高考数学一轮复习讲义空间向量的应用学生

课题：空间向量的应用知识点1．空间直角坐标系以及空间向量的坐标运算空间直角坐标系及有关概念（1）空间直角坐标系：以空间一点O为原点，建立三条两两垂直的数轴：x轴，y轴，z轴．这时建立了一个空间直角坐标系Oxyz，其中点O叫做坐标原点，x轴，y轴，z轴统称坐标轴．由每两个坐标轴确定的平面叫做坐标平面．（2）右手直角坐标系的含义：当右手拇指指向x轴的正方向，食指指出y轴的正方向时，中指指向z轴的正方向．（3）空间一点M的坐标用有序实数组（x，y，z）来表示，记作M（x，y，z），其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．2．空间两点间的距离公式：设点A（x1，y1，z1），B（x2，y2，z2），则＝eq\r((x1－x2)2＋(y1－y2)2＋(z1－z2)2)．【注1】1．在空间适当选取三个不共面向量作为基向量，其它任意一向量都可用这一组基向量表示．2．中点向量公式，在解题时可以直接使用．3．证明空间任意三点共线的方法：对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线．（1）；（2）对空间任一点O，；（3）对空间任一点O，．4．证明空间四点共面的方法：对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面（1）；（2）对空间任一点O，；（3）对空间任一点O，；（4）∥（或∥或∥）．【注2】1．当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；2．当异面直线所成的角为时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算．应该注意的是，，所以3．立体几何中求线段的长度可以通过解三角形，也可依据|a|＝eq\r(a2)转化为向量求解．【注3】1．求向量的数量积的方法：（1）设向量a，b的夹角为θ，则a·b＝|a||b|cosθ；（2）若a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），则a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2．根据已知条件，准确选择上述两种方法，可简化计算．2．求向量模的方法：（1）a|＝eq\r(a2)；（2）若a＝（x，y，z），则|a|＝eq\r(x2＋y2＋z2)．3．空间向量的坐标运算（1）设i、j、k为两两垂直的单位向量，如果，则叫做向量的坐标．（2）设a＝（x1，y1，z1），b＝（x2，y2，z2），那么①a±b＝．②a·b＝，③cos〈a，b〉＝，④|a|＝eq\r(a·a)＝，⑤λa＝，⑥a∥b⇔（λ∈R），⑦a⊥b⇔．（3）设点M1（x1，y1，z1）、M2（x2，y2，z2），则【注4】1．两条异面直线所成的角①定义：设a，b是两条异面直线，过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，则a′与b′所夹的锐角或直角叫做a与b所成的角．②范围：两异面直线所成角θ的取值范围是．③向量求法：设直线a，b的方向向量为a，b，其夹角为φ，则有．2．直线与平面所成角：直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝eq\f(|e·n|,|e||n|)．3．二面角：求二面角的大小①如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．②如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小（或）．4．利用向量求空间距离：空间向量的坐标表示及运算（1）数量积的坐标运算设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则①a±b＝（a1±b1，a2±b2，a3±b3）；②λa＝（λa1，λa2，λa3）；③a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3．（2）共线与垂直的坐标表示：设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3（λ∈R），a⊥b⇔a·b＝0⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0（a，b均为非零向量）．（3）模、夹角和距离公式：设a＝（a1，a2，a3），b＝（b1，b2，b3），则|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))，cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3)))．设A（a1，b1，c1），B（a2，b2，c2），则．点面距的求法：如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝eq\f(|\o(AB,\s\up6(→))·n|,|n|)．【注5】1．求一对异面直线所成角：一是按定义平移转化为两相交直线的夹角；二是在异面直线上各取一向量，转化为两向量的夹角或其补角，无论哪种求法，都应注意角的范围的限定．2．利用直线的方向向量的夹角求异面直线的夹角时，注意区别：当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角．【注6】1．利用向量法求线面角的方法（1）分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角（或其补角）；（2）通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角（钝角时取其补角），取其余角就是斜线和平面所成的角．2．求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．3．