人教A版高一暑假作业8统计与概率

人教A版高一暑假作业8：统计与概率学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.(2022·山东省·单元测试)某校为了了解高一学生的学习规划情况，在高一年级6个班级中任选两个班级，并在所选的班级中按男女比例抽取样本，则应采用的抽样方法是(

)A.简单随机抽样 B.分层随机抽样

C.先用分层随机抽样，再用简单随机抽样 D.先用简单随机抽样，再用分层随机抽样2.(2022·山东省·单元测试)“民以食为天，食以安为先”．食品安全是关系人们身体健康的大事．某店有四类食品，其中果蔬类、粮食类、动物性食品类、植物油类分别有48种、24种、30种、18种，现从中抽取一个容量为40的样本进行食品安全检测．若采用分层随机抽样的方法抽取样本，则抽取的动物性食品类种数是(

)A.10 B.9 C.8 D.73.(2023·河南省·模拟题)为迎接北京2022年冬奥会，小王选择以跑步的方式响应社区开展的“喜迎冬奥爱上运动”如图健身活动.依据小王2021年1月至2021年11月期间每月跑步的里程单位：十公里数据，整理并绘制的折线图如图根据该折线图，下列结论正确的是.(

)

A.月跑步里程逐月增加

B.月跑步里程的极差小于15

C.月跑步里程的中位数为5月份对应的里程数

D.1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更大4.(2022·广东省·单元测试)用0，1，2，3，4表示一天中有雨，用5，6，7，8，9表示一天中无雨．现由计算机随机模拟生成了连续两天是否有雨的20组数据如下：根据以上模拟数据计算，在第一天有雨的条件下，第二天也有雨的概率为(

)A. B. C. D.5.(2022·山东省·联考题)2021年7月至2022年7月，我国居民消费价格保持平稳，居民消费价格涨跌幅如图所示，则（）备注：同比增长率，环比增长率

A.2022年1月全国居民消费价格比2021年1月全国居民消费价格有所下降

B.2022年5月全国居民消费价格比2022年4月全国居民消费价格有所上升

C.2021年7月至2022年7月全国居民消费价格同比增长率的分位数为

D.2021年10月至2022年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为6.(2022·全国·月考试卷)已知，，则函数在区间上为增函数的概率是(

)A. B. C. D.7.(2022·青海省·历年真题)某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，且记该棋手连胜两盘的概率为p，则(

)A.p与该棋手和甲、乙、丙的比赛次序无关 B.该棋手在第二盘与甲比赛，p最大

C.该棋手在第二盘与乙比赛，p最大 D.该棋手在第二盘与丙比赛，p最大8.(2022·辽宁省·单元测试)某地有A，B，C，D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的．对于C因为难以判定是受A还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是同样也假定D受A，B和C感染的概率都是在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率是(

)A. B. C. D.二、多选题（本大题共4小题，共分。在每小题有多项符合题目要求）9.(2022·北京市·单元测试)是衡量空气质量得重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即规定日均值小于时空气质量为一级．如图是某地12月1日至10日的单位：的日均值，则下列说法正确的是.(

)

A.这10天中有3天空气质量为一级 B.从6日到9日日均值逐渐降低

C.这10天中日均值的中位数是60 D.这10天中日均值的平均值是4510.(2023·安徽省淮南市·单元测试)某团队共有20人，他们的年龄分布如表所示，年龄28293032364045人数1335431有关这20人年龄的众数、极差、百分位数说法正确的有(

)A.众数是32 B.众数是5 C.极差是17 D.分位数是3011.(2023·浙江省杭州市·单元测试)设M，N为两个随机事件，则下列说法正确的是(

)A.若M，N为互斥事件，且，，则

B.若，，，则M，N为相互独立事件

C.若，，，则M，N为相互独立事件

D.若，，，则M，N为相互独立事件12.(2023·江苏省·单元测试)一工厂将两盒产品送检，甲盒中有4个一等品，3个二等品和3个三等品，乙盒中有5个一等品，2个二等品和3个三等品．先从甲盒中随机取出一个产品放入乙盒，分别以，和表示由甲盒取出的产品是一等品，二等品和三等品的事件；再从乙盒中随机取出一产品，以B表示由乙盒取出的产品是一等品的事件．则下列结论中正确的是(

