北师大版九年级数学上册 专题1.13 《直角三角形的边角关系》全章复习与巩固（基础篇）

专题1.13《直角三角形的边角关系》全章复习与巩固（基础篇）（专项练习）单选题知识点一、锐角三角函数1．在正方形网格中，在网格中的位置如图，则的值为（）A． B． C． D．22．在中，，若，则的正切值是（）A． B． C． D．23．如图，在△ABC中，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，在同一平面内，将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE，连接EC，则tan∠DEC的值（）A． B．1 C． D．4．如图，折叠矩形的一边，使点落在边的点处，已知，．则的值是（） B． C．2 D．5知识点二、特殊角三角函数值的计算5．如图，已知的三个顶点均在以正方形组成的表格的格点上，则的值是（）A． B． C． D．16．下列计算错误的有（）①；②；③；④．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个7．当锐角的时，的值为（）A．小于 B．小于 C．大于 D．大于8．如图，四个全等的直角三角形纸片既可以拼成（内角不是直角）的菱形，也可以拼成正方形，则菱形面积和正方形面积之比为（）

A．1 B． C． D．知识点三、解直角三角形9．在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=6，则AB的长是（）A． B． C． D．10．如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离为，在A点测得D点的仰角为，在B点测得D点的仰角为，则乙建筑物的高度为（）A． B． C． D．11．如图，在中，，是边上的高，则下列选项中不能表示的是（）A． B． C． D．12．如图，在矩形ABCD中，AD＝10，将矩形ABCD绕点A逆时针旋转至BC恰好经过点D，得到矩形AB′C′D′，此时旋转角为θ，若tanθ＝，则cos∠ADD'为（） B． C． D．知识点四、锐角三角函数与相关知识的综合13．如图，在四边形中，E，F分别是，的中点，若，则等于（）A． B． C． D．14．如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（）A． B． C． D．15．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（）A． B．2 C．5 D．1016．如图，中，，点在上，．若，则的长度为（） B． C． D．知识点五、利用三角函数解决实际问题17．如图，热气球探测器显示，从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角α为30°，看这栋楼底部C处的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离AD为90米，则这栋楼的高度BC为（）A．米 B．90米 C．120米 D．225米18．如图，在一次夏令营活动中，小霞同学从营地A点出发，要到距离A点10千米的C地去，先沿北偏东70°方向走了8千米到达B地，然后再从B地走了6千米到达目的地C，此时小霞在B地的（）A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上19．比较下图长方形内阴影部分面积的大小，甲（）乙。A．＞ B．＜ C．＝20．如图，铁道口的栏道木短臂长1米，长臂长16米，当短臂下降0.5米时，长臂的端点升高________米（）A．11.25B．6.6C．8D．10填空题知识点一、锐角三角函数21．如图，矩形的对角线、相交于点，，且，，连接，则______．22．如图，是平面镜，光线从点出发经上的点反射后照射到点，若入射角为，垂足分别为，且，则的值为_______．23．已知：如图，中，的面积等于9，则______．24．如图，在正方形网格中有，则的值等于______．知识点二、特殊角三角函数值的计算25．计算：＝______________．26．如果，则的形状是________．27．若cos（α﹣15）°＝，则α＝_____．28．四边形具有不稳定性．如图，矩形按箭头方向变形成平行四边形，当变形后图形面积是原图形面积的一半时，则________．知识点三、解直角三角形29．如图，点、、、在同一平面内，点、、在同一直线上，且，在点处测得点在北偏东方向上，在点处测得点在北偏东方向上，若千米，则，两点的距离为__千米．30．如图，在梯形中，，，则下底的长为________．31．在中，，（1）已知：，则__，___，________；（2）已知：，则_______，_______；（3）已知：，则______，_______，________；（4）已知：，则_______．32．如图，某商店营业大厅自动扶梯的倾斜角为，的长为12m，则大厅两层之间高度为_______________________m．（结果保留一位小数）（参考数据：，，）.知识点四、锐角三角函数与相关知识的综合33．数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形中，．如图，建立平面直角坐标系，使得边在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是_________．34．如图，P（12，a）在反比例函数图象上，PH⊥x轴于H，则tan∠POH的值为_____．35．如图，在平面直角坐标系中，点A在第二象限内，点B在x轴上，∠AOB＝30°，AB＝BO，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过点A，若S△AOB＝，则k的值为________．36．如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为______．知识点五、利用三角函数解决实际问题37．如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为18m的地面上，若测角仪的高度为I.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是____．

