第三板块 小题保分练（一） 空间几何体的表面积及体积

第三板块小题保分练（一）空间几何体的表面积及体积1.如图所示的是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么()A．最长的是AB，最短的是ACB．最长的是AC，最短的是ABC．最长的是AB，最短的是ADD．最长的是AD，最短的是AC解析：选C由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴．又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立．2.(2023·淄博一模)如图，某几何体的形状类似胶囊，两头都是半球，中间是圆柱，其中圆柱的底面半径与半球的半径都为2，若该几何体的表面积为20π，则其体积为()A.eq\f(44,3)π B．15πC.eq\f(28,3)π D.eq\f(16,3)π解析：选A由题意可知，设该几何体中间部分圆柱的高为h，圆柱的半径为r，则该几何体的表面积为4πr2＋2πr·h＝20π，因为r＝2，所以h＝1.所以该几何体的体积V＝eq\f(4,3)πr3＋πr2·h＝eq\f(44,3)π.3.(2023·武汉一模)某车间需要对一个圆柱形工件进行加工，该工件底面半径为15cm，高为10cm，加工方法为在底面中心处打一个半径为rcm且和原工件有相同轴的圆柱形通孔．若要求工件加工后的表面积最大，则r的值应设计为()A.eq\r(10) B.eq\r(15)C．4 D．5解析：选D因为大圆柱表面积为2×152π＋10×2×15π＝750π，小圆柱侧面积为10×2πr，上、下底面积为2πr2，所以加工后工件的表面积为750π＋20πr－2πr2，当r＝5时表面积最大．故选D.4．(2023·烟台二中模拟)已知圆锥的侧面积为4eq\r(3)π，高为2eq\r(2)，若圆锥可在某球内自由运动，则该球的体积最小值为()A．8eq\r(2)π B．8πC．9π D．9eq\r(2)π解析：选D设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(πrl＝4\r(3)π，,\r(l2－r2)＝2\r(2)，))解得r＝2，l＝2eq\r(3).由题意知当球为圆锥的外接球时，体积最小．设外接球的半径为R，则(2eq\r(2)－R)2＋22＝R2，解得R＝eq\f(3\r(2),2).所以外接球的体积为eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),2)))3＝9eq\r(2)π.5．(2023·通化模拟)已知圆台的母线长为4，上底面圆和下底面圆半径的比为1∶3，其侧面展开图所在扇形的圆心角为eq\f(π,2)，则圆台的高为()A．2eq\r(3) B.eq\r(15)C．4 D．3eq\r(2)解析：选B如图，将圆台还原为圆锥，上底面圆的半径为r，下底面圆的半径为3r，底面圆周长为6πr，因为圆台的母线长为4，根据上、下底面圆半径的比为1∶3，所以上圆锥的母线长为2，则圆台所在圆锥的母线长为6.因为圆台展开图所在扇形的圆心角为eq\f(π,2)，所以eq\f(π,2)×6＝6πr，得r＝eq\f(1,2).所以圆台的高h＝eq\r(42－4r2)＝eq\r(15).6．[多选]已知A，B，C三点均在球O的表面上，AB＝BC＝CA＝2，且球心O到平面ABC的距离等于球半径的eq\f(1,3)，则下列结论正确的是()A．球O的表面积为6πB．球O的内接正方体的棱长为1C．球O的外切正方体的棱长为eq\f(4,3)D．球O的内接正四面体的棱长为2解析：选AD设球O的半径为r，△ABC的外接圆圆心为O′，半径为R，易得R＝eq\f(2\r(3),3).因为球心O到平面ABC的距离等于球O半径的eq\f(1,3)，所以r2－eq\f(1,9)r2＝eq\f(4,3)，得r2＝eq\f(3,2).所以球O的表面积S＝4πr2＝4π×eq\f(3,2)＝6π，A正确；球O的内接正方体的棱长a满足eq\r(3)a＝2r，显然B不正确；球O的外切正方体的棱长b满足b＝2r，显然C不正确；球O的内接正四面体的棱长c满足c＝eq\f(2\r(6),3)r＝eq\f(2\r(6),3)×eq\f(\r(6),2)＝2，D正确．7．(2022·全国甲卷)甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2π，侧面积分别为S甲和S乙，体积分别为V甲和V乙．若eq\f(S甲,S乙)＝2，则eq\f(V甲,V乙)＝()A.eq\r(5)B．