)A.； B.；

C.事件B与事件相互独立； D.，，是两两互斥的事件．三、填空题（本大题共4小题，共20分）13.(2023·四川省眉山市·月考试卷)我国古代数学名著《九章算术》有一抽样问题：“今有北乡若干人，西乡七千四百八十八人，南乡六千九百一十二人，凡三乡，发役三百人，而北乡需遣一百零八人，问北乡人数几何？”依分层抽样的方法，则北乡共有__________人.14.(2023·广东省·单元测试)一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当，时称为“凹数”如213，312等，若a，b，，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率是__________.15.(2023·安徽省·期末考试)已知样本的各个个体的值由小到大依次为2，3，3，7，a，b，12，13，19，，且样本的中位数为，则__________;若要使该样本的方差最小，则__________.16.(2022·江西省南昌市·单元测试)水痘是一种传染性很强的病毒性疾病，易在春天爆发．市疾控中心为了调查某校高一年级学生注射水症疫苗的人数，在高一年级随机抽取5个班级，每个班抽取的人数互不相同，若把每个班级抽取的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值是__________.四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.(2022·云南省·单元测试)本小题10分数据，，，的方差，证明：所有的都相同．18.(2022·湖北省十堰市·期末考试)本小题12分

某城市100户居民的月平均用电量单位：度，以分组的频率分布直方图如图．求直方图中x的值；求月平均用电量的众数和中位数；在月平均用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？19.(2023·山西省·期中考试)本小题分某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛．为了了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3000名初中生、4000名高中生中进行问卷调查，如果要在所有问卷中抽出120份用于评估．应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？要从3000份初中生的问卷中抽取一个容量为48的样本，若采用简单随机抽样，则应如何操作？20.(2023·安徽省蚌埠市·月考试卷)本小题12分某社区举办《“环保我参与”有奖问答比赛》活动，某场比赛中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是若各家庭回答是否正确互不影响．求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；求甲、乙、丙三个家庭中不少于2个家庭回答正确这道题的概率．21.(2020·安徽省合肥市·同步练习)本小题12分在某亲子游戏结束时有一项抽奖活动，抽奖规则是：盒子里面共有4个小球，小球上分别写有0，1，2，3的数字，小球除数字外其他完全相同，每对亲子中，家长先从盒子中取出一个小球，记下数字后将小球放回，孩子再从盒子中取出一个小球，记下小球上数字将小球放回.抽奖活动的奖励规则是：①若取出的两个小球上数字之积大于4，则奖励飞机玩具一个;②若取出的两个小球上数字之积在区间内，则奖励汽车玩具一个;③若取出的两个小球上数字之积小于1，则奖励饮料一瓶.求每对亲子获得飞机玩具的概率;试比较每对亲子获得汽车玩具与获得饮料的概率，哪个更大?请说明理由.22.(2023·山东省·月考试卷)本小题12分某校在课外活动课上连续开展若干项体育游戏，其中一项为“扔沙包”的游戏．其规则是：将沙包扔向指定区域内，该区域共分为A，B，C三个部分．如果扔进A部分一次，或者扔进B部分两次，或者扔进C部分三次，即视为该项游戏过关，并进入下一项游戏．小杨每次都能将沙包扔进这块区域内，若他扔进A部分的概率为p，扔进B部分的概率是扔进A部分的概率的两倍，且每一次扔沙包相互独立．若小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为，求p；设小杨第二次扔完沙包后，游戏过关的概率为；设小杨第四次扔完沙包后，恰好游戏过关的概率为，试比较与的大小．1.【答案】D

【解析】【分析】本题主要考查抽样的几种方法，理解这几种抽样所适用的情况是解题的关键，属于基础题.

该题6个班级任选两个，首先基数小，且强调任意性，所以是随机抽样，接着按男女比例抽取一定比例，符合分层抽样的特点.【解答】解：某校为了了解高一学生的学习规划情况，在高一年级6个班级中任选两个班级，利用简单随机抽样，并在所选的班级中按男女比例利用分层随机抽样法抽取样本，

应采用的抽样方法是先用简单随机抽样，再用分层随机抽样.

