2022届上海市长征高考数学必刷试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。

2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。

4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设函数/(x),g(x)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()

A./(x>g(x)是偶函数B.|〃x)|-g(x)是奇函数

c.是奇函数D.是奇函数

2.用电脑每次可以从区间(0,3)内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的.若用该电脑连续生成3个

实数，则这3个实数都小于1的概率为()

4111

A.—B.-C.—D.—

273279

3.已知实数集R,集合A={x|lvxv3},集合3=,%|丁=71=4,则Ac(「5)=()

A.{x|l<x<2}B.[x\l<x<3]C.{x|2<x<3}D.{x|1<x<2}

22〃

4.双曲线£-g=im>o,b>o)的左右焦点为耳，心，一条渐近线方程为/:y=-=无，过点E且与/垂直的直线分

别交双曲线的左支及右支于p,。，满足。户=g(?M+goC，则该双曲线的离心率为()

A.MB.3C.V5D.2

5.已知关于x的方程Gsinx+sin[q-x=加在区间[0,2〃)上有两个根占，x2,且归一百之不，则实数加的取

127

值范围是()

A.0,；)B.[1,2)C.[0,1)D.[0,1]

6.已知函数/(x)=ei+x一2的零点为如若存在实数“使Y一侬一。+3=0且|相一〃区1,则实数a的取值范围

是()

「71「7-

A.[2,4]B.2,—C.—,3D.[2,3]

fl_1_V,

7.命题P：存在实数七，对任意实数x,使得sin（x+x（））=-sinx恒成立；q：Va>0,f（x）=In---为奇函数,

a-x

则下列命题是真命题的是（）

A.p^qB.(」p)v(-u7)C.p/\Jq)D.Jp)八q

8.若执行如图所示的程序框图，则输出S的值是（）

3

D.4

2

9.“幻方”最早记载于我国公元前500年的春秋时期《大戴礼》中.“〃阶幻方（〃23,〃€9）”是由前〃2个正整数组

成的一个”阶方阵，其各行各列及两条对角线所含的〃个数之和（简称幻和）相等，例如“3阶幻方”的幻和为15（如

图所示）.则“5阶幻方”的幻和为（）

E□□

□□

LZJ□□

A.75B.65C.55D.45

10.设一个正三棱柱ABC-。砂，每条棱长都相等，一只蚂蚁从上底面ABC的某顶点出发，每次只沿着棱爬行并

爬到另一个顶点，算一次爬行，若它选择三个方向爬行的概率相等，若蚂蚁爬行io次，仍然在上底面的概率为6°,

则几为（）

IJi

A.

3尸544'2

’1、101

C.1"_1D.~1+—

、用2

1

11.数列仅“｝满足：，z=g,—=2。,£用，则数列｝前10项的和为

1020918

A.B.—C.—D.—

21211919

12.已知命题〃：x<27〃+l,q:x2-5x+6<0,且，是《的必要不充分条件，则实数，”的取值范围为()

11,

A.m>—B.m>—C.m>\D.m>1

22

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

22

13.已知片，鸟为椭圆。：亍+4=1的左、右焦点，点P在椭圆。上移动时，耳工的内心/的轨迹方程为

14.在三棱锥尸-ABC中，4?=5,3C=3,C4=4,三个侧面与底面所成的角均为60°,三棱锥的内切球的表面

积为.

15.如图，直线/是曲线y=/(x)在x=3处的切线，则/(3)=.

2x-y<6

16.设x,，满足约束条件,x+yN3,若z=x+3y+a的最大值是10,则。=.

)43

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图，四棱锥尸-ABCD中，底面43CD是菱形，对角线AC,8。交于点为棱的中点,

MA=MC.求证：

(1)PB//平面AMC；

(2)平面PBD_L平面AMC.

18.(12分)选修4-5：不等式选讲

已知函数/(x)=|x-2|

(I)解不等式/(x)+/(2x+l)»6；

(U)对a+Z?=l(a,0>0)及VxeR,不等式/(x—机)—/(—x)：恒成立，求实数〃?的取值范围.

19.(12分)某保险公司给年龄在20-70岁的民众提供某种疾病的一年期医疗保险，现从10000名参保人员中随机抽

取100名作为样本进行分析，按年龄段[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]分成了五组，其频率分布直方图如

下图所示；参保年龄与每人每年应交纳的保费如下表所示.据统计，该公司每年为这一万名参保人员支出的各种费用

为一百万元.