点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础仍出于几何法，如本题，事实上，作BH⊥平面CMN于H．由eq\o(BH,\s\up6(→))＝eq\o(BM,\s\up6(→))＋eq\o(MH,\s\up6(→))及eq\o(BH,\s\up6(→))·n＝n·eq\o(BM,\s\up6(→))，得|eq\o(BH,\s\up6(→))·n|＝|n·eq\o(BM,\s\up6(→))|＝|eq\o(BH,\s\up6(→))|·|n|，所以|eq\o(BH,\s\up6(→))|＝eq\f(|n·\o(BM,\s\up6(→))|,|n|)，即d＝eq\f(|n·\o(BM,\s\up6(→))|,|n|)．4．用向量法求异面直线所成角的一般步骤（1）选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；（2）确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；（3）利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；（4）两异面直线所成角的余弦等于两向量夹角余弦值的绝对值．典型例题例1已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A．B．C．D．例2长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为（）A．eq\f(\r(10),10)B．eq\f(\r(30),10)C．eq\f(2\r(15),10)D．eq\f(3\r(10),10)例3如图，是以为直径的半圆上异于的点，矩形所在的平面垂直于半圆所在的平面，且。（1）求证：。（2）若异面直线和所成的角为，求平面和平面所成的锐二面角的余弦值。例4如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（1）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（2）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．例5如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝BC＝2eq\r(2)，PA＝PB＝PC＝AC＝4，O为AC的中点．（1）证明：PO⊥平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且二面角M－PA－C为30°，求PC与平面PAM所成角的正弦值．例6在如图所示的多面体中，四边形ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，ED⊥平面ABCD，∠ABD＝eq\f(π,6)，AB＝2AD．（1）求证：平面BDEF⊥平面ADE；（2）若ED＝BD，求直线AF与平面AEC所成角的正弦值．例7如图1，在高为6的等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝6，AB＝12，将它沿对称轴OO1折起，使平面ADO1O⊥平面BCO1O，如图2，点P为BC的中点，点E在线段AB上（不同于A，B两点），连接OE并延长至点Q，使AQ∥OB．（1）证明：OD⊥平面PAQ；（2）若BE＝2AE，求二面角C－BQ－A的余弦值．例8如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD＝∠CBD，AB＝BD．（1）证明：平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D－AE－C的余弦值．例9如图，四棱锥P－ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，∠BAD＝∠ABC＝90°，E是PD的中点．（1）证明：直线CE∥平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M－AB－D的余弦值．例10等边△ABC的边长为3，点D，E分别是AB，BC上的点，且满足eq\f(AD,DB)＝eq\f(CE,EA)＝eq\f(1,2)（如图（1）），将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1－DE－B成直二面角，连接A1B，A1C（如图（2））．（1）求证：A1D⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．例11如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，底面ABCD，M为线段PC的中点，，N为线段BC上的动点．（1）证明：平面平面（2）当点N在线段BC的何位置时，平面MND与平面PAB所成锐二面角的大小为30°？指出点N的位置，并说明理由．例12如图1，在边上为4的菱形中，，点，分别是边，的中点，，．沿将翻折到的位置，连接，，，得到如图2所示的五棱锥．（1）在翻折过程中是否总有平面平面？证明你的结论；（2）当四棱锥体积最大时，求直线和平面所成角的正弦值；（3）在（2）的条件下，在线段上是否存在一点，使得二面角余弦值的绝对值为？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由．例13如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为矩形，M为CD中点，连接BM，CE交于点F，G为△ABE的重心．（1）证明：平面ABC（2）已知平面ABC⊥BCDE，平面ACD⊥平面BCDE，BC=3，CD=6，当平面GCE与平面ADE所成锐二面角为60°时，求G到平面ADE的距离．例14如图，在三棱柱中，为等边三角形，四边形是边长为2的正方形，为中点，且．