高考数学 热点专题复习热点二 数列 文科试题

热点二数列【考点精要】考点一.等差、等比数列的定义。等差数列的前项和在公差不为0时是关于的常数项为0的二次函数；一般地，有结论“若数列的前项和。则数列为等差数的充要条件是”；在等差数列中,是等差数列。在等比数列中公比等于-1时是一个很特殊的情况要予以关注。如：数列是等比数列，则就不一定是等比数列。考点二.数列的递推关系。解决递推数列问题的基本原则就是对数列的递推式进行变换。把递推数列问题转换为几类基本数列进行处理。转化的常用方法有：(1)待定系数法。如，可以通过待定系数将其转化为形如的等比数列。(2)取倒数法，如对的基本变换思想是先取倒数，再通过待定系数法变换为。(3)观察变换法，如，可以变换为，转化为等比数列，还有取对数法等。解递推数列问题要注意选取合适的变换递推式的方法，通过转换进行解答，在变换时要小心谨慎、不能出错。考点三.数列与分段函数。通过考查分段函数进而明晰数列n在不同的范围内赋予不同的意义。如：数列中，求。考点四.数列的通项公式。数列通项公式的本身就是一种特殊意义的方程，这种方程的解具有整数性及多元化性。高考中诸多题目均能涉及。如：设{}为公比q>1的等比数列，若和是方程的两根，则__________。考点五.数列的前项和。对于数列其前项和为，则二者之间的关系为：，应特别注意时的情况。求的方法较多，如：（1）等差数列时，；（2）等比数列时，；（3）累加法求和；（4）裂项法求和；（5）错位相减法求和；（6）分组求和等。应记住的结论：。巧点秒拨1.数列的通项公式本身就是一种特殊的函数，求数列解析式的方法主要有：观察归纳法；公式法；递推关系法；倒数法等。2.在进行数列求和问题时，要善于观察关系式特点，进行适当的变形，如分组、裂项等，转化为常见的类型进行求和。3.对数列中的含n的式子，注意可以把式子中的n换为或得到相关的式子，再进行化简变形处理；也可以把n取自然数中的具体的数1，2，3…等，得到一些等式归纳证明。【典题对应】例1.(2014·山东文19)在等差数列中，已知公差，是与的等比中项.（Ｉ）求数列的通项公式；（II）设，记，求.命题意图：本题考查等差数列、等比数列的通项公式，前n项和公式。解析：（Ⅰ）由题意知为等差数列，设，∵为与的等比中项，∴，即，∵解得：，∴.（Ⅱ）由（Ⅰ）知：.①当n为偶数时：②当n为奇数时：综上：名师坐堂：在通项公式中各项的符号随着n的不同发生变化时，若求其前n项和，一定要对n进行讨论，同时学会进行简易检验，即求得最后结果后，令n取一较小的特殊值验证即可知所求结果的正确性。例2.(2013·山东文20)设等差数列的前项和为，且，.(1)求数列的通项公式；(2)若数列满足，∈N*，求的前项和.命题意图：本题主要考查等差数列的通项公式以及前项和公式，由等差数列衍生的其他数列的前项和的求值，考查学生创新解题能力。解析：(1)设等差数列的首项为，公差为，由，得：解得，.因此.(2)由已知，n∈N*，当n＝1时，；当n≥2时，.所以，n∈N*.由(1)知，所以＝，n∈N*.又＝，＝，两式相减得，所以＝.名师坐堂：求数列的前项的方法有：1.公式法；2.错位相减法；3.倒序相加法；4.分组求和法等，在利用错位相减法时应特别注意第一项以及最后一项，求解完后可利用进行验证。例3.（2012·山东文20）已知等差数列的前5项和为105，且.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)对任意，将数列中不大于的项的个数记为.求数列的前m项和.命题意图：本题考查等差数列的通项公式以及前n项和公式，考查衍生数列的前n项和。解析：(I)由已知得：，解得,所以通项公式为.(II)由，得，即.∵，∴是公比为49的等比数列，∴.名师坐堂：本题主要考查等差数列和等比数列的基本性质，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，考查的仍旧是基本能力和基本方法。应记住等差数列中，若，则。例4.（2010·山东文18）已知等差数列满足：，.的前n项为.（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令（）,求数列的前n项和.命题意图：本题主要考查等差数列的通项公式及前n项和公式，通过数列方程运用裂项求和的方法求数列的前n项和，题中涉及函数与方程思想，具有基础性与灵活性相结合的命题特点。解析：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为d，由于，，所以，解得。由于，所以。（Ⅱ）因为，所以，因此。故=。所以数列的前n项和为。名师坐堂：以一个数列为依托借助函数的相关知识衍生出一个新的数列，是近年来数列命题的新趋势而且常考常新，本题通过进而求得，而不是单纯求，这种技巧与灵活性要在平时的学习中注意掌握。【命题趋向】1.