2022届上海市虹口区中考数学一模试卷及答案解析

2022届上海市虹口区中考数学一模试卷

一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，共24分。）

1.（4分）若cosa=：,则锐角a的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

2.（4分）在Rt/VLBC中，ZC=90°,如果BC=2,tan3=2,那么AC=（）

A.1B.4C.V5D.2V5

3.（4分）抛物线y=3（x+1）2+1的顶点所在象限是（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（4分）已知抛物线>=/经过A（-2,yi）、B（1,丝）两点，在下列关系式中，正确

的是（）

A.yi>0>y2B.y2>0>yiC.yi>y2>0D.y2>yi>0

5.（4分）已知次1和*都是非零向量，在下列选项中，不能判定才〃甘的是（）

A.|a|=|b|B.a//c,b//c

-»T

C.a+b=0D.5+b=2c,a—b=3c

6.（4分）如图，点。是△ABC的边3。上一点，ZBAD=ZC.AC=2AD,如果△AC。的

面积为15,那么△A3。的面积为（）

二、填空题

7.（4分）如果a：h=2：3,且a+b=10,那么〃=

8.（4分）如果向量2、b、1满足关系式2b-3（a+%）=0,那么用向量入b表示向量呈=

9.（4分）如果抛物线y=（1-a）?+1的开口向下，那么a的取值范围是.

10.（4分）沿着x轴正方向看，抛物线y=-（x-1）2在对称轴侧的部分是下降的

（填“左”、“右”）.

11.（4分）如果函数丫=（zn+1）x7n2-m+2是二次函数，那么小=.

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12.（4分）如图，抛物线的对称轴为直线x=l,点P、。是抛物线与x轴的两个交点，点P

在点。的右侧，如果点P的坐标为（4,0）,那么点。的坐标为

13.（4分）如图，点A（2,机）在第一象限，0A与x轴所夹的锐角为a,如果tana=].那

么tn=.

14.（4分）己知△A8Cs/\4BiCi，顶点4、B、C分别与4、Bi、Ci对应，AC=12、MC\

=8,ZXABC的高40为6,那么

△AlBiCi的高长为.

15.（4分）如图，在梯形4EF2中，AB//EF,AB=6,EF=10,点C、。分别在边AE、BF

16.（4分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,

它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积

是49,直角三角形中较小锐角。的正切为白，那么大正方形的面积是.

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17.（4分）如图，在RtZ\48C中，ZC=90°,AC=\,BC=2,点。为边AB上一动点,

正方形QEFG的顶点E、尸都在边BC上，联结BG,tan/OGB=

18.（4分）如图，在等腰梯形A8CD中，AD//BC,sinC=4看，48=9,AD=6,点E、尸分

别在边A3、BC上，联结EF,将△8EF沿着EF所在直线翻折，使BF的对应线段8'F

经过顶点A,B'尸交对角线BO于点P,当8'F_LAB时，AP的长为

三、解答题

4sin30°

19.（10分）计算:-tan260°

cot30°-tan45°

20.（10分）在平面直角坐标系中，将抛物线C：y=』-2x向左平移2个单位，向下平移

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3个单位得到新抛物线C2.

(1)求新抛物线C2的表达式：

(2)如图，将△048沿x轴向左平移得到也。'A'B',点A(0,5)的对应点A'落

在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点8'的距离.

21.(10分)如图，在RtZ\A8C中，NABC=90°,点G是RtzMBC的重心，联结BG并

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延长交AC于点3,过点G作GEJ_BC交边BC于点E.

(1)如果AC=；,AB=b,用；、b表示向量BG；

(2)当AB=12时，求GE的长.

22.(10分)某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB(假定树干A8垂直于水平地面)被刮

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倾斜7°（即NBAS'=7。）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面。处，测得/

CD4=37°,AD=5米，求这棵大树A8的高度.（结果保留根号）（参考数据：sin37-

0.6,cos37=0.8,tanSV^O.VS）

23.（12分）如图，在RtZ\48C中，NAC8=90°,点。是边8c的中点，联结AD过点

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C作CEJ_AD于点E,联结BE.

(1)求证：BN=DE,AD；

(2)如果/A8C=NOCE,求证：BD-CE=BE'DE.

24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+fec+c与x轴交于A(-1,0)、8两点,

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与)，轴交于点C(0,3),点P在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2H.

(1)求抛物线的表达式以及点P的坐标；

(2)当三角形中一个内角a是另一个内角B的两倍时，我们称a为此三角形的“特征

角”.

①当O在射线AP上，如果ND4B为△AB。的特征角，求点。的坐标；

②点E为第一象限内抛物线上一点，点/在x轴上，CE±EF,如果NCEF为△ECF的

特征角，求点E的坐标.