2eq\r(2)C.eq\r(10)D.eq\f(5\r(10),4)解析：选C因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合eq\f(S甲,S乙)＝2可知，甲、乙两个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2∶1.不妨设两个圆锥的母线长为l＝3，甲、乙两个圆锥的底面半径分别为r1，r2，高分别为h1，h2，则由题意知，两个圆锥的侧面展开图刚好可以拼成一个周长为6π的圆，所以2πr1＝4π，2πr2＝2π，得r1＝2，r2＝1.由勾股定理得，h1＝eq\r(l2－r12)＝eq\r(5)，h2＝eq\r(l2－r22)＝2eq\r(2).所以eq\f(V甲,V乙)＝eq\f(\f(1,3)πr12h1,\f(1,3)πr22h2)＝eq\f(4\r(5),2\r(2))＝eq\r(10).故选C.8．(2023·南京二模)在直角三角形ABC中，斜边AB长为2，绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体．若该几何体外接球表面积为eq\f(16π,3)，则AC长为()A.eq\f(\r(3),2)B．1C.eq\r(2)D.eq\r(3)解析：选D设AC＝m，因为AB＝2，所以BC＝eq\r(AB2－AC2)＝eq\r(4－m2).绕直角边AC所在直线旋转一周形成一个几何体为圆锥，设圆锥外接球的半径为R，则4πR2＝eq\f(16π,3)，解得R＝eq\f(2\r(3),3).设外接球的球心为O，则球心在直线AC上，如图所示，所以4－m2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(m－\f(2\r(3),3)))2＝eq\f(4,3)，解得m＝eq\r(3).故选D.9.(2023·茂名统考二模)贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比为3∶3∶5，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为()A．3∶6∶10 B．3∶9∶25C．3∶21∶35 D．9∶21∶35解析：选D设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3m，由上到下的三个几何体体积分别记为V1，V2，V3，则V1＝3mS，V2＝eq\f(1,3)(S＋4S＋eq\r(4S2))×3m＝7mS，V3＝eq\f(1,3)(S＋4S＋eq\r(4S2))×5m＝eq\f(35,3)mS，所以V1∶V2∶V3＝3mS∶7mS∶eq\f(35,3)mS＝9∶21∶35.10．(2023·天津高考)在三棱锥P-ABC中，线段PC上的点M满足PM＝eq\f(1,3)PC，线段PB上的点N满足PN＝eq\f(2,3)PB，则三棱锥P-AMN和三棱锥P-ABC的体积之比为()A.eq\f(1,9)B.eq\f(2,9)C.eq\f(1,3)D.eq\f(4,9)解析：选B如图，因为PM＝eq\f(1,3)PC，PN＝eq\f(2,3)PB，所以eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(\f(1,2)PM·PN·sin∠BPC,\f(1,2)PC·PB·sin∠BPC)＝eq\f(PM·PN,PC·PB)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，所以eq\f(VP－AMN,VP－ABC)＝eq\f(VA－PMN,VA－PBC)＝eq\f(\f(1,3)S△PMN·d,\f(1,3)S△PBC·d)＝eq\f(S△PMN,S△PBC)＝eq\f(2,9)(其中d为点A到平面PBC的距离，因为平面PMN和平面PBC重合，所以点A到平面PMN的距离也为d)．故选B.11．(2023·大连联考)盲盒是一种深受大众喜爱的玩具，某盲盒生产厂商要为棱长为4cm的正四面体魔方设计一款正方体的包装盒，需要保证该魔方可以在包装盒内任意转动，则包装盒的棱长最短为()A.eq\r(6)cm B．2eq\r(6)cmC．4eq\r(6)cm D．6cm解析：选B如图，A-BCD是棱长为4cm的正四面体，由题意，AD＝BD＝DC＝4cm，设BC的中点为M，底面△BCD的重心为G，O为外接球的球心，则有AG⊥底面BCD，MD＝eq\f(\r(3),2)DC＝2eq\r(3)，CG＝DG＝eq\f(2,3)MD＝eq\f(4\r(3),3)，OA＝OC＝R，R是外接球半径．