38．如图，一辆小车沿着坡度为的斜坡从点A向上行驶了50米到点B处，则此时该小车离水平面的垂直高度为_____________.39．如下图,建筑物AB和CD的水平距离为30m,从A点测得D点的俯角为30°,测得C点的俯角为60°,则建筑物CD的高为________

m．40．如图．在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12cm，BC=5cm，AC=13cm，若BD是AC边上的高，则BD的长为______cm．解答题知识点一、锐角三角函数已知在中，求及的值．知识点二、特殊角三角函数值的计算先化简再求值：，其中．知识点三、解直角三角形43．如图，，，于点E，于点F．（1）求证：；（2）已知，求的值．知识点四、锐角三角函数与相关知识的综合44．如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB的中点．（1）求证：；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面积．知识点五、利用三角函数解决实际问题45．某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和8C（杆子的底端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．（1）求点D与点C的高度差DH；（2）求所用不锈钢材料的总长度（即AD+AB+BC的长）．参考答案1．A【分析】过A点作ADBC，结合格点图形，利用勾股定理及锐角三角函数定义求解即可；解：如图，过A点作ADBC，在中，，则，∴．故答案为：A【点拨】本题主要考查锐角三角函数的定义，结合图形，熟练运用锐角三角函数的定义求锐角三角函数值是解题的关键．2．B【分析】根据已知可设，则，根据三角函数的定义从而求出的正切值．解：设，则，∵，∴，故选：B．【点拨】本题考查了是锐角三角函数的定义，关键是熟练掌握正切函数的定义．3．B【分析】根据旋转的性质求出∠DEC的度数，再根据特殊角三角函数值求值即可．解：由旋转的性质可知：AE＝AC，∠CAE＝70°，∴∠ACE＝∠AEC＝55°，又∵∠AED＝∠ACB，∠CAB＝55°，∠ABC＝25°，∴∠ACB＝∠AED＝100°，∴∠DEC＝100°﹣55°＝45°，∴tan∠DEC＝tan45°＝1，故选：B【点拨】本题考查旋转的性质，解题的关键是熟练运用旋转的性质求出角度，熟记特殊角三角函数值．4．A【分析】先根据矩形的性质得CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则FC＝BC−BF＝4，设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD−DE＝8−x，在Rt△CEF中，根据勾股定理得到42＋（8−x）2＝x2，解得x＝5，即EF＝5，然后在Rt△AEF中根据正切的定义求解．解：∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，∴AF＝AD＝10，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°，在Rt△ABF中，BF＝＝6，∴FC＝BC−BF＝4，设EF＝x，则DE＝x，CE＝CD−DE＝8−x，在Rt△CEF中，∵CF2＋CE2＝EF2，∴42＋（8−x）2＝x2，解得：x＝5，∴EF＝5，在Rt△AEF中，tan∠EAF＝；故选：A．【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．5．B【分析】根据图像和勾股定理得出AB2，AC2，BC2的值，进而得出△ABC是等腰直角三角形，即可得出结果．解：设每个小正方形的边长为1，由网格构造直角三角形可得，AC2＝12＋32＝10，AB2＝12＋22＝5，BC2＝12＋22＝5，