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Q

25.（14分）如图，在Rt/SABC中，NACB=90°,BC=4,sin/A3C=$点。为射线8c

上一点，联结AD,过点8作BEJ_AO分别交射线4£）、4c于点E、F,联结OF,过点A

作AG〃B。，交直线BE于点G.

（1）当点。在BC的延长线上时，如果CD=2,求tan/RBC；

（2）当点D在BC的延长线上时，设4G=x,S^DAF^y，求y关于x的函数关系式（不

需要写函数的定义域）；

（3）如果4G=8,求。E的长.

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2022届上海市虹口区中考数学一模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题

1.（4分）若cosa=g,则锐角a的度数是（）

A.30°B.45°C.60°D.90°

【解答】解：・・加0$。=±,

Aa=60°

故选：C.

2.(4分)在RtZ\ABC中，ZC=90°,如果8c=2,tanB=2,那么AC=()

A.1B.4C.V5D.2A/5

【解答】解：如图,

在RfNACB中,VZC=90"，

；.tanB=^=2,

AC

/.—=2,

2

：.AC=4.

故选：B.

3.（4分）抛物线y=3（x+1）2+1的顶点所在象限是（)

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解答】解：：抛物线y=3（x+1）2+1,

,该抛物线的顶点是（-1,1）,在第二象限,

故选：B.

4.（4分）已知抛物线y=/经过A（-2,yi)、B（1,72）两点，在下列关系式中，正确

的是（）

A.y\>0>y2B.y2>0>y\C.y\>y2>0D.y2>yi>0

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【解答】解：•••抛物线丫=/,

，抛物线开口向上，对称轴为y轴，

；.A（-2,yi）关于y轴对称点的坐标为（2,力）.

XVO<1<2,

.'.yi>y2>0,

故选：C.

5.（4分）已知会7和京都是非零向量，在下列选项中，不能判定；〃了的是（）

TTT—>_>T

A.|a|=|b|B.a//c,b//c

C.Q+b=0D.五+b=2c,a—b=3c

【解答】解：A、该等式只能表示两次7的模相等，但不一定平行，故本选项符合题意;

B、由：〃"，b〃"可以判定2〃匕，故本选项不符合题意.

c、由3+6=0可以判定21的方向相反，可以判定；〃£故本选项不符合题意.

TttTttK.tT

D、由五+b=2c,Q-b=3c得到Q=[C,b=-,c,贝b、b的方向相反，可以判定。〃

b,故本选项不符合题意.

故选：A.

6.（4分）如图，点。是△A8C的边8c上一点，NBAO=NC,AC=2AD,如果△AC。的

面积为15,那么△A3。的面积为（）

【解答】解：・・・N84O=NC,NB=NB,

：・4BADs丛BCA,

VAC=2AD,

.S^BAD/A。、21

・・--------=（-----）=-79

SbBCAAC4

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.S^BAD1

••~~~~~~~=~,

S&ACD3

•••△ACO的面积为15,

・•・AABO的面积=/15=5,

故选：D.

二、填空题

7.(4分)如果〃：b=2：3,且a+b=10,那么4=4.

【解答】解：设a=2匕b=3k,

•・・。+6=10,

・・・2k+3攵=10,

解得：k=2,

••ci=2k=2义2=4；

故答案为：4.

8.(4分)如果向量联、b、京满足关系式2b-3(a4-%)=0,那么用向量友、b表示向量7=

2T-

-b—a.

3—

【解答】解：・・,21-3(a+x)=0,

：.2b—3a-3%=0,

TTT

A3x=2b-3a

・T2TT

%=«h—CL.

2TT

故答案是：-b—a.

9.(4分)如果抛物线y=(1-a)f+l的开口向下，那么a的取值范围是.

【解答】解：；抛物线y=(1-a)/+1的开口向下，

Al-a<0,解得，a>l,

故答案为：a>l.

10.(4分)沿着x轴正方向看，抛物线y=-(x-1)2在对称轴右侧的部分是下降的

(填“左”、“右

【解答】解：•.•抛物线y=-(x-1)2,

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...该抛物线的对称轴为x=l,当x<l时，y随x的增大而增大，当x>l时，y随x的增

大而减小，

.•.在对称轴右侧的部分是下降的，

故答案为：右.

11.（4分）如果函数丫=（w+1）x而-1+2是二次函数，那么皿=2.

【解答】解：•••函数尸⑺+l）xmJm+2是二次函数，

••m~m2,

（，"-2）（w?+l）—0,

解得：，"1=2,mi=-1,

Vw+1^0,

-1,

故"7=2.

故答案为：2.

