2022届高考数学考前热身题及答案解析

2022年高考数学考前热身题

1.如图，在四棱锥尸-ABC。中，出J_平面ABC。，底面ABCQ是菱形，PA=AB=2,Z

BAD=60°.

(I)求证：直线8£>_L平面B4C；

(II)求直线PB与平面％。所成角的正切值；

(III)设点M在线段PC上，且二面角C-MB-A的余弦值为±求点M到底面ABCZ)

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的距离.

【分析】(I)由菱形的性质可得8DJ_AC,利用线面垂直的性质可得8。_LAP,根据线

面垂直的判定定理证明即可；

(II)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后直线的方向

向量与平面PAD的法向量，由向量的夹角公式以及同角三角函数关系式求解即可；

(III)设z),且茄=2忌(0W入W1),由题意结合空间直角坐标系求出入的

值，确定点M的坐标，然后求解点到平面的距离即可.

【解答】(I)证明：由菱形的性质可知，BDLAC,

因为朋1.平面ABCD且BDu平面48CZ),

贝ljB£)_LAP,且APCMC=4,AP,ACu平面%C,

故8Q_L平面PAC；

(H)解：以点4为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，

则P(0,0,2),B(遮，1,0),4(0,0,0),。(0,2,0),

所以而=(疗，1,-2),

由平面出。的一个法向量为薪=(1,0,0),

设直线PB与平面PAD所成的角为0,

\PB-m\V3

所以sinO=\cos<PB,m>\==

|PB||m|屈xl'

故cos0=V1-sin20=

可

由sin8

所i以”.tann®=^=飞V15

故直线PB与平面PAD所成角的正切值为卓；

(III)解：设M(x,)，，z),且P%=a后(OW入Wl),

因为P(0,0,2),C(VL3,0),B(V3,1,0),4(0,0,0),

所以(x,y,z-2)=A(V3,3,-2),

解得x=H；l,y=3X,z=-2入+2,

所以点M的坐标为M(巡/l,3九-22+2),

设平面CMB的法向量为/=(a,b,c),

则口.空―，

hMB=(四一y/3A)a4-(1-32)h+(2A-2)c=0

令a=2,则c=V5,

故九=(2,0,V3),

设平面MBA的法向量为£=(p,q,r),

则,Z.6=岛+q=o

匕•诂=(6一V3A)p+(1-3A)q+(2A-2)r=0

令p=l,则q=-75,r=

因为二面角c-MB-A的余弦值虚，

3A

所以——言=

可1+3+&

整理可得14A2-19入+6=0,

解得4=/或2=多，

2

由点M的坐标可知点M到底面ABCD的距离为1或一.

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【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理的应用，线面角

的求解以及二面角的定义，点到平面距离的求解，在求解有关空间角问题的时候，一般

会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于难题.

2.在四棱锥P-48C。中，AB//CD,AD=2,/D4B=60°,/XAPB为等腰直角三角形，

PA=PB=2位,过CD的平面分别交线段以，PB于M,N,E在线段。P上(M,N,E

不同于端点).

(I)求证：CD〃平面MNE；

(11)若6为/^的中点，且力加，平面4尸8,求直线以与平面MNE所成角的正弦值.

【分析】(I)通过AB〃CD,推出CO〃平面ABP,得到C£)〃MN,C£>〃平面MNE.

(H)法一(几何法)：作于F,连接。F,直线以与平面ABCQ所成角.Z

MAH是直线PA与平面ABCD所成角，通过求解三角形推出结果即可.

法二(坐标法)：建立如图空间直角坐标系.连接求出平面MNE的法向量，利用空

间向量的数量积求解直线以与平面MNE所成角的正弦值即可.

【解答】(I)证明：'：AB//CD,ABu平面A8P,CW平面ABP,

.♦.CQ〃平面A2P,CDMN,平面CDMNC平面A8P=MN,J.CD//MN.

又；MNu平面MNE,CCC平面MNE,二CO〃平面MNE.

(H)解：法一(几何法)：

作M凡LA8于F,连接。F,由三垂线定理有。F_LAB,

在RtZ\A£>F中，VZBAD=60°,A£)=2,；.AF=1,

在RtZXAM/中，N8AM=45°,：.AM=V2,：.MP=V2,

为4P的中点，E为OP的中点，

：.MN//AB,ME//AD,MNCME=M.

平面MNE〃平面ABCD,直线PA与平面MNE所成角，即直线PA与平面ABCD所成

角.

平面4P8,：.DMLAB,又DMC\MF=M,

，A8_L平面OFM,平面MCF_L平面A8CQ,

过点M作MHLOF交于点H,连接AH,则平面ABCD.

ZMAH是直线PA与平面ABCD所成角，

22MFD

'：MF=AF=DM=yjAD-AM=V2,/.MH=^=^.sinz.MAH=转=当

V3

直线PA与平面MNE所成角的正弦值为一.

3

法二(坐标法)：建立如图空间直角坐标系.连接DB.P(0,0,0),4(0,2VL0),

B(2&,0,0).

因为AB=4,AD=2,NOAB=60°,

由余弦定理可得DB=2V3.

。F=8+y2+z2=12#/DEL/#=y=V2

设点D的坐标为(0,y,z)(y,z>0).{

AD2=(2V2-y)2+z2=4#/DEL/#z=V2

所以，点力的坐标为(0,V2,鱼)，点仞的坐标为(0,近,0),点N的坐标为(企，0,0).

点E的坐标为(0,专,孝)点=(—VLVL0),ME=(0,-孝，孝).

r..…,n-NM=—y/2a+y/2b=0

设平面MNE的法向量n=(a,b,c),则，-->显a,

n•ME=—2-h+-yc=0

取a=6=c=l,则n=(l,1,1).P4=(O,2&,0),

设直线PA与平面MNE所成角为Q.sinO=|cos而，PA)\=磬

\n\-\AP\3

故直线与平面MNE所成角的正弦值为方

【点评】本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，直线与平面所成角的求法，是中

档题.

3.已知如图①，在菱形A8C£＞中，NA=60°且A8=2,E为A。的中点，将aABE沿BE

折起使4。=V2,得到如图②所示的四棱锥A-BCDE.

图①图②

(1)求证：平面平面A8C；

(2)若P为AC的中点，求二面角尸-8。-A的余弦值.

【分析】(1)在图①中，连接8。，证明BE_LAE,BEIDE,推出A£LLEZ).BCYBE,

BC1.AE,即可证明8cl.平面ABE.然后证明平面ABE_L平面48c.

(2)以E为坐标原点，EB,ED,E4的方向分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系：求出平面PBD的一个法向量，求出平面BDA的一个法向量，利用空

间向量的数量积求解即可.

【解答】解：(1)在图①中，连接BD,如图所示：

ED

因为四边形A8C。为菱形，ZA=60°,所以△ABD是等边三角形.

因为E为AO的中点，所以BEA.DE.

又A£>=AB=2,所以4E=OE=1.

在图②中，AD=y[2,所以即初上项).

因为8C〃Z)E,所以BCLBE,BCLAE.

5LBEC\AE=E,AE,8EU平面A8E.

所以BCJ_平面ABE.

又8Cu平面ABC,所以平面A8E_L平面4BC.

(2)由(1)知，AELDE,AEYBE.

因为8EnOE=E,BE,D£c^®BCDE.

所以AE_L平面BCDE.

以E为坐标原点，EB,ED,EA的方向分别为