年龄

[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70]

(单位：岁)

保费

X2x3x4x5x

(单位：元)

(1)用样本的频率分布估计总体分布，为使公司不亏本，求》精确到整数时的最小值看；

⑵经调查，年龄在[60,70]之间的老人每50人中有1人患该项疾病(以此频率作为概率).该病的治疗费为12000元，

如果参保，保险公司补贴治疗费10000元.某老人年龄66岁，若购买该项保险(X取(1)中的%).针对此疾病所支付的费

用为x元；若没有购买该项保险，针对此疾病所支付的费用为y元.试比较x和y的期望值大小，并判断该老人购买

此项保险是否划算？

X2

20.(12分)设函数/>(x)=21n(x+l)+,.

x+1

(I)讨论函数f(x)的单调性；

(II)如果对所有的XN0,都有/(x)wax,求。的最小值；

(ni)已知数列｛%｝中，q=l,且(1-4+1)(1+凡)=1,若数列｛%｝的前n项和为S”，求证：

21.(12分)已知函数/'(x)=ar-lnx—l(aeH).

(1)讨论/(x)的单调性并指出相应单调区间;

13

(2)若80)=5*2一%_］一/(©，设＜%2)是函数g(x)的两个极值点，若aNj，且g(xj-g(马)？攵恒

成立，求实数〃的取值范围.

22.(10分)已知椭圆C:0+夕=1(。＞6＞0)的短轴长为26,左右焦点分别为月，F2,点3是椭圆上位于第一

象限的任一点，且当8月.而=()时，|配］=|.

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若椭圆。上点A与点8关于原点。对称，过点8作3。垂直于x轴，垂足为。，连接AQ并延长交。于另一点

M，交y轴于点N.

(i)求△QDN面积最大值；

(ii)证明：直线与/泌斜率之积为定值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

根据函数奇偶性的性质即可得到结论.

【详解】

解：•・•/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，

.../(—X)=-/(%),g(—x)=g(x),

f(-x)-g(-x)=-f(x)-g(x),故函数是奇函数，故A错误,

l/(-x)|.g(-x)=|f(x)卜g(x)为偶函数,故8错误，

f(一加g(f)|=-f(X)4g(X)I是奇函数,故C正确.

"(-x).g(-x)Hf(x).g(x)|为偶函数,故。错误，

故选：C.

【点睛】

本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.

2.C

【解析】

由几何概型的概率计算，知每次生成一个实数小于1的概率为工，结合独立事件发生的概率计算即可.

3

【详解】

1/1y1

•••每次生成一个实数小于1的概率为一....这3个实数都小于1的概率为上.

327

故选：C.

【点睛】

本题考查独立事件同时发生的概率，考查学生基本的计算能力，是一道容易题.

3.A

【解析】

可得集合B,求出补集孰8,再求出AC(CRB)即可.

【详解】

由Jx-2>0,得x>2,即B=(2,+oo),

所以CRB=(-oo,2],

所以4c(CM)=(l,2].

故选:A

【点睛】

本题考查了集合的补集和交集的混合运算，属于基础题.

4.A

【解析】

/、/、blab3a/

设2(4k),。(工2，%)，直线PQ的方程为x=—c,联立方程得到X+%=仅2_丁卜X必=仅2_*02'

根据向量关系化简到b2=9a2，得到离心率.

【详解】

设尸（百，弘）,。@2，必），直线PQ的方程为x

b

x=-y-c,

a整理得仅4_小2_2加0+•4=0,

联立22

2ab^a2b4

贝Ui二尸一二尸p.

因为O7=go[+；oC，所以尸为线段QG的中点，所以刈=2y,

（必+%）2=2=4a2」692-〃2卜2_4。

整理得方=9瓜,

%%2（h2-a2^c2a2b4（b2-a2）

故该双曲线的离心率e=J记.

【点睛】

本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.

5.C

【解析】

7T

先利用三角恒等变换将题中的方程化简，构造新的函数y=2sin（x+J）,将方程的解的问题转化为函数图象的交点问

6

题，画出函数图象，再结合上一回之乃，解得，〃的取值范围.

【详解】

由题化简得J5sinx+cosx=，?j，m=2sin（x+二）,

6

TT

作出y=2sin（尤+/）的图象,

6

又由后一万易知.