12.（4分）如图，抛物线的对称轴为直线x=l,点尸、。是抛物线与x轴的两个交点，点P

在点。的右侧，如果点P的坐标为（4,0）,那么点。的坐标为（-2,0）.

【解答】解：,••抛物线的对称轴为直线x=l,点P的坐标为（4,0）,

.•.点。的横坐标为1X2-4=-2,

；•点。的坐标为（-2,0）.

故答案为：（-2,0）.

13.（4分）如图，点A（2,m）在第一象限，0A与x轴所夹的锐角为a,如果tana=怖.那

么m=3.

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••—―,

22

•"=3,

故答案为3.

14.（4分）已知△ABCs/vhBiCi，顶点A、B、C分别与Ai、Bi、G对应，AC=12、A\C\

=8,ZVIBC的高为6,那么

△AIBICI的高A\D\长为4.

【解答】解：VAABC^AAiBiCi,AC=12、AiCi=8,

123

，相似比为：一二一，

82

■:/XABC的高4。为6,

2

：•△481。的图Ai。长为：6x可=4.

故答案为：4.

15.（4分）如图，在梯形AE/吆中，AB//EF,AB=6,所=10,点。、。分别在边AE、BF

上且CD〃AB,如果AC=3CE,那么CD=9.

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【解答】解：如图，连接3E交C。于点M,

VAC=3C£,

.CE1

"AC-3，

■:AB//EF,CD//AB,

J.AB//CD//EF,

DFCE1

-BD~AC~3

CE_1BD_3

AE~4BF~4’

■:CMHNB、

・・.XECMs[\EAB,

.CMCE

・"-AE

CM1

即---=一，

64

3

：.CM=^

*：MD〃EF,

：.4BMDS4BEF,

.MDBD

••,

EFBF

MD3

即---=一，

104

15

・・・M£>=3，

3is

・・・CD=CM+MD=>中=%

故答案为：9.

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16.（4分）公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”,

它由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，如果小正方形面积

是49,直角三角形中较小锐角。的正切为三，那么大正方形的面积是169.

【解答】解：由题意知，小正方形的边长为7,

设直角三角形中较小边长为m较长的边为b,则

tan6=短边：长边="：b=5：12.

所以6=学”，①

又以为b=a+7,②

联立①②，得a=5,b—12.

所以大正方形的面积是：。2+房=25+144=169.

故答案是：169.

17.（4分）如图，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,点。为边AB上一动点,

1

正方形OEFG的顶点E、F都在边8c上，联结BG,tan/Z）GB=-.

-3-

【解答】解：如图，DE与BG交于点0,

•.•正方形DEFG,

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:./DEB=NEDG=/GFB=90°,GF=DE=EF,

:.ABDESAABC,

.OEAC1

BE~BC~2

.GF1

一BF—3，

♦・•ZDOG=ZEOB,

：./XDOGs/\EOBs△尸GB,

.DOEOGF1

•・DG~EB~BF~3

1

AtanZZ)GB=

故答案为：7

3

18.（4分）如图，在等腰梯形ABCQ中，AD//BC,sinC=AB=9,AO=6,点E、F分

别在边AB、BC上,联结EF,将aBEF沿着E尸所在直线翻折，使B尸的对应线段B'F

24

经过顶点A,B'F交对角线3。于点P,当"尸，45时，AP的长为—.

-7—

：.ZBAF=90°,

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・・•四边形A8CD是等腰梯形，

・,.ZABC=ZC,

AF4

sinZ.ABC—sinZC—丽=可，

设4尸=4Z,BF=5k,则AB=9=3Z,

:・k=3,

：.AF=n,BF=\5,

\'AD//BFf

：./\APDs/\FPB,

ePAAD62

"PF~BF~15~5

・・・布=2扣4=亍24，

24

故答案为亍.

三、解答题

49777^0°

19.（10分）计算：--------------tan2600

cot300-tan450

4x工—

【解答】解：原式=/一（V3）2=V3-2.

V3-1

20.（10分）在平面直角坐标系中，将抛物线Ci：y=/-2x向左平移2个单位，向下平移

3个单位得到新抛物线Q.

（1）求新抛物线C2的表达式；

（2）如图，将△048沿x轴向左平移得到△0'4'B',点、A（0,5）的对应点A'落

在平移后的新抛物线C2上，求点B与其对应点8'的距离.

【解答】解：（1）由抛物线Ci：y=/-2x=知，将其向左平移2个单位,

向下平移3个单位得到新抛物线C2的表达式是：y=（x-1+2）2-1-3,即y=（x+1）

2-4；

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(2)由平移的性质知，点A与点A'的纵坐标相等，

所以将y=5代入抛物线C2,得(x+D2-4=5,贝!Jx=-4或x=2(舍去)

所以44'=4,

根据平移的性质知：=44'=4,即点8与其对应点B'的距离为4个单位.

