《课程标准》的分析

《课程标准》的分析

向量具有丰富的现实背景和物理背景，向量是近代数学中的重要和基本的数学概念之一,

它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本章中，学生将

了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义。能用向量语言和方法表述和解决

数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。

《普通高中数学课程标准（实验）》对本节课的要求如下：

①通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数

与向量积的几何意义,掌握实数与向量的积的运算律。

②通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和

积极进取精神。通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用。

从以上的背景分析可以看出，数乘运算既是本节课的重点，也是难点。为了突破这一难

点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“位移”的实例都发挥了重要作用。

综上所述，结合“课标”要求和学生实际，我将本节课的教学目标定为：

1、知识与能力

通过经历探究数乘运算法则及其几何意义的过程，掌握实数与向量积的定义；理解实数

与向量积的几何意义；掌握实数与向量积的运算律。

2、过程与方法

通过师生互动、生生互动理解数乘向量共线的的定义、几何意义和运算律。

师生共同探究法、学生独立自主探究法，学生分组合作探究法培养学生既能独立思考，又能

积极与他人合作交流的意识和勇于探索创新的精神。

3、情感态度与价值观

通过探究，体会类比迁移的思想方法，渗透研究新问题的思想和方法（从特殊到一般、

分类讨论、转化化归、观察、猜想、归纳、类比、总结等）；培养创新能力和积极进取精神；

通过具体问题，体会数学在实际生活中的重要作用。

依据数学课程改革应关注知识的发生和发展过程的理念，结合本节课的知识的逻辑关系,

确定教学策略如下：以启发式教学为主，设置层层问题,采用多种探究方法相结合的方式。

教材分析

背景

平面向量

I几何表示II符号表示II坐标表示I

一、本章内容结构

二、教材分析

向量的数乘运算,是在学习了向量的加法和减法后进行的。其实是加法运算的推广及简化,

与加法、减法统称为向量的三大线性运算.教学时从加法入手,引入数乘运算,充分展现了数学知

识之间的内在联系.实数与向量的乘积,仍然是一个向量,既有大小,也有方向.特别是方向与己

知向量是共线向量,进而引出共线向量定理.共线向量定理是本章节中重要的内容,应用相当广

泛,且容易出错.尤其是定理的前提条件:向量a是非零向量.共线向量定理的应用主要用于证明

点共线或平行等几何性质,且与后续的知识有着紧密的联系.

三、三维目标

1.通过经历探究数乘运算法则及几何意义的过程,掌握实数与向量积的定义,理解实数与

向量积的几何意义,掌握数乘向量的运算律.

2.通过探究,体会类比迁移的思想方法,渗透研究新问题的思想和方法，培养创新能力和积极进

取精神.通过解决具体问题,体会数学在生活中的重要作用.

重点难点

教学重点:1.数乘向量定义.2.数乘向量的几何意义.3.数乘向量的运算律.

教学难点:理解数乘向量的定义和向量的线性运算。

学情分析

1、学习任务分析

向量的数乘运算是继向量的加、减运算之后的又一重要运算，也是高中数学的一个重要

概念，在数学、物理等学科中应用十分广泛。本节内容教材共安排一课时，主要研究数乘运

算、其几何意义及其应用。

本节课的主要学习任务是通过物理中“位移”的事例抽象出向量数乘运算的概念，在此

基础上探究数乘运算的定义与运算律，使学生体会类比的思想方法，进一步培养学生的抽象

概括和推理论证的能力。其中数乘运算的定义既是对物理背景的抽象，又是研究几何意义和

运算律的基础。

2、学生情况分析

学生在学习本节内容之前，已熟知了向量的概念，掌握了向量的加、减运算，具备了位

移等物理知识，并且初步体会了研究向量运算的一般方法：即先由特殊模型（主要是物理模

型）抽象出概念，然后再从概念出发，在与实数运算类比的基础上研究运算律。这为学生学

习向量数乘运算做了很好的铺垫，使学生倍感亲切。

3、学生学习活动分析

学生在已经学习了近一学期的高中课程内容后，在思想和思维模式上已经适应了高中的

课程和高中的教学方式。学生能适应自主探究、师生互动的学习方式，动手操作能力强，勇

于创新，敢于发表自己的见解。只要教师创设情境合理，精心设计问题串，循序渐进层层深

入，学生能很快地构建起新的数学知识，教师只要作必要的归纳，就会帮助学生上升到理性

认识的层面。同时为了更熟练地掌握知识和应用知识，需加强学生的课堂练习。

§2.1.4数乘向量

一、教学目标:

知识目标:

1、掌握数乘向量的定义，理解数乘向量的几何意义;

2、掌握数乘向量的运算律。

能力目标：

1.通过阐述向量数乘运算，使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想；

2.在数形结合的原则下启发学生发现问题、分析问题、解决问题，培养学生的观察、分析、

归纳、类比的思维能力。

德育目标：

1.培养学生遇到问题分析思考问题，并借助所掌握的知识解决问题的探究精神；

2.使学生理解事物之间可以相互转化的辩证思想。

二、教学重点与难点：

重点：掌握数乘向量的定义、运算律。

难点：理解数乘向量的定义和向量的线性运算。

三、教学方法：

这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.在向量加法的基础上引入数乘向量

的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问

题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.

四、教学过程：

环节教学内容师生互动设计意图

复习旧知

借助PPT

1,向量的加法：向量加法三角形法则的特点：首尾顺接连首尾，第一为学习数

回顾知识

个向量的起点指向最后一个向量的终点。向量加法平行四边形法则的特点：乘向量打

复

公共起点出发的对角线。教师启发好知识基

学生思考础，了解

习

2、向量的减法：向量减法平行四边形法则的特点：共起点连终点，指

回答。学生掌握

向被减向量。Z-5可以表示为从减向量.的终点指向被减向量a的终点的向量。

相关知识

的情况。

探究1.已知非零向量a,求作：在向量加

法的基础

(1)a+a+a；

上引入数

乘向量的

(2)(―a)+(—a)+(—a).

定义，符合

教师提出学生认知

问题，引规律，有利

导

入课题.于概念的

入同化.

请观察3a与一3a是否还是一个向量，它的长度与方向有何变化.

探究2.已知虎，把线段AB/

学生观察

/

解答.

三等分，分点为P,Q，则方，/

病，笳与症的关系如何？

1.数乘向量的定义教师由具培养学生

体例子引由特殊到

实数人和向量7的乘积是一个向量，记作入

导学生得一般的归

到数乘向纳总结能

向量/U("WO,AWO)的长度与方向规定为：

量的定义.力.

11

⑴|相|=|A||a|；紧扣

向量的两

(2)当入＞0时，X。与。的方向相同；当入＜0时，入。与a的方要素分析

向相反.定义，便

于理解数

111111

当A=0时，0〃=0；当a=0时，A0=0.乘向量的

几何意

义.

探究3：数乘向量的几何意义。

rrirrir

作a,2a,—a,・2a,——a・,对比探究得出数乘向量的几何意义。

22

结论：数乘向量的几何意义就是把向量;沿着)的方向或:的反方

新

向放大或缩小。

类比实数

课

的运算.

111111师生合作

练习任作向量。，再作出向量一3a,?a,一并说出它们的几

讲完成.

何意义.

授

探究4：

(1)根据定义，求作向量3(2力和6)(：为非零向量)，并进行比较。

结论：3(2a)=6a,(2+4)a=2a+4a

其*3(2泊

教师提出

归纳学

।3(2加=6a问题.

习，有感

——•———一性认知上

♦学生观察

(2)已知向量〃、b,求作向量2(〃+b)和2。+2人，并进行比较。

升到理性

解答.

结论：2(a+b)=2a+2b认知。

a。2(a咖/2a+2>^y^

师生合作

aaa

完成.

3.数乘向量运算的运算律，设儿〃eR,有：

11有实数运

(1"(〃“)=(")a；

算法则做

新

111基础，学

(2)(4+〃)a=Aa+^a；

生解决这

课

i一ii部分题目

(3)A(cih)=Aci+Ab.

讲很容易，

请观察，数乘向量运算律与实数乘法运算律有什么相似之处？提醒学生

授

向量上加

向量的线性运算仍是向量。向量的加法、减法和数乘向量的综合运算

箭头.