∵AB2＝AC2＋BC2，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠A＝∠C＝45°，

∴sinA＝sin45°＝．

故选：B．【点拨】本题考查了锐角三角函数．由网格构造直角三角形，并求出AB2，AC2，BC2的值是解决本题的关键．6．C【分析】利用特殊角的三角函数值逐个代入计算判断即可；解：①，，故左右不相等，错误；②，正确；③，错误；④，错误．错误的有3个，故选择：C【点拨】本题主要考查特殊三角函数值的计算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．7．A【分析】明确cos45°＝，余弦函数随角增大而减小进行分析．解：根据cos45°＝，余弦函数随角增大而减小，则∠A一定小于45°．故选：A．【点拨】熟记特殊角的三角函数值，了解锐角三角函数的增减性是解题的关键．8．C【分析】设直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，根据菱形的性质可得，从而得到，，即可解答．解：设直角三角形的长直角边长为，短直角边长为，四边形是菱形，，，，，，，．故选：C．【点拨】本题主要考查了本题考查了菱形的性质，正方形的性质，直角三角形的性质，正确的理解题意是解题的关键．9．B【分析】作CD⊥AB于D，则△BCD是等腰直角三角形，得BD=CD，∠BCD=45°，求出∠ACD=30°，由直角三角形的性质得AD=AC=3，BD=CD=AD=3，即可得出答案．解：作CD⊥AB于D，如图所示：则∠BDC=∠ADC=90°，∵∠B=45°，∴△BCD是等腰直角三角形，∴BD=CD，∠BCD=45°，∵∠ACB=75°，∴∠ACD=∠ACB-∠BCD=30°，∴AD=AC=×6=3，CD==3，∴BD=CD=3，∴AB=BD+AD=3+3=3（+1）；故选：B．【点拨】本题考查了解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．10．B【分析】在中，解直角三角形，可求得CD的长，即求得甲的高度，过A作AF⊥CD于点F，在中解直角三角形可求得DF，则可求得CF的长，即可求得乙的高度．解：如图，过点A作于点F，在中，，，∴，在中，，∴，∴，即乙建筑物的高度为．故答案选：B．【点拨】本题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，构造直角三角形，利用特殊角求得相应线段的长是解题的关键．11．D【分析】根据题意可推出△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，再在三个直角三角形中分别表示出tanB即可．解：∵在Rt△ABC中，∠A=90°，AD是BC边上的高，∴△ABC、△ADB、△ADC均为直角三角形，又∵∠C+∠B=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠B=∠DAC，在Rt△ABC中，tanB=，故A可以表示；在Rt△ABD中，tanB=，故B可以表示；在Rt△ADC中，tanB=tan∠DAC=，故C可以表示；D不能表示tanB；故选：D．【点拨】本题考查解直角三角形相关知识，熟练掌握锐角三角函数在直角三角形中的应用是解题关键．12．C【分析】过点D'作D'E⊥AD于点E，设D'E＝3x，AE＝4x，在Rt△AD'E中，由勾股定理得：AD'＝5x＝10，得x＝2，则D'E＝6，AE＝8，DE＝AD﹣AE＝10﹣8＝2，在Rt△DED'中，由勾股定理求得DD'的长，即可解决问题．解：过点作于点，将矩形绕点逆时针旋转至恰好经过点，，，，，设，，在△中，由勾股定理得：，，，，，，在中，由勾股定理得：，，故选：．【点拨】本题主要考查了旋转的性质，矩形的性质，勾股定理，以及三角函数等知识，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．13．C【分析】连接BD，根据三角形中位线定理求出EF，根据勾股定理的逆定理得到∠BDC=90°，根据正弦的定义计算即可．解：连接，∵E，F分别是的中点，∴，∵，∴，又∵，∴，∴△BCD是直角三角形，，∴．故选：C．【点拨】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的逆定理、解直角三角形的知识，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．