21.(10分)如图，在RtZ\ABC中，NABC=90°,点G是RtZ\ABC的重心，联结BG并

延长交AC于点。，过点G作GELBC交边8c于点E.

(1)如果h=女AB=b,用2、1表示向量薪；

(2)当A8=12时，求GE的长.

【解答】解：（1）"：BD=BA+AD,

•.,点G是RtZ\A8c的重心，

：.AD^jAC,

**AC—a,AB—b,

—1—

••AD='Q，

-?1->

BD=-b+[a,

-2T2t1->、2T1-*

•*BG=-^BD=2，（—b+2a）=—可人+可口；

（2）过点。作L3C,

■:GEIIDF,

.GE2

••=—,

DF3

*：DF//AB9。是AC的中点，

：.DF=^AB,

：AB=12,

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：.DF=6,

：.GE=4.

22.（10分）某次台风来袭时，一棵笔直大树树干AB（假定树干A8垂直于水平地面）被刮

倾斜7°（即NBAB'=7°）后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面。处，测得/

CZM=37。，A£>=5米，求这棵大树AB的高度.（结果保留根号）（参考数据：sin37-

【解答】解：过点A作AEJ_CO于点E,则NAEC=/AEZ)=90°.

:在中，/AOC=37°,

.\cos370=器DF=等DF=0.8,

：.DE=4,

.••or。AEAE八n

・sm37=而=飞-=0.6,

：.AE=3,

在RtZVIEC中，

VZCAE=90°-ZAC£=90°-60°=30°,

：.CE=与AE=V3,

：.AC=2CE=2V3,

：.AB=AC+CE+ED=2^3+V3+4=35/3+4(米).

答：这棵大树AB原来的高度是(3V3+4)米.

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23.(12分)如图，在RtZ\ABC中，/ACB=90°,点。是边BC的中点，联结AZX过点

C作CE_LAO于点E,联结BE.

(1)求证：BD2=DE・AD；

(2)如果/ABC=NDCE,求证：BD・CE=BE・DE.

【解答】(1)证明：如图1中,

图1

CELAD,

：.ZCED=ZACD=90°,

'：ZCDE=ZADC,

/.△CDE^AADC

.CDDE

••,=,

ADCD

:.CN=DE・DA,

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"：DB=CD,

：.：.BD2=DE'DA.

(2)解：如图2中,

图2

"：BD1=DE'DA,

•B_DDA

DEBD

•・•NBDE=ZADB,

：.ZDEB=ZABC,

*/ZABD=ZECDf

:・NBED=/BCE,

■:/EBD=/CBE,

:•△EBDs^CBE,

.BDDE

••=,

BECE

：.BD-CE=BE-DE.

24.(12分)在平面直角坐标系中，抛物线y=-/+6x+c与x轴交于A(-1,0)、8两点，

与y轴交于点C(0,3),点尸在该抛物线的对称轴上，且纵坐标为2百.

(1)求抛物线的表达式以及点尸的坐标；

(2)当三角形中一个内角a是另一个内角P的两倍时，我们称a为此三角形的“特征

角”.

①当。在射线4P上，如果NOAB为△AB。的特征角，求点。的坐标；

②点E为第一象限内抛物线上一点，点尸在x轴上，CEVEF,如果NCE尸为产的

特征角，求点E的坐标.

第22页共26页

【解答】解：（1）抛物线y=-/+fec+c与y轴交于点C（0,3）,则c=3,

将点A的坐标代入抛物线表达式并解得：b=2,

故抛物线的表达式为：y=-/+2x+3；

点尸（1,2V3）；

（2）由点A、P的坐标知，ZPAB=60°,

直线AP的表达式为：y=（x+1）…①,

△48。为直角三角形，由面积公式得：

yoXAB=AD-BD,即y0X4=2x2V3,

解得：yo-V3,

点。在AP上，故点。（0,V3）；

当时，则NABO=90°,

故点。（3,4V3）；

综上，点。的坐标为：（0,V3）或（3,4V3）；

（3）/CEF为△£（7尸的特征角，则为等腰直角三角形,

过点E分别作x轴、y轴的垂线交于点M、N,

则△CNE四△EM尸（AAS）,

第23页共26页

则EN=EM,即x=y,

x=y=-x^+2x+3,解得：x=I」；13,

s-1+7131+713

故点E(-----,-----).

22

Q

25.(14分)如图，在RtZ\ABC中，ZACB=90Q,8c=4,sin/4BC=刍点。为射线BC

上一点,联结A。，过点B作BELA。分别交射线A。、AC于点E、F,联结。F,过点A

作AG〃8£),交直线BE于