小题压轴考法(一)-函数的图象与性质

小题压轴考法(一)——函数的图象与性质12目录命题点一函数的性质及其应用命题点二

函数的零点及其应用[典例导析]考法1

函数的单调性与奇偶性[例1]

(2023·九江二模)定义在R上的奇函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(－1)＝0，则关于x的不等式xf(x)<0的解集为

(

)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(1，＋∞)[答案]

A命题点一函数的性质及其应用[解析]

因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，且f(0)＝0，f(1)＝0，可画出其大致图象，如图所示．因为xf(x)<0，所以当x>0时，f(x)<0，解得0<x<1，当x<0时，f(x)>0，解得－1<x<0.当x＝0时，显然不合题意．所以不等式xf(x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)，故选A.[答案]

D[解析]因为奇函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，所以f(0)＝0，且f′(x)≥0.又因为g(x)＝xf(x)，所以当x＝0时，g(0)＝0.所以g(x)是(－∞，＋∞)上的偶函数．当x>0时，因为g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上单调递增．根据函数的奇偶性可知，函数g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．[思维建模]奇偶性与单调性的综合应用比较函数值的大小先利用奇偶性把不在同一单调区间上的两个或多个自变量转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小求解抽象函数不等式对于抽象函数不等式，应先变形为f(x1)＞f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，如x1＞x2(或x1＜x2)求解．如果函数f(x)是偶函数，则由f(x1)＞f(x2)可得|x1|＞|x2|(或|x1|＜|x2|)考法2

函数的奇偶性、周期性与对称性[例3]已知函数f(x)与g(x)的定义域均为R，f(x＋1)为偶函数，且f(3－x)＋g(x)＝1，f(x)－g(1－x)＝1，则下面判断错误的是

(

)A．f(x)的图象关于点(2,1)中心对称B．f(x)与g(x)均为周期为4的周期函数[关键点拨][答案]

C[解析]

因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(－x＋1)

①，所以f(x)的图象关于直线x＝1轴对称．因为f(x)－g(1－x)＝1等价于f(1－x)－g(x)＝1

②，又f(3－x)＋g(x)＝1

③，②＋③得f(1－x)＋f(3－x)＝2

④，即f(1＋x)＋f(3＋x)＝2，即f(2＋x)＝2－f(x)，所以f(4＋x)＝2－f(2＋x)＝f(x)，故f(x)的周期为4.又g(x)＝1－f(3－x)，所以g(x)的周期也为4，故B正确；①代入④得f(1＋x)＋f(3－x)＝2，故f(x)的图象关于点(2,1)中心对称，且f(2)＝1，故A正确；[思维建模]解决抽象函数问题常用的结论结论2函数y＝f(x)关于点(a，b)对称

f(a＋x)＋f(a－x)＝2b

f(2a＋x)＋f(－x)＝2b特例①函数y＝f(x)关于点(a,0)对称

f(a＋x)＋f(a－x)＝0

f(2a＋x)＋f(－x)＝0；②函数y＝f(x)关于点(0,0)对称

f(x)＋f(－x)＝0(即为奇函数)结论3①y＝f(x＋a)是偶函数

函数y＝f(x)关于直线x＝a对称；②y＝f(x＋a)是奇函数

函数y＝f(x)关于(a,0)对称续表[针对训练]1．(2023·新课标Ⅰ卷)[多选]已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)＝y2f(x)＋x2f(y)，则

(

)A．f(0)＝0B．f(1)＝0C．f(x)是偶函数D．x＝0为f(x)的极小值点答案：ABC

解析：取x＝y＝0，则f(0)＝0，故A正确；取x＝y＝1，则f(1)＝f(1)＋f(1)，所以f(1)＝0，故B正确；取x＝y＝－1，则f(1)＝f(－1)＋f(－1)，所以f(－1)＝0，取y＝－1，则f(－x)＝f(x)＋x2f(－1)，所以f(－x)＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，故C正确；由于f(0)＝0，且函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称，所以x＝0可能为函数f(x)的极小值点，也可能为函数f(x)的极大值点，也可能不是函数f(x)的极值点，故D不正确．故选A、B、C.2．[多选]已知函数f(x)定义域为R，f(x＋1)是奇函数，g(x)＝(1－x)f(x)，函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，则下列命题为真命题的是

(

)A．f(－x－1)＝－f(x＋1)B．函数g(x)在(－∞，1]上单调递减C．若a<2－b<1，则g(1)<g(b)<g(a)答案：BCD

解析：因为f(x＋1)是奇函数，所以f(－x＋1)＝－f(x＋1)，故A错误；因为f(x＋1)是奇函数，所以y＝f(x)的图象关于点(1,0)对称，即有f(x)＝－f(2－x)，所以g(2－x)＝[1－(2－x)]f(2－x)＝(x－1)·f(2－x)＝(1－x)f(x)＝g(x)．所以y＝g(x)的图象关于直线x＝1对称．因为函数g(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以g(x)在(－∞，1]上单调递减，故B正确；因为a<2－b<1，所以g(1)<g(2－b)<g(a)，即g(1)<g(b)<g(a)，故C正确；调递增，则f(x)在(－∞，0)上单调递增，所以f(x)是奇函数且在R上单调递增．由f(2x－1)＋f(2－x)>0，可得f(2x－1)>f(x－2)，则2x－1>x－2，解得x>－1，即x的取值范围为(－1，＋∞)．命题点二

函数的零点及其应用由方程f2(x)－f(x)－6＝0，得f(x)＝3或f(x)＝－2，所以方程f2(x)－f(x)－6＝0的实根个数为3.[思维建模]

已知函数零点求参数范围的方法直接法直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围分离参数法将参数分离，转化成求函数值域的问题加以解决数形结合法先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解答案：B

显然，f(x)在(0,1)和(1,2)上各存在一个零