统称为向量的线性运算。学生练习

巩固.

例1计算下列各式：

教师引导

]I1111

(1)(-2)X-a；(2)2(a+b)-3(a-b)；学生完

成.

iiii

(3)(%+〃)(〃一b)—(A—曲a+b).

I1111

解(1)(-2)x-a=(-2x5)。=一。；

1111

(2)2(a+b)-3a-b)

1111

=2Cl——3U+2方+3%

iiii

=(2—3)a+(2+3)b=—a+5b.

iiii

(3)(一+〃)(a—b—(2—〃)(a+b)

iiAi由本例引

=伍+〃)〃-(%-〃)〃—(A—ju)b

入平行向

ii量定理，

=(2+4—2+//)ci-(/l+/z+2-//)b

由特殊到

i1一般，便

=2/.ia—2Ab.

于学生接

练习二受.

学生练习

111巩固.

化简：(1)2(u—b)+3(a+b)；

(2)|(«+/))+|(a-/>).

本题是首

例2设;是未知向量，解方程

次应用向

11111

5(%+。)+3(x—Z?)=0.量知识来

解原式可变形为解决平面

11111

5x+5ci4~3x—3b—0,几何问

A11教师给出题，对学

8x=-5a+3b,

15131问题并引生来说有

x=—gtz+於.

导学生解些难度，

练习三答.教师须根

解关于X的方程：

1111111据向量的

(1)3(Q+X)=X；(2)X+2(Q+X)=0.学生根据

运算法则

向量加法

例3已知就=3次，篦声=3痛，说明向量在与区的关系.详细讲

的三角形

解.

解因为京，=罚'4•逾，=3审+3^

法则及数

=3(K+荏)=3/

乘向量定

OAA]

所以就与加共线且同方向，长度是在义完成解

的3倍.答.

思考：如果把上题中的数3改为任意实数k,向量南与加的关系又怎

样呢？

练习5：

1.如图所示，D是VABC的边AB上的中点，

Lim

贝1」向量CD=()A

unitinuniin

A.-BC+-BAB.-BC——BAD/\

新22

iBiiununiIBI/\教师引导

C.BC一一BAD.BC+-BABZ._________^C

课22学生分

析.

讲

学生练习

授

巩固.

1.数乘向量的定义及其几何意义.师生梳理总结

合作.针对学生

小2.数乘向量的几何意义

易错处进

行强调和

结3.数乘向量运算律.

总结.

4.数形结合、类比、归纳的数学思想。

1.必做题:课本89页练习A的1,2,3题。

作2.选做题:课本89页练习B的1,3题。进一步熟

悉巩固新

业3.观看QQ群里的本节课视频。知.

评测练习

检测时间：5分钟满分：60分姓名:

1、计算

⑴(-3)x4。+a-[(2a-/?)-A]

(2)—(2a+3b-c)——(3a-2b+c)

23

2.4、〃金R,下列关系式中正确的是()

A.若几二0,则4分=0笈若方二及则

c.UA|=UIIAID.Ui|=4|A|

iior

3.设；为未知向量，a、b为已知向量，解方程(i-56?)+3(l-4ft+c)+—6f-3c=0

3

*i31a2ii,

4.右。二一一c,/7二一一eni,l贝ij。=b.

43

5.在中，设诟=Z，/=2，〃、£是边比■的三等分点，〃靠近点打则靠

13r5r

参考答案：1.(1)-na+b)(2)—2b--c)2.C

66

rrr9

工x+3O一黑_「

-13一a12r

4.8-o.AE一—Ge,

12313,

效果分析

本节课是一节正常进度、没有预演的新授课，在教师的精心设计下，课堂气氛较好，师

生活动和谐有序，取得了较好的教学效果。

这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法.在向量加法的基础上引入数乘向量

的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问

题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力.

为了保证教学任务的完成，顺利实现本节课的教学目标，考虑到本节课的实际特点，在

教学媒体的使用上，主要有以下两点：

1、制作高效实用的电脑多媒体课件，主要作用是改变相关内容的呈现方式，以此来节

约