故选：c.

【点睛】

本题考查了三角恒等变换，方程的根的问题，利用数形结合法，求得范围.属于中档题.

6.D

【解析】

易知.f(x)单调递增，由/(1)=0可得唯一零点m=1，通过已知可求得0<〃<2,则问题转化为使方程

14

工2一依一〃+3=o在区间［r(),2］上有解，化简可得a=x+l+-——2，借助对号函数即可解得实数a的取值范围.

【详解】

易知函数/(x)=e*T+x-2单调递增且有惟一的零点为相=1,所以|1一〃区1,.•.()«〃42,问题转化为：使方程

X?+3(x+1)'—2(x+1)+4

V—以_〃+3=0在区间［0,2］上有解，即a尤+1+-------2

x+l

在区间［0,2］上有解，而根据“对勾函数”可知函数y=x+1+匕-2在区间［0,2］的值域为［2,3］2WaW3.

故选D.

【点睛】

本题考查了函数的零点问题，考查了方程有解问题，分离参数法及构造函数法的应用，考查了利用“对勾函数”求参数取值

范围问题，难度较难.

7.A

【解析】

分别判断命题"和4的真假性，然后根据含有逻辑联结词命题的真假性判断出正确选项.

【详解】

对于命题P,由于sin(x+;r)=-sinx,所以命题，为真命题.对于命题夕，由于a>0,由竺三>。解得一a<x<a,

a-x

且/(-x)=ln匕=ln"土=-In—=-/(%),所以/(x)是奇函数，故4为真命题.所以〃人"为真命题.

a+x\a-xJa-x

(r?)v(-^)、pA(-,«7),(「p)△彳都是假命题.

故选：A

【点睛】

本小题主要考查诱导公式，考查函数的奇偶性，考查含有逻辑联结词命题真假性的判断，属于基础题.

8.D

【解析】

模拟程序运行，观察变量值的变化，得出S的变化以4为周期出现，由此可得结论.

【详解】

233

5=4/=1;5=—1"=2;5=±,，=3;5=2』=4;5=4』=5；如此循环下去，当，=2020时，5=2;5=4,»=2021,

322

此时不满足，,<2021,循环结束，输出S的值是4.

故选：D.

【点睛】

本题考查程序框图，考查循环结构.解题时模拟程序运行，观察变量值的变化，确定程序功能，可得结论.

9.B

【解析】

计算1+2+-.+25的和，然后除以5,得到“5阶幻方”的幻和.

【详解】

1±25

依题意“5阶幻方”的幻和为1+2+…+25X25«，故选B.

----------=--2------=65

55

【点睛】

本小题主要考查合情推理与演绎推理，考查等差数列前〃项和公式，属于基础题.

10.D

【解析】

由题意，设第〃次爬行后仍然在上底面的概率为外.①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率

21

为②若上一步在下面，则第〃-1步不在上面的概率是1-匕一「如果爬上来，其概率是§(1-两种事件

21

又是互斥的，可得弋ET),根据求数列的通项知识可得选项.

【详解】

由题意，设第“次爬行后仍然在上底面的概率为

2

①若上一步在上面，再走一步要想不掉下去，只有两条路，其概率为

②若上一步在下面，则第〃一1步不在上面的概率是1-匕1,(〃22).如果爬上来，其概率是|(l-^,),(n>2),

两种事件又是互斥的,...匕—即匕［匕i+g."一9?心—£|，

数列｛匕一；｝是以g为公比的等比数列，而4=1，所以勺

101

.,.当“=10时，%+—,

2

故选：D.

【点睛】

本题考查几何体中的概率问题，关键在于运用递推的知识，得出相邻的项的关系，这是常用的方法，属于难度题.

11.A

【解析】

11c1

分析：通过对an-an+i=2ana„+1变形可知---------=2,进而可知an=-~,利用裂项相消法求和即可.

%an2/2-1

11c

=2

详解：Va-4+1=2aM匹］，,~~>

nan+\an

1

XV—=5,

%

.♦.；=：+2（n—3）=2n—l,即4=丁—

4。32〃—1

—=/“一*）中击-备｝

数列｛。也用｝前1()项的和为;++…+2_()=；(1一3)=2,

故选A.