故选2.【答案】A

【解析】【分析】本题考查了分层随机抽样，解题的关键是计算抽样比.首先计算出抽样比为，即可计算出抽取的动物性食品类种数.【解答】解：因为，

所以抽取的动物性食品类的种数是故选：3.【答案】C

【解析】【分析】本题考查折线图，属于较易题．

对折线图数据分析处理，逐一检验选项即可得解．【解答】解：对于A，由折线图可知，月跑步里程的最小值出现在2月，故A错误；

对于B，月跑步里程的极差为，故B不正确；

对于C，月跑步里程数对应的月份从小到大排列为2月、8月、3月、4月、1月、5月、7月、6月、11月、9月、10月，故5月份对应的里程数为中位数，故C正确；

对于D，1月至5月的月跑步里程相对于6月至11月的月跑步里程波动性更小，变化比较平稳，

所以1月至5月的月跑步里程的方差相对于6月至11月的月跑步里程的方差更小，故D错误．

故选4.【答案】C

【解析】【分析】本题考查用随机模拟方法估计概率，根据题意写出满足条件的情况即可求出概率，属拔高题.【解答】解：由题意可知20组模拟数据中，在第一天有雨的10种情况下，第二天也有雨的情况有：02，34，34，14，所以所求概率为故选5.【答案】D

【解析】【分析】本题考查折线统计图，百分位数，平均数的计算，属于中档题.

观察图中各月全国居民消费价格同比变化情况可判断A，观察图中各月全国居民消费价格环比变化情况可判断B，将2021年7月至2022年7月全国居民消费价格同比增长率从小到大排列，由百分位数概念计算可判断C，根据平均数计算方法求出2021年10月至2022年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数可判断【解答】解：因为2022年1月全国居民消费价格同比上涨，所以2022年1月全国居民消费价格比2021年1月全国居民消费价格有所上升，A错误.

因为2022年5月全国居民消费价格环比下降，所以2022年5月全国居民消费价格比2022年4月全国居民消费价格有所下降，B错误.

2021年7月至2022年7月全国居民消费价格同比增长率从小到大依次为，，，，，，，，，，，，，因为，所以该组数据的分位数为，C错误.

2021年10月至2022年7月全国居民消费价格环比增长率的平均数为，D正确.

故选6.【答案】A

【解析】【分析】本题考查古典概型的计算与应用，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用，属于中档题.

先求出样本空间样本点个数，再求出函数在区间上为增函数满足条件的样本点个数，由此能求出函数在区间上为增函数的概率.【解答】解：，，

样本空间样本点个数，

函数在区间上为增函数，由条件可知，

①当时，，符合条件的只有：，即，；

②当时，需要满足，符合条件的有：，，，，共4种.

函数在区间上为增函数的概率是

故选7.【答案】D

【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式，属于中档题.

已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以p受比赛次序影响，A错误；再计算第二盘分别与甲、乙、丙比赛连赢两盘的概率，比较大小即可．【解答】解：A选项，已知棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率不相等，所以p受比赛次序影响，故A错误；

设棋手在第二盘与甲比赛连赢两盘的概率为，

棋手在第二盘与乙比赛连赢两盘的概率为，

棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率为，

，

，

，

，，

所以最大，即棋手在第二盘与丙比赛连赢两盘的概率最大．

故选8.【答案】C

【解析】【分析】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，属于拔高题．

在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染包含的情况有3种：①B，C两人直接由A感染，D由B感染；②B，D两人直接由A感染，C由B感染；③B，C两人直接由A感染，D由C感染．由此能求出在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率．【解答】解：某地有A，B，C，D四人先后感染了传染性肺炎，其中只有A到过疫区，B确定是受A感染的．

对于C因为难以判定是受A还是受B感染的，于是假定他受A和B感染的概率都是

同样也假定D受A，B和C感染的概率都是

在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染包含的情况有3种：

①B，C两人直接由A感染，D由B感染；

②B，D两人直接由A感染，C由B感染；

③B，C两人直接由A感染，D由C感染．

在这种假定下，B，C，D中恰有两人直接受A感染的概率是：

故选：9.【答案】AB

【解析】【分析】本题考查利用折线图判断命题真假性的应用问题，属于基础题．

根据已知图中的数据对应各个选项逐个计算判断即可求解．【解答】解：对于选项A：由图可知1，3，4日的日均值小于，故A正确，

对于选项B：由图可知从6日到9日日均值逐渐降低，故B正确，

对于选项C：这10天的日均值从小到大排列为：30，32，34，40，41，45，48，60，78，80，所以中位数为，故C错误，

对于选项D：10天的平均数为，故D错误.

故选：10.【答案】ACD

【解析】【分析】本题考查了众数、极差和百分位数的应用问题，是基础题．

根据表中数据，分别计算这组数据的众数、极差和百分位数即可．【解答】解：根据表中数据知，这20个人年龄的众数是32，选项A正确、B错误；

极差是，选项C正确；

因为，所以分位数是30，选项D正确．

故选：11.【答案】ABC

【解析】【分析】本题考查互斥事件与对立事件，互斥事件与相互独立事件的判断，相互独立事件同时发生的概率等知识，属于中档题.

