题是数列性质与基本不等式相结合考查，利用不等式a17a18+1<a17+a18得出a17<a【变式训练】练21(2021·四川省攀枝花市联考)正项等比数列an中的a1,a4031是函数fA.1 B.2 C.2 D.-1练22(2021·湖北省部分重点中学高三期末)设等比数列{an}的前n项和为Sn，首项a1=1，且2S2+S4=3S3，已知m，n∈N*A.16 B.12 C.8 D.6【规律方法】已知为等差数列，为公差，为该数列的前项和．(1)等差数列中，当时，()．特别地，若，则()．(2)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即，，，…仍是等差数列，公差为()．(3)也成等差数列，其首项与首项相同，公差为.(4)，，…也成等差数列，公差为.（5）若数列,均为等差数列且其前项和分别为,,则设数列是等比数列，是其前项和．(1)若，则，其中.特别地，若，则，其中.(2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即，，，…仍是等比数列，公比为()．(3)若数列，是两个项数相同的等比数列，则数列，和(其中，，是非零常数)也是等比数列．探究3：等差、等比数列与其它知识的综合应用【典例剖析】例3.(2022·安徽省蚌埠市模拟)已知函数f(x)=e-x-ex，若函数h(x)=fx-4+x，则(1)函数h(x)的图象的对称中心为

h(a1)选题意图：选题意图：数列经常与函数、基本不等式等内容结合考查，本题是数列与函数的结合，考查等差数列的性质与函数的对称性，考查学生的逻辑推理能力，运算求解能力，及分析问题解决问题的能力.思维引导：函数hx的对称中心为4,4，结合等差数列的性质得出a1+a11【变式训练】练31(2022·辽宁省沈阳市联考·多选)记数列{an}的前n项和为Sn，已知Sn=an2-4an+b，在数集{-1,0,1}中随机抽取一个数作为a，在数集A.{an}是等差数列的概率为13 B.{an}是递增数列的概率为29练32(2022·湖北省武汉市联考)设n∈N*，圆Cn：x2+y2=Rn2(Rn>0)与y轴正半轴的交点为Pn，与曲线y=x的交点为Qn【规律方法】等差数列与等比数列作为两种基本的数列,是高考中数列考查的重点，考查的形式主要有等差数列、等比数列的实际应用以及等差数列、等比数列与其他知识的综合，及创新性问题.不管如何考查，都应从最基本的概念的角度出发理解数列问题，从数列问题的本质出发思考问题，从研究数列的一般方法出发解决问题.1.关注两种基本方法:研究等差数列、等比数列