14．B【分析】先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．解：由题意知：四边形为正方形，如图，当落在上时，由故选【点拨】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．15．C解：分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．详解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，∴∠AOB=90°，∵BD=8，∴OB=4，∵tan∠ABD=，∴AO=3，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB==5，故选C．点睛：本题考查了菱形的性质、勾股定理和解直角三角形，能熟记菱形的性质是解此题的关键．16．C【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．解：∵∠C=90°，∴，∵，∴AB=5，根据勾股定理可得BC==3，∵，∴cos∠DBC=cosA=，∴cos∠DBC==，即=∴BD=，故选：C．【点拨】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．17．C【分析】首先过点A作AD⊥BC于点D，根据题意得然后利用三角函数求解即可求得答案．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，则在Rt△ABD中，由在Rt△ACD中，由∴故这栋楼的高度为m．故选：．【点拨】本题考查了解直角三角形的应用中的仰角俯角问题．掌握准确构造直角三角形是解此题的关键．18．B解：试题分析：根据题意可得：∠DAB=70°，AD∥BE，AC=10，AB=8，BC=6，根据勾股定理的逆定理可知∠ABC=90°，根据平行线的性质可得：∠ABE=110°，则∠CBE=110°-90°=20°，即点C在点B的北偏西20°方向上.19．C【解析】在三角形中，等底等高的两个三角形的面积相等，由此可得三角形1面积=三角形2面积，三角形3面积=三角形4面积，即可得面积甲=面积乙．故选C.点睛：等底等高的两个三角形的面积相等是解答此题的关键．20．C【解析】试题分析：设长臂的端点升高x米，根据臂长与下降或升高的距离的关系即可列方程求解.设长臂的端点升高x米，由题意得解得则长臂的端点升高8米故选C.考点：相似三角形的应用21．【分析】过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，连接OE交BC于点G，根据，，可得四边形BOCE是平行四边形，从而四边形BOCE是菱形，则有OE与BC互相垂直平分，易得OE=AB=2x，CF=GE=OE=x，再由锐角三角函数定义，即可求解．解：如图，过点E作EF⊥CD交CD延长线于点F，连接OE交BC于点G，∵矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AB:BC=2：1，∴BC=AD，OB=OC，∠BCF=90°，可设BC=x，则AB=2x，∵，，∴四边形BOCE是平行四边形，∵OB=OC，∴四边形BOCE是菱形，∴OE与BC互相垂直平分，∴EF=CG=AD=x，OE∥AB，∠BCF=∠CGE=∠F=90°，∴四边形CGEF是矩形，∴CF=GE=OE，∴四边形AOEB是平行四边形，∴OE=AB=2x，∴CF=GE=OE=x，∴．故答案为：．【点拨】本题考查矩形的性质、平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质以及解直角三角形，解题的关键是熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质，属于中考常考题型．22．【分析】设，则，由物理性质可得入射角等于反射角、法线与，则、，则，求得，即可求解；解：设，则，由物理性质可得入射角等于反射角、法线与，∵∴法线平行于，∴∴，∴，即，解得，即故答案为【点拨】此题考查了三角函数的定义，涉及了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据物理性质找到求得的长度．23．【分析】过C作CD⊥AB于D，根据三角形的面积求出CD，根据锐角三角函数的定义求出即可．解：过C作CD⊥AB于D，∵△ABC中，AB=9，△ABC的面积等于9，