点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子

1”11、1](,——

的结构特点，常见的裂项技巧：(1)—-----^=7----------7'(2)"/,—r=：(,〃+1-6)；(3)

n[n+k)k\nn+kj\Jn+k+>Jnkv'

[=U_j______]=j_&-(〃+1)；〃+2)；此外‘需注意裂项

(2〃—1)(2〃+1)-a12〃—1-2〃+1J；⑷〃(“+l)(〃+2)—5

之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.

12.D

【解析】

求出命题4不等式的解为2<x<3,。是4的必要不充分条件，得夕是P的子集，建立不等式求解.

【详解】

解：：命题〃：了<2相+1，4：12-5%+6<0,即：2cx<3,

。是4的必要不充分条件，

.•.(2,3)C(T»,2〃7+1,),

2/«+1>3,解得机21.实数加的取值范围为〃221.

故选：D.

【点睛】

本题考查根据充分、必要条件求参数范围，其思路方法：

⑴解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参

数的不等式(组)求解.

⑵求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.x2+3y2=1(^0)

【解析】

22

考查更为一般的问题：设尸为椭圆C：=-二=l(a>0,b>0)上的动点，与，鸟为椭圆的两个焦点，/为△尸6尸2的

ab~

内心，求点/的轨迹方程.

解法一：如图，设内切圆/与尸由2的切点为“，半径为「，且FzH=z,PFi=x+j,PF2=x+z,C=行万，则

y+z=2c

2x+y+z=2。

而根据海伦公式，有APFi尸2的面积为+

_,,xa-c

因此有5•攵出=----------=-------.

x+y+za+c

再根据椭圆的斜率积定义，可得/点的轨迹是以尸1F2为长轴，

离心率e满足e2—1=一伫£的椭圆，

a+c

%22

其标准方程为7r+a-c,=1(尸°).

c-c2

Q+C

解法二：令pgcos。力sin。)，则sinew0.三角形尸为民的面积:

S=-2c-|Z?sin回=g(2c+2〃)r,

其中，为内切圆的半径，解得，=丝包4=回|.

a+c

另一方面，由内切圆的性质及焦半径公式得：

(c-x/)-(x/+=\PF}\-\PF2\=(a-ccos0)-(a+ccos0),

从而有a=ccos，.消去。得到点/的轨迹方程为：

a+c

22

本题中：a=Zc=l9代入上式可得轨迹方程为：x+3y=l(y^0).

4%

14.——

3

【解析】

先确定顶点在底面的射影，再求出三棱锥的高以及各侧面三角形的高，利用各个面的面积和乘以内切球半径等于三棱

锥的体积的三倍即可解决.

【详解】

设顶点在底面上的射影为H,"是三角形ABC的内心，内切圆半径厂=1.三个侧面与底面所

成的角均为60°,APAB，APBC,APAC的高PD=PE=PF=2,PH=6,设内

切球的半径为R,(g(3+4+5)x2+gx3x4)xR=3xgx；x3x4x0=66

:.R=B,内切球表面积S=4〃R2=业.

33

故答案为：.

3

【点睛】

本题考查三棱锥内切球的表面积问题，考查学生空间想象能力，本题解题关键是找到内切球的半径，是一道中档题.

1

15.一.

2

【解析】

求出切线/的斜率，即可求出结论.

【详解】

由图可知直线/过点(3,3),

可求出直线/的斜率/21，

3-02

由导数的几何意义可知，r(3)=1.

故答案为:L.

2

【点睛】

本题考查导数与曲线的切线的几何意义，属于基础题.

16.--

2

【解析】

画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可容易求得结果.

【详解】

目标函数z=x+3y+a可转化为/=_；1+^^与直线y=_；x平行,

数形结合可知当且仅当目标函数过点A(|,3),取得最大值，

97

故可得10=-+9+。，解得。=一—.

22

7

故答案为：一

2

【点睛】

本题考查由目标函数的最值求参数值，属基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)详见解析；(2)详见解析.

【解析】

(1)连结OM,根据中位线的性质证明PB//Q0即可.

(2)证明47_1.8。,47，尸〃再证明4。_1平面产比)即可.

【详解】

解：(1)证明：连结。加，

•••O是菱形ABCO对角线AC、BO的交点，

.•.O为8D的中点，

•.•M是棱的中点，

:.OM//PB,

OMu平面AMC,PB仁平面AMC,

,尸8//平面AMC,

⑵解：在菱形ABC。中,4C>LBD,且。为AC的中点,

:.AC±OM,

•：0McBD=O,

.•.4。_1平面23。，

,/ACu平面AMC,

平面PBD_L平面AMC.