（1）求证：平面；（2）若点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值为，求点到平面的距离．举一反三1．如图，在三棱锥中，平面平面，与均为等腰直角三角形，且，．点是线段上的动点，若线段上存在点，使得异面直线与成的角，则线段长的取值范围是（）A．B．C．D．2．如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别是，的中点，那么异面直线和所成角的余弦值等于__________．3．如图，在正方体中，为的中点．（1）证明：平面AD1E（2）求直线到平面的距离；4．在四棱锥中，，平面平面．（1）证明：平面；（2）求二面角的正弦值．5．如图，四棱锥中，底面为矩形，平面，点在线段上．（1）若为的中点，证明：平面；（2）若，，若二面角的大小为，试求的值．6．如图在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值；（3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．7．如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB∥CD，AB＝BC＝CC1＝2CD，E为线段AB的中点，F是线段DD1上的动点．（1）求证：EF∥平面BCC1B1；（2）若∠BCD＝∠C1CD＝60°，且平面D1C1CD⊥平面ABCD，求平面BCC1B1与平面DC1B1所成角（锐角）的余弦值．8．如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截而得到的，其中AB＝4，BC＝2，CC1＝3，BE＝1．（1）求BF的长；（2）求点C到平面AEC1F的距离．9．如图，三棱台ABC－A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB＝2A1B1＝4A1A．（1）若eq\o(CD,\s\up6(→))＝2eq\o(DA1,\s\up6(→))，eq\o(AE,\s\up6(→))＝2eq\o(EB,\s\up6(→))，证明：DE∥平面BCC1B1；（2）若二面角C1－AA1－B为eq\f(π,3)，求平面A1B1BA与平面C1B1BC成的锐二面角的余弦值．10．如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD是平行四边形，PA⊥底面ABCD，PA＝3，AD＝2，AB＝4，∠ABC＝60°．（1）求证：BC⊥平面PAC；（2）E是侧棱PB上一点，记eq\f(PE,PB)＝λ（0<λ<1），是否存在实数λ，使平面ADE与平面PAD所成的二面角为60°？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．11．如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝2eq\r(2)，E为CD的中点，点F在线段PB上．（1）求证：AD⊥PC；（2）试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，平面PAD⊥底面ABCD，Q为AD的中点，M是棱PC上的点，PA＝PD＝2，BC＝eq\f(1,2)AD＝1，CD＝eq\r(3)．（1）求证：平面PBC⊥平面PQB；（2）当PM的长为何值时，平面QMB与平面PDC所成的锐二面角的大小为60°？13．如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l．（1）求证：l⊥平面PAC；（2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的长；若不存在，请说明理由．14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥平面ABCD，AB＝2，∠ABC＝60°，E，F分别是BC，PC的中点．（1）求证：AE⊥PD；（2）设H为线段PD上的动点，若线段EH长的最小值为eq\r(5)，求二面角E－AF－C的余弦值．课后练习1．点，分别是正方体的棱和棱的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为（）A．B．C．D．2．如图所示，在四棱锥中，四边形为菱形，为正三角形，且分别为的中点，平面，平面．（1）求证：平面；（2）求与平面所成角的正弦值．3．如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．4．如图，在斜三棱柱（侧棱不垂直于底面）ABC－A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，底面△ABC是边长为2的正三角形，A1A＝A1C，A1A⊥A1C．（1）求证：A1C1⊥B1C；（2）求二面角B1－A1C－C1的正弦值．5．如图，在三棱锥P－ABC中，D为棱PA上的任意一点，点F，G，H分别为所在棱的中点．（1）证明：BD∥平面FGH；（2）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝2，∠BAC＝45°，当二面角C－GF－H的平面角为eq\f(π,3)时，求棱PC的长．6．如图，在四棱锥E－ABCD中，底面ABCD是圆内接四边形，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝eq\r(3)，EC⊥BD．（1）求证：平面BED⊥平面ABCD；（2）若点P在平面ABE内运动，且DP∥平面BEC，求直线DP与平面ABE所成角的正弦值的最大值．7．如图所示，PA⊥平面ADE，B，C分别是AE，DE的中点，AE⊥AD，AD＝AE＝AP＝2．（1）求二面角A－PE－D的余弦值；（2）点Q是线段BP上的动点，当直线CQ与DP所成的角最小时，求线段BQ的长．8．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠ADC＝90°，AD∥BC，AB⊥AC，AB＝AC＝