∴×AB×CD=9，

∴CD=2，

∴sinB=.故答案为：.【点拨】本题考查三角形的面积和锐角三角函数的定义的应用，主要考查学生的计算能力．24．【分析】首先利用勾股定理分别算出AB、BC、AC的长度，再利用勾股定理的逆定理得出∠ACB=90°，最后根据锐角三角函数的定义求出sin∠ABC的值．解：∵AB=，BC=，AC=，∴AB2=BC2+AC2，∴∠ACB=90°．∴sin∠ABC=，故答案为：．【点拨】本题主要考查了勾股定理和它的逆定理以及锐角三角函数的定义．在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边．25．【分析】根据特殊角的锐角三角函数值，零次幂，负整指数幂进行计算即可．解：故答案为：【点拨】本题考查了特殊角的锐角三角函数值，零次幂，负整指数幂，掌握以上知识是解题的关键．26．等边三角形【分析】根据特殊角的三角函数值以及非负数的性质求解进而根据等边三角形的判定可得答案．解：∵，∴，∴，∴，，∴，∴为等边三角形．故答案为：等边三角形．【点拨】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握特殊角的三角函数值以及非负数的性质，也考查了等边三角形的判定．27．45【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．解：∵cos（α﹣15）°＝，∴（α﹣15）°＝30°，则α＝45．故答案为：45．【点拨】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．28．【分析】根据矩形和平行四边形的面积公式可知，平行四边形A'B'C'D'的底边边上的高等于的一半，据此可得∠为30°．解：如图，过点作于点E．设矩形的边长为a，长为b，长为c，则，．∵，∴，∴，∴，∴．【点拨】本题主要考查了四边形的不稳定性、矩形与平行四边形的面积公式、解直角三角形等相关知识，熟记特殊角的三角函数值是解答本题的关键．29．【分析】由，在点A处测得点在北偏东方向上，可得，，利用锐角三角函数可求千米，千米，在Rt△BCP中千米即可．解：，在点A处测得点在北偏东方向上，，，千米，千米，千米，在点处测得点在北偏东方向上，，千米，在Rt△BCP中，，千米，（千米），故答案为：千米．【点拨】本题考查解直角三角形，方位角应用，线段和差，掌握锐角三角函数的定义是解题关键．30．8【分析】平移一条腰，得到平行四边形和30°的直角三角形，根据它们的性质进行计算．解：如图，作交于点E，则四边形是平行四边形，，∴，∵，∴，∴，∴．故答案为：8．【点拨】本题考查与梯形有关的问题，平移一条腰是梯形中常见的辅助线，再根据平行四边形的性质和三角形的性质进行分析．31．45°45°681260°45°【分析】（1）先利用勾股定理求出a，然后分别求出sinA，sinB即可得到答案；（2）根据，，先求出b，然后求出a即可；（3）根据，，即可得到，，，由此求解即可；（4）根据，得到，即，即可求解.解：（1）∵在△ABC中，∠C=90°，，，∴，，，∴∠A=45°，∠B=45°，故答案为：45°，45°，；（2）∵，，∴，∴，故答案为：6，8；（3）∵，，∴，，，∠A=60°∴，，∴，∴，∴，∴，故答案为：12，，60°；（4）∵，∴，∴，∴∠A=45°，故答案为：45°.【点拨】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.32．【分析】根据题意和锐角三角函数可以求得BC的长，从而可以解答本题.解：在Rt△ABC中，∵∠ACB=90°，∴BC=AB•sin∠BAC=12×0.515≈6.2（米），答：大厅两层之间的距离BC的长约为6.2米．故答案为：6.2.【点拨】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用锐角三角函数和数形结合的思想解答.33．(2，)【分析】根据菱形的性质可知AD=AB=CD=2，∠OAD=60°，由三角函数即可求出线段OD的长度，即可得到答案．解：∵四边形为菱形，∴AD=AB=CD=2，∵∴在Rt△DOA中，∴OD=∴点C的坐标是(2，)．故答案为：(2，)．【点拨】本题考查了平面直接坐标系中直角三角形的计算问题，以及菱形的性质，熟练掌握特殊三角函数值是解题关键．34．解：试题分析：∵P（12，a）在反比例函数图象上，∴a==5，∵PH⊥x轴于H，∴PH=5，OH=12，∴tan∠POH=，故答案为．考点：反比例函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义及运用35．－3解：如图所示,过点A作AD⊥OD,根据∠AOB＝30°,AB＝BO,可得∠DAB＝60°,∠OAB＝30°,所以∠BAD＝30°,在Rt△ADB中,即,因为AB＝BO,所以,所以,所以,,根据反比例函数k的几何意义可得:,因此,因为反比例函数图象在第二象限,所以36．1【分析】连接BC，由网格求出AB，BC，AC的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC为等腰直角三角形，即可求出所求．解：解：连接，

由网格可得，，即，

∴为等腰直角三角形，

∴，

则，故答案为1.【点拨】此题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．37．19.5m．【分析】作DE⊥AB于E，根据tan∠ADE＝求出AE，故可求解．解：作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，∴AE＝DE•tan∠ADE＝18×＝18，∴AB＝AE+EB＝18+1.5＝19.5（m），故答案为：19.5m．【点拨】此题主要考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟知正切的定义．38．25【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可．解：设此时该小车离水平面的垂直高度为x米，则水平前进了x米．根据勾股定理可得：x2＋（x）2＝502．解得x＝25．即此时该小车离水平面的垂直高度为25米．故答案为：25.【点拨】考查了解直角三角形的应用−坡度坡角问题，此题的关键是熟悉且会灵活应用公式：tan（坡度）＝垂直高度÷水平宽度，综合利用了勾股定理．39．20m【分析】延长CD交AM于点E．在Rt△ACE中，可求出CE；在Rt△ADE中，可求出DE．CD=CE-DE．解：延长CD交AM于点E，则