【点睛】

本题主要考查了线面平行与垂直的判定,属于基础题.

18.(I)(-oo,-l]U[3,+oo).

(II)-13<w<5.

【解析】

…1

3-3x,x<—,

详解：(I)/(x)+/(2x+l)=|x-2|+|2x-l|=<x+l,|<x<2,

3x-3,x>2.

当x<!时，由3-3x26,解得xW—l；

2

当时，x+126不成立；

2

当x>2时，由3%一3之6,解得X之3.

所以不等式f(x)>6的解集为(-8,-1]U[3,心).

(H)因为a+匕=1(。/>0),

山|、|41/,41A_4Z?ac14ban

所以—I—=(〃+/?)]—+—=5H----1—25+2J—,一二9•

ab\ab)ab\ab

由题意知对X/xcR,|x—2—讨一卜龙—2|<9,

即(卜一2-同一|一%-2kx«9,

因为|x—2—w|—|—x—2〔4|(x—2—/77)—(x+2)|=|-4—,

所以—9+4W9,解得—13＜加＜5.

【点睛】

(1)绝对值不等式解法的基本思路是：去掉绝对值号，把它转化为一般的不等式求解，转化的方法一般有：①绝对值定

义法；②平方法；③零点区域法.

⑵不等式的恒成立可用分离变量法.若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化

为求主元函数的最值，进而求出参数范围.这种方法本质也是求最值.一般有：

①/(x)<g(a)(〃为参数)恒成立=g(a)>/(x)max

②/(x)>g(a)("为参数)恒成立=8(。)</。)皿.

19.(1)30；(2)E(Y)>E(X),比较划算.

【解析】

(1)由频率和为1求出a=0.032,根据”的值求出保费的平均值3.35x,然后解一元一次不等式3.35x2100即可

求出结果，最后取近似值即可；

(2)分别计算参保与不参保时的期望E(X),£(7),比较大小即可.

【详解】

解：(1)由(0.007+0.016+4+0.025+0.020)x10=1,

解得a=0.032.

保险公司每年收取的保费为：

1(XXX)(0.07x+0.16x2x+0.32x3.x+0.25x4x+0.20x5x)=10000x3.35x

二要使公司不亏本，贝!110000x3.35x21000000,即3.35x2100

解得xN生2a29.85,

3.35

%=30.

(2)①若该老人购买了此项保险，则X的取值为150,2150.

491

vP(X=150)=—,P(X=2150)=—

491

二E(X)=150x=+2150x—=147+43=190阮).

5050

②若该老人没有购买此项保险，则y的取值为o.12000.

49I

vp(y=o)=-^,p(y=12000)=—

491

AE(y)=0X—+12000X—=240(76).

5050

E(Y)>E(X)

年龄为66的该老人购买此项保险比较划算.

【点睛】

本题考查学生利用相关统计图表知识处理实际问题的能力，掌握频率分布直方图的基本性质，知道数学期望是平均数

的另一种数学语言，为容易题.

20.(I)函数/(x)在(一1,-2+加)上单调递减，在(-2+虚,+8)单调递增；(H)2；(IH)证明见解析.

【解析】

(I)先求出函数/(x)的导数，通过解关于导数的不等式，从而求出函数的单调区间；

(II)设g(x)=/(x)-ax,先求出函数g(x)的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调性，从而求出a的最

小值；

(皿)先求出数列L是以'=1为首项，1为公差的等差数列，。,用=」一，问题转化为证明：

anJn几+1

7/1、〃.II1

小(〃+1)+―n〈1+7+1+~+一，通过换元法或数学归纳法进行证明即可.

2(及+1)23n

【详解】

x2+4x+2

解：(I)/(X)的定义域为(-1,+00),f\x)=~~丁，

当_1Vx<—2+及时，f(X)<2,当x>—2+夜时，r(X)>2,

所以函数f(x)在(-1，-2+闾上单调递减，在(-2+行,+8)单调递增.