在Rt△AGD中，GA＝eq\r(AD2－DG2)＝eq\f(4\r(6),3).在Rt△OGC中，OG＝eq\r(OC2－GC2)＝eq\r(R2－\f(16,3))，OG＋OA＝GA，∴eq\r(R2－\f(16,3))＋R＝eq\f(4\r(6),3)，解得R＝eq\r(6)(cm)，即正方体的最短棱长为2R＝2eq\r(6)(cm)．12．[多选]沙漏是古代的一种计时装置，它由两个形状完全相同的容器和一个狭窄的连接管道组成，开始时细沙全部在上部容器中，细沙通过连接管道全部流到下部容器所需要的时间称为该沙漏的一个沙时．如图，某沙漏由上、下两个圆锥组成，圆锥的底面直径和高均为8cm，细沙全部在上部时，其高度为圆锥高度的eq\f(2,3)(细管长度忽略不计)．假设该沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，且细沙全部漏入下部后，恰好堆成一个盖住沙漏底部的圆锥形沙堆．以下结论正确的是()A．沙漏中的细沙体积为eq\f(1024π,81)cm3B．沙漏的体积是128πcm3C．细沙全部漏入下部后此锥形沙堆的高度约为2.4cmD．该沙漏的一个沙时大约是1985秒(π≈3.14)解析：选ACD根据圆锥的截面图可知，细沙在上部时，细沙的底面半径与圆锥的底面半径之比等于细沙的高与圆锥的高之比，所以细沙的底面半径r＝eq\f(2,3)×4＝eq\f(8,3)(cm)，所以体积V＝eq\f(1,3)·πr2·eq\f(2h,3)＝eq\f(1,3)·eq\f(64π,9)·eq\f(16,3)＝eq\f(1024π,81)(cm3)，故A正确；沙漏的体积V＝2×eq\f(1,3)×π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2×h＝2×eq\f(1,3)×π×42×8＝eq\f(256,3)π(cm3)，故B错误；设细沙流入下部后的高度为h1，根据细沙体积不变可知，eq\f(1024π,81)＝eq\f(1,3)×πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(h,2)))2×h1，所以eq\f(1024π,81)＝eq\f(16π,3)h1，所以h1≈2.4cm，故C正确；因为细沙的体积为eq\f(1024π,81)cm3，沙漏每秒钟漏下0.02cm3的沙，所以一个沙时为eq\f(\f(1024π,81),0.02)＝eq\f(1024×3.14,81)×50≈1985(秒)，故D正确．13．(2023·全国甲卷)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AB，C1D1的中点．以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有________个公共点．解析：如图，线段EF过正方体的中心，所以以EF为直径的球的球心即正方体的中心，球的半径为eq\f(EF,2).而正方体的中心到每一条棱的距离均为eq\f(EF,2)，所以以EF为直径的球与每一条棱均相切，所以共有12个公共点．答案：1214．(2023·济南一模)用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截得的圆台上底面半径为1，下底面半径为2，且该圆台侧面积为3eq\r(5)π，则原圆锥的母线长为________．解析：设圆台的母线长为l，因为该圆台侧面积为3eq\r(5)π，则由圆台侧面积公式可得πl(1＋2)＝3πl＝3eq\r(5)π，所以l＝eq\r(5).设截去的圆锥的母线长为l′，由三角形相似可得eq\f(l′,l′＋l)＝eq\f(1,2)，则2l′＝l′＋eq\r(5)，解得l′＝eq\r(5).所以原圆锥的母线长为l′＋l＝eq\r(5)＋eq\r(5)＝2eq\r(5).答案：2eq\r(5)15.(2023·贵阳模拟)如图，某环保组织设计一款苗木培植箱，其外形由棱长为2(单位：m)的正方体截去四个相同的三棱锥(截面为等腰三角形)后得到．若将该培植箱置于一球形环境中，则该球表面积的最小值为________m2.解析：将正方体补全，依题意可得A，B，C，D为正方体底面边上的中点，要使球的表面积最小，即为求ABCD-EFGH的外接球的表面积．如图所示，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0)，H(0,0,2)，则几何体ABCD-EFGH外接球的球心必在上、