主要以基本数列（等差数列、等比数列）为主，选择题目时，要遵循由易到难的原则.数列中与的关系一直是高考的热点，求数列的通项公式是最为常见的题目，要切实注意与的关系.关于递推公式，在《考试说明》中的考试要求是“了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项”.但实际上，从近两年各地高考试题来看，加大了对较为简单的“递推公式”的考查，但仍要注重“基本量法”的考查.2.探索性问题在数列中考查较多，试题没有给出结论，需要考生猜出或自己找出结论，然后给以证明.探索性问题对分析问题解决问题的能力有较高的要求.3.等差、等比数列的基本知识必考.这类考题既有选择题，填空题，又有解答题；有容易题、中等题，也有难题.4.求和问题也是常见的试题，等差数列、等比数列及可以转化为等差、等比数列求和问题应掌握，还应该掌握一些特殊数列的求和.5.将数列应用题转化为等差、等比数列问题也是高考中的重点和热点，从本章在高考中所在的分值来看，一年比一年多，而且多注重能力的考查.6.有关数列与函数、数列与不等式、数列与概率等问题既是考查的重点，也是考查的难点.今后在这方面还会体现的更突出.【直击高考】1.若{an}为等差数列，Sn是前n项和，a1＝1，S3＝9，则该数列的公差d为()A.1 B.2 C.3 D.42.等比数列{an}中，a4a5＝1，a8a9＝16，则a6A.16 B.±4 C.－4 D.43.数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，an＋1＝3Sn(n≥1)，则a6＝()A.3×44＋1 B.3×44 C.44 D.44.在数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋aeq\o\al(2,3)＋…＋aeq\o\al(2,n)等于()A.(3n－1)2 B.eq\f(1,2)(9n－1) C.9n－1 D.eq\f(1,4)(3n－1)5.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若8a2＋a5A.eq\f(a5,a3) B.eq\f(S5,S3) C.eq\f(an＋1,an) D.eq\f(Sn＋1,Sn)6.若是等差数列，首项，则使前项和Sn>0成立的最大自然数是()A.4005 B.4006 C.4007 D.4008

7.若数列满足，则等于()A.1 B.2 C. D.-18.各项都是正数的等比数列{an}的公比q≠1，且a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，则eq\f(a3＋a4,a4＋a5)的值为()A.eq\f(1－\r(5),2) B.eq\f(\r(5)＋1,2)C.eq\f(\r(5)－1,2) D.eq\f(\r(5)＋1,2)或eq\f(\r(5)－1,2)9.设{an}是由正数组成的等差数列，{bn}是由正数组成的等比数列，且a1＝b1，a2003＝b2003，则()A．a1002>b1002 B．a1002＝b1002C．a1002≥b1002 D．a1002≤b100210.已知数列{an}的通项公式为an＝6n－4，数列{bn}的通项公式为bn＝2n，则在数列{an}的前100项中与数列{bn}中相同的项有()A．50项 B．34项C．6项 D．5项11.已知数列{an}满足：an＋1＝1－eq\f(1,an)，a1＝2，记数列{an}的前n项之积为Pn，则P2015＝________.12.秋末冬初，流感盛行，临沂市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．13.已知等比数列{an}中，各项都是正数，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，则eq\f(a3＋a10,a1＋a8)＝________.14.在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b＋c的值为________．acb61215.已知数列{bn}前n项和为Sn，且b1＝1，bn＋1＝eq\f(1,3)Sn.(1)求b2，b3，b4的值；(2)求{bn}的通项公式；(3)求b2＋b4＋b6＋…＋b2n的值．16.设是首项为,公差为的等差数列,是其前项和.(Ⅰ)若，求数列的通项公式；(Ⅱ)记,，且成等比数列,证明:().17.已知等比数列为递增数列，且，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）令，不等式的解集为，求所有的和.18.已知数列，，，记，，（）,(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)求数列的前项和.