,、V-2

(II)设g(x)=2/〃(x+l)d-----ax9

2

,/\x+4x+2(x+1)"+2(x+l)-l12n

则n1g(尤)=一(_a=__L——a=-(---i)-+2-a,

(x+1)(x+l)x+l

因为xN2,故—IV—(」一—I)?KO,

x+1

(i)当生1时，1-aW2,gf(x)<2,所以g(x)在［2,+oo)单调递减，

而g(2)=2,所以对所有的xN2,g(x)<2,即/(x)<<ix；

2—a+J2—a

(ii)当IVaVl时，2V1-aVL若XG0,-----------，则g，(x)>2,g(x)单调递增，

2—Q+J2—Z

而g(2)=2,所以当工£0,-------；----时，g(x)>2,即/(x)>ax；

\a-I7

r

(iii)当Q勺时，l-a>l,g(x)>2,所以g(x)在［2,+oo)单调递增，

而g(2)=2,所以对所有的x>2,g(x)>2,即/(x)>ax；

综上，〃的最小值为L

(HI)由(l-4〃+i)(1+。〃)=1得，。〃+1=。〃•斯+1,由田=1得，。#2,

11,1111

所以--------=1,数列一是以一=1为首项，1为公差的等差数列，

“用册an4

1

S>—"-Inax(〃+1)-I--—-<1H---1---F•・・十—

n+]

“2an、)2(〃+1)23n

火2

由(II)知。=1时，2加(x+l)+---<2x,x>2,

'7x+1

即勿(x+l)+—----,x>2.

2(x+l)

1,»+11

法一：令*=上，得/〃——+<-9

nnn

即/〃(〃+1)-/〃〃+'仕11<-

n

n

因为Z/〃〃氏+/〃(鹿+1)+

2(〃+1)'

k=I_

所以勿(〃+1)+岛<+<+:+…+5

故S”〉$1一切6+1.

法二：S“>^--lnan+]^+-+-+-■■+->ln(n+l)+

2(1n23n2(〃+1)

下面用数学归纳法证明.

d1

(1)当〃=1时，令X=1代入/〃(x+l)+:^—即得1>历2+—,不等式成立

2(x+l)4

（1）假设（上GN*,A>1）时，不等式成立，

即1+』+,+.一+1>/〃（z+1）H———~,

即23k'）2（k+\y

.1111^,/,k1

Oil]〃=A+1时1H---1---1-…-I---1----->l/t（k+1n）T---1----rH-----

川23kk+1'，2（4+1）女+1，

1/2

令X=----代入勿（1+1）+­；^----r<X,

Z+lV72（x+l）

1、.k+21，/，八k1、，“八k,k+21

付Z+1攵+12（攵+1）（2+2）'72（攵+1）k+]'，2（攵+1）Z+12（攵+1）（左+2）

二见"2）+瑞得J=W+2）+蒜J，

,1111、，/,c\2

即.1H---1---F…-I---1----->/〃（攵+2）-1---；-----T,

即・23k女+1V）2（k+2y

1Il1、//1\〃

由（D（1）可知不等式1+;+鼻+…〃（几+1）+不二不对任何〃£N”都成立.

23〃2（〃+1）

故S“>g±L-/〃a“+1.

考点：1利用导数研究函数的单调性；1、利用导数研究函数的最值；3、数列的通项公式；4、数列的前〃项和；5、

不等式的证明.

15,C

21.(1)答案见解析(2)-oo,----2In2

8

【解析】

HY—1

(1)先对函数进行求导得尸(x)=-----,对。分成〃＜0和。＞0两种情况讨论，从而得到相应的单调区间；

x

(2)对函数g(x)求导得,(幻=厂一("+DX+I,从而有＞+々=1+1,玉工2=1，々=，,三个方程中利用。2]

xx\2

得到0＜玉Wg.将不等式g(内)一g(w)＞k的左边转化成关于内的函数，再构造新函数利用导数研究函数的最小值,

从而得到A的取值范围.

【详解】

解：（1）由/（x）=ax-Inx-l,XG（0,+OO）,

1_ax-1

贝（If\x）=a

xX

当。<0时，则/'（x）W0,故/（X）在（0,+8）上单调递减

当4>0时，令/'（x）=0=>x=—,

a

所以/（X）在（0,：）上单调递减，在+8）上单调递增.

综上所述：当a40时，八幻在（。,+8）上单调递减;

当a>（）时，f（x）在（0,，］上单调递减，在上单调递增.

kci）

（2）Vg（x）=lnx+—x-（4Z+l）x,

厂一(q+l)x+1

g'(x)=—+x—(a+l)=

x