2022届高考数学考前必做题及答案解析

2022年高考数学考前必做题

1.如图，在四棱柱A8C£>-4BiG£>i中，AM_L底面ABCQ,NBAC=90°.AD//BC.且

4/=A8=AZ)=2BC=2,点E在棱匕平面4EC与棱相交于点F.

(I)证明：AiF〃平面BiCE；

1AE

(II)棱AB上是否存在点E,使二面角Ai-EC-D的余弦值为若存在，求出「的

3AB

值；若不存在，说明理由.

(III)求三棱锥Bi-AiEF的体积的最大值.

【分析】(I)利用棱柱的性质以及面面平行的性质定理证明AiF〃EC,由线面平行的判

定定理证明即可：

(II)建立合适的空间直角坐标系，设E(Z,0,0),0WfW2,求出所需点的坐标和向

量的坐标，然后利用待定系数法求出平面A\EC的法向量，由向量的夹角公式列式求解

即可；

(IU)过点尸作FM_LAi8i于点M,由面面垂直的性质定理证明下“，平面A1A2B1，利

用等体积法/「公门=4-8送述，将问题转化为求解FM最大值，即可得到答案.

【解答】(I)证明：因为ABCD-481C1G为棱柱，

则平面A8CD〃平面AiBiCi。，

又平面ABCCn平面A\ECF=EC,平面AiBiCOiC平面A\ECF=A\F,

则A\F//EC,

又AiFC平面BiCE,ECu平面B\CE,

故AiF〃平面BiCE；

(II)解：因为AiA_L平面4BCD,NBAO=90°,

则A4,AB,40两两垂直，

故以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则A(0,0,2),C(2,1,0),

设E(/,0,0),0W/W2,

贝必:E=(t,0,-2),4；C=(2,1,-2),

设平面AiEC的法向量为云=(x,y,z),

则口碓=0即母:2z=0

比M：C=0.+y-2z=0

令■z=t,则x=2,y—2t-4,

故m=(2,2t-4,t),

又平面OEC的一个法向量为曾=(0,0,1),

因为二面角A\-EC-D的余弦值为手

所以|cos<m，n>|=蛆叫=[旧=i,

问㈤j4+(2t-4)2+t2

整理可得P+4f-5=0,

解得f=l或f=-5,

又0WW2,

所以f=l，

则E(1,0,0),

1AE1

所以棱AB上存在中点E,使二面角4-EC-。的余弦值为,，此时77=不

3AB2

(III)解：过点尸作尸何1_481于点M,

因为平面4AB81J_平面AIBCIOI，且平面AiABB]_L平面4BiCiG=AiBi,BWu平面

A\B\C\D\,

则尸MJ_平面AiABBi，

由等体积法可得，％i-RiEF=^F-B^E=3，FM=可x—xFM=gFM,

因为当点产与点。重合时，EM取得最大值2,此时点E与点B重合，

4

所以当点尸与点。1重合时，三棱锥Bi-AiE/的体积取得最大值

【点评】本题考查了面面平行的性质定理以及线面平行的判定定理的应用，面面垂直的

性质定理和线面垂直的判定定理的应用，二面角的应用以及等体积法的应用，在求解有

关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向

量问题进行研究，属于中档题.

2.已知在三棱锥A-中，平面ABO_L平面BC£>,△ABQ为等边三角形，BD=2,Z

BCD=30°,且ACCO,点P为线段AZ）的中点.

（1）求证：8PJ_平面ACZ）；

（2）若M为CO的中点，求MP与平面BPC所成角的正弦值.

【分析】（1）由已知可得8PLA。，取的中点E,得再由已知结合面面垂

直的判定可得AE_L平面BCD,得AE±CD,结合CD±AD,得C£>_L平面ABD,可得

CDIBP,进一步证得BP_L平面AC£>；

（2）由（1）可知CD_L8O,取BC的中点F,则即£4、EF、£7）两两垂直，

以E为坐标原点，分别以EA、EF、所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，求

出平面BPC的一个法向量，再求出诂的坐标，由两向量所成角的余弦值即可求得MP

与平面BPC所成角的正弦值.

【解答】（1）证明：•••△A3。为等边三角形，P为的中点，...8?LAO,

取8。的中点E,连接AE,贝ljAE_LBD,

平面ABD_L平面BCD,且平面ABDC1平面BCD=BD,

：.AEmBCD,得AE_LC。，

又•.•COJ_A。，且A£»CAE=A,平面AB。，

而BPu平面ABD,：.CDIBP,

又,.•C£)nAO=。，平面ACC；

(2)解：由(1)可知C£»_LBO,取BC的中点尸，则EF_LQE,即EA、EF、EC两两垂

直，

以E为坐标原点，分别以E4、EF、E3所在直线为小y、z轴建立空间直角坐标系.

则A(0,0,V3),B(0,-1,0),C(2V3,1,0),D(0,1,0),

1V3-

P(0,—,—),M(V3,1,0).

22

BP=(0,|,当，BC=(2V3,2,0),

设％=(x,y,z)为平面BPC的一个法向量，

由岳用=0,得自+%=。，令尸1,得产z=3,

U-BC=0(2伍+2y=0

：.n=(1,-V3,3),

又：MP=(―V3>—寺，坐)，

设MP与平面BPC所成角为0,

...MP-n.点V39

••s'no0=I-­——I=亍7行=智

MP与平面BPC所成角的正弦值为雪.

【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用

空间向量求解空间角，是中档题.

3.如图，在直三棱柱48C-4B1。中，ZBAC=90°,AB=AC,D,E,F分别为A4”

B\C,BC的中点.

(1)证明：OE与AiF在同一平面内；

(2)已知异面直线BiC与A4所成的角为45°,求直线OE与平面08c所成角的大小.

【分析】(1)连接AF,EF,证明E/〃A4i,然后证明OE与A1Q在同一平面内.

(2)以4为坐标原点，以A3,AC,441所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐

标系，求出平面。BC的一个法向量，求出法=族=(1,1,0),利用空间向量的数量

积求解直线与平面所成角的大小即可.

【解答】(1)证明：连接AEEF,

:E,F分别为BiC,8C中点，EF//BBi，

'：AA\//BB\,：.EF//AA\,(3分)

：.AAi,E尸在同一平面内，设为a,则4，F,D,E&a,

：.AiFca,DEcza,二。吊与4用在同一平面内.(6分)

(2)解：为异面直线BiC,A4所成的角，.•.NBCCi=45°,

设AB=AC=2,则CCi=B©=2V2,(7分)

以A为坐标原点，以AB,AC,A4所在的直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,

如图所示，

则8(2,0,0),C(0,2,0),F(l,1,0),D(0,0,夜),

：.AF=(1,1,0),BC=(-2,2,0),BD=(-2,0,V2),

设平面瓯的一个法向量为蓝=(x,y,z),则7•吧=-2x+2y=°

.m-BD——2x+V2z—0

令x=l,则y=l,z=V2,

所以平面。BC的一个法向量”