热点二数列【直击高考】1.解析：B∵S3＝a1＋a2＋a3＝3a2＝9，∴a2＝3，∴d＝a2－a12.解析：D设等比数列{an}的公比为q.则eq\f(a8a9,a4a5)＝eq\f(a4q4·a5q4,a4·a5)＝q8＝16.∴eq\f(a6a7,a4a5)＝eq\f(a4q2·a5q2,a4·a5)＝q4＝4.∴a6a7＝4.3.解析：答案：B由an＋1＝3Sn，知an＝3Sn－1(n≥2)∴an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，∴an＋1＝4an(n≥2).∴an＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，n＝1，,3·4n－2，n≥2，))∴a6＝3×44.4.解析;答案：B由a1＋a2＋…＋an＝3n－1①得：a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1(n≥2).②①－②得：an＝3n－3n－1＝2·3n－1(n≥2).又当n＝1时，a1＝2也适合上式，∴an＝2·3n－1，∴aeq\o\al(2,n)＝4·9n－1，∴aeq\o\al(2,1)＋aeq\o\al(2,2)＋…＋aeq\o\al(2,n)＝4(90＋91＋…＋9n－1)＝4·eq\f(1－9n,1－9)＝eq\f(1,2)(9n－1).5.解析：等比数列{an}满足8a2＋a5＝0，即a2(8＋q3)＝0，∴q＝－2，∴eq\f(a5,a3)＝q2＝4，eq\f(an＋1,an)＝q＝－2，eq\f(S5,S3)＝eq\f(\f(a11－q5,1－q),\f(a11－q3,1－q))＝eq\f(1－q5,1－q3)＝eq\f(11,3)，都是确定的数值，但eq\f(Sn＋1,Sn)＝eq\f(1－qn＋1,1－qn)的值随n的变化而变化，故选D.6.解析:∵a1>0，a2003+a2004>0，a2003·a2004＜0，且｛an｝为等差数列∴{an}表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对值最大的负数(第一个负数)，且|a2003|＞|a2004|∴在等差数列｛an｝中，a2003+a2004=a1+a4006>0，S4006=＞0∴使Sn＞0成立的最大自然数n是4006.7.解析：由已知得：，所以数列是一个周期数列，故应选B.8.解析：∵a2，eq\f(1,2)a3，a1成等差数列，∴a3＝a2＋a1，∵{an}是公比为q的等比数列，∴a1q2＝a1q＋a1，∴q2－q－1＝0，∵q>0，∴q＝eq\f(\r(5)＋1,2).∴eq\f(a3＋a4,a4＋a5)＝eq\f(1,q)＝eq\f(\r(5)－1,2)，故选C.9.解析：a1002＝eq\f(a1＋a2003,2)≥eq\f(2\r(a1a2003),2)＝eq\r(b1b2003)＝b1002，故选C.10.解析：a1＝2＝b1，a2＝8＝b3，a3＝14，a4＝20，a5＝26，a6＝32＝b5，又b10＝210＝1024>a100，b9＝512，令6n－4＝512，则n＝86，∴a86＝b9，b8＝256，令6n－4＝256，∵n∈Z，∴无解，b7＝128，令6n－4＝128，则n＝22，∴a22＝b7，b6＝64＝6n－4无解，综上知，数列{an}的前100项中与{bn}相同的项有5项．故选D。11.解析：a1＝2，a2＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，a3＝1－2＝－1，a4＝1－(－1)＝2，∴{an}的周期为3，且a1a2a3＝－1，∴P2015＝(a1a2a3)671·a2015＝(－1)671·a12.解析：∵an＋2－an＝1＋(－1)n(n∈N*)，∴n为奇数时，an＋2＝an，n为偶数时，an＋2－an＝2，即数列{an}的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．故这30天入院治疗流感人数共有15＋(15×2＋eq\f(15×14,2)×2)＝255人．13.解析：∵a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，∴a3＝a1＋2a2，设数列{an}公比为q，则a1q2＝a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝－1±eq\r(2)，∵an>0，∴q＝eq\r(2)－1，∴eq\f(a3＋a10,a1＋a8)＝q2＝3－2eq\r(2).14.解析：由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q＝2，∴b＝2×2＝4由横行等差知c下边为eq\f(4＋6,2)＝5，故c＝5×2＝10，由纵列公比为2知a＝1×23＝8，∴a＋b＋c＝22.15.解析：(1)b2＝eq\f(1,3)S1＝eq\f(1,3)b1＝eq\f(1,3)，b3＝eq\f(1,3)S2＝eq\f(1,3)(b1＋b2)＝eq\f(4,9)，b4＝eq\f(1,3)S3＝eq\f(1,3)(b1＋b2＋b3)＝eq\f(16,27).(2)eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(bn＋1＝\f(1,3)Sn①,bn＝\f(1,3)Sn－1②))①－②解bn＋1－bn＝eq\f(1,3)bn，∴bn＋1＝eq\f(4,3)bn，∵b2＝eq\f(1,3)，∴bn＝eq\f(1,3)·eq