结合相关概念，依次对各选项进行判断，即可得解.【解答】解：若M，N为互斥事件，且，，

则，故A正确；

若，，，

则，

所以M，N为相互独立事件，故B正确；

若，，，

则，，

所以M，N为相互独立事件，故C正确；

若，，，

则，，

所以M，N不是相互独立事件，故D错误．

故选12.【答案】ABD

【解析】【分析】本题考查了条件概率、全概率公式，互斥事件与相互独立事件的判断，属于中档题.

由已知可得到，，，，即可判断B；根据全概率公式判断A；根据相互独立事件的概念判断C；根据互斥事件的概念判断【解答】解：由题可得，，

，，故B正确；

，故A正确；

，

显然，

所以事件B与事件不相互独立，故C错误；

从甲盒中随机取出一个产品，当“取出一等品”时，此时事件、一定不会发生，

即，，是两两互斥的事件，故D正确；

故选13.【答案】8100

【解析】【分析】本题考查了分层抽样原理的应用问题，是基础题．

根据分层抽样时抽取的比例相等，列方程求出结果．【解答】解：设北乡共有x人，根据分层抽样原理知，

，

解得

故答案为：14.【答案】

【解析】【分析】本题主要考查了古典概型，属于基础题.

首先找到组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点数，再找到“凹数”的个数，用古典概型的知识相除即可.【解答】解：

组成各个数位上的数字不重复的三位自然数的样本点共有24个，

而满足三位数是“凹数”的有214，213，312，314，324，412，413，423共8个，

所以这个三位数为“凹数”的概率为

故答案为15.【答案】21110【解析】【分析】本题考查一组数据的中位数、平均数的应用，考查方差的理解与应用，考查配方法及运算求解能力，属于中档题．

根据中位数的定义得到a与b的关系式，要求总体的方差最小，即要求最小，利用a与b的关系式消去a，得到关于b的二次式，利用配方法可求出函数的最小值即可得到a和b的值【解答】解：由样本的中位数为，即，则，

平均数为，

要使样本方差最小，

即最小．

又

，

，，

当或10时，取得最小值．

又，

，，或，，

，

故答案为：21；

16.【答案】10

【解析】【分析】本题考查样本据中的最大值的求法，考查平均数、方差的性质，考查运算求解能力，是拔高题.

由题意得：，，设，分别为，，展开利用二次函数的性质能求出样本据中的最大值.【解答】解：设5个班级的数据分别为，且，

则，

，

设分别为，

则，

设

，

，，

，，

，

样本数据中的最大值为

故答案为17.【答案】证明：因为平均数，

方差，

又因为，

所以，

故所有的都相同.

【解析】本题考查数据的平均数，方差公式，属于基础题.

求出平均数，根据方差公式判断出，即可证明.

18.【答案】解：由直方图的性质可得，解方程可得，直方图中x的值为；

由直方图知：月平均用电量的众数是，

，

月平均用电量的中位数在内，

设中位数为a，

由，

可得，

月平均用电量的中位数为224；

月平均用电量为的用户有，

月平均用电量为的用户有，

月平均用电量为的用户有，

月平均用电量为的用户有，

抽取比例为，

月平均用电量在的用户中应抽取【解析】本题考查频率分布直方图及众数和中位数以及分层随机抽样.由直方图的性质可得，解方程可得；

由直方图中众数为最高矩形的中点，求得众数，分析得中位数在内，设中位数为a，解方程即可得；

可得各段的用户分别为25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的户数．

19.【答案】解：由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不会相同，所以应当采取分层随机抽样的方法进行抽样．

因为样本容量为120，总体容量为，

则抽样比为，

所以，，，

故在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，

分层随机抽样的步骤：

①分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层；

②根据抽样比确定每层抽取问卷的数目，在教职员工、初中生、高中生中抽取的问卷数分别是8，48，64；

③各层分别按简单随机抽样的方法抽取样本；

④综合每层抽样，组成样本．

这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论．

简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法，

如果用抽签法，要做3000个号签，费时费力，因此采用随机数法抽取样本，

步骤是：第一步，将3000份问卷都编上号码：0001，0002，0003，…，3000；

第二步，用随机数工具产生范围内的随机数；

第三步，把产生的随机数作为抽中的编号，使编号对应的问卷进入样本；

第四步，重复上述过程，直到产生的不同编号等于样本所需要的数量．

【解析】本题主要考查分层随机抽样，简单随机抽样，属于中档题.

样本容量为120，总体容量为7500，得出