新版高一数学必修第一册第四章全部课件

新版高一数学必修第一册

第四章全部课件人教2019A版必修第一册4.1.1n次方根与分数指数幂第四章

指数函数与对数函数1.理解n次方根及根式的概念，掌握根式的性质．(重点)2.能利用根式的性质对根式进行运算．(重点、难点、易错点)学习目标3.理解分数指数幂的含义，掌握根式与分数指数幂的互化．(重点、难点)温故知新合作探究归纳总结跟踪训练合作探究归纳总结跟踪训练(1)观察以下式子,并总结出规律:(a>0)结论:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以表示为分数指数幂的形式.合作探究(2)利用(1)的规律,你能表示下列式子吗?类比总结:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式.(3)你能用方根的意义解释(2)的式子吗?43的5次方根是75的3次方根是a2的3次方根是a9的7次方根是结果表明:方根的结果与分数指数幂是相通的.综上,我们得到正数的正分数指数幂的意义.3.规定0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.1.正数的正分数指数幂的意义：2.正数的负分数指数幂的意义：概念解析自主小测1.用根式表示下列各式:(a＞0)

2.用分数指数幂表示下列各式：跟踪训练归纳总结当堂达标1、n次方根和根式的概念。2、3、当n为奇数时，a的n次方根是。当n为偶数时，正数a的n次方根是负数没有偶次方根。0的任何次方根都是0当n是奇数时，当n是偶数时，课堂小结28-11月-234.分数指数概念(a＞0,m,n∈N*,n＞1)5.有理指数幂运算性质(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.人教2019版必修第一册第四章指数函数与对数函数4.1.1

n次方根与分数指数幂课程目标

1.理解n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念;2.掌握分数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3.掌握分数指数幂的运算性质。数学学科素养1.数学抽象：n次方根、根式的概念与分数指数幂的概念；2.逻辑推理：分数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用分数指数幂的运算性质化简求值；4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质。

自主预习，回答问题阅读课本104-106页，思考并完成以下问题(1)n次方根是怎样定义的？(2)根式的定义是什么？它有哪些性质？(3)有理数指数幂的含义是什么？怎样理解分数指数幂？(4)根式与分数指数幂的互化遵循哪些规律？(5)如何利用分数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。题型分析举一反三题型一根式的化简(求值)例1求下列各式的值解：

=-8=|-10|=10==解题方法（根式求值）

(2)在对根式进行化简时,若被开方数中含有字母参数,则要注意字母参数的取值范围,即确定

中a的正负,再结合n的奇偶性给出正确结果.题型二分数指数幂的简单计算问题；.例2：求值。解：解题方法（分数指数幂的运算技巧）1.对于既含有分数指数幂,又含有根式的式子,一般把根式统一化成分数指数幂的形式,以便于计算.如果根式中的根指数不同,也应化成分数指数幂的形式.2.对于计算题的结果,不强求统一用什么形式来表示,但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有分母又含有负指数.1.计算题型三根式与分数指数幂的互化例3.用分数指数幂的形式表或下列各式（a＞0）

；.解：；.解题方法（根式与分数指数幂的互化）（1）根指数化为分数指数的分母，被开方数(式)的指数化为分数指数的分子．（2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题．答案：C题型四利用分数指数幂的运算性质化简求值例4.

解题方法（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．人教2019版必修第一册4.1.2无理数指数幂及其运算性质第四章指数函数与对数函数课程目标

1.理解无理数指数幂的概念;2.掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；3.掌握实数指数幂的运算性质；4.能利用已知条件求值.数学学科素养

1.数学抽象：无理数指数幂的概念；2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；5.数学建模：通过与有理数指数幂性质进行类比，得出无理数指数幂的概念和性质。自主预习，回答问题阅读课本107-108页，思考并完成以下问题(1)无理数指数幂的含义是什么？(2)如何利用实数指数幂的运算性质进行化简？要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。1.计算-0.01-0.5+0.2-2-(2-3)-1+(10-3)0的结果为

(

)A.15 B.17C.35 D.37答案:B解析:由a-2≥0,且a-4≠0,得a≥2,且a≠4.答案:[2,4)∪(4,+∞)题型分析举一反三题型一指数幂的运算性质化简求值解题方法（利用指数幂的运算性质化简求值的方法）(1)进行指数幂的运算时，一般化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数，同时兼顾运算的顺序．(2)在明确根指数的奇偶(或具体次数)时，若能明确被开方数的符号，则可以对根式进行化简运算．(3)对于含有字母的化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式表示．

(1)解：（1）原式=题型二条件求值(1)a+a-1;

(2)a2+a-2;

(3)a2-a-2.分析:解答本题可从整体上寻求各式与条件

的联系,进而整体代入求值.得a+a-1+2=5,即a+a-1=3.(2)由a+a-1=3,两边平方,得a2+a-2+2=9,即a2+a-2=7.(3)设y=a2-a-2,两边平方,得y2=a4+a-4-2=(a2+a-2)2-4=72-4=45.解题方法（已知某些代数式的值,求另外代数式的值）已知某些代数式的值,求另外代数式的值是代数式求值中的常见题型.解答这类题目时,可先分析条件式与所求式的区别与联系,有时通过化简变形把已知条件整体代入,有时需要根据已知条件求出某些字母参数的值再代入.另外还要注意隐含条件的挖掘与应用.人教2019A版必修第一册4.1.2无理指数幂及其运算第四章

指数函数与对数函数1.理解分数指数幂的概念，掌握分数指数幂的运算法则，会根据根式和分数指数幂的关系和分数指数幂的运算法则进行计算分数指数幂；2.了解可以由有理数指数幂无限逼近无理数指数幂。3.体会指数幂的运算法则有有理数的范围推广到实数的范围。学习目标温故知新小试牛刀

无理数指数幂无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂观察下表：的是否表示一个确定的实数？

无理数指数幂：一般地，无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．探究新知的过剩近似值的近似值1.511.180339891.429.8296353281.4159.7508518081.41439.739872621.414229.7386186431.4142149.7385246021.41421369.7385183321.414213579.7385178621.4142135639.738517752……的近似值的不足近似值9.5182696941.49.6726699731.419.7351710391.4149.7383051741.41429.7384619071.414219.7385089281.4142139.7385167651.41421359.7385177051.414213569.7385177361.414213562……

由上可以看出：可以由的不足近似值和过剩近似值进行无限逼近。2.指数幂的运算法则是：指数幂的运算法则典例解析归纳总结跟踪训练例2、化简求值：典例解析归纳总结跟踪训练典例解析母题探究：1.在本例条件不变的条件下，求a－a－1的值．2．在本例条件不变的条件下，求a2－a－2的值．归纳总结当堂达标28-11月-231.分数指数概念(a＞0,m,n∈N*,n＞1)2.指数幂运算性质(3)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂没有意义.课堂小结人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数4.2.1指数函数的概念课程目标

1、通过实际问题了解指数函数的实际背景；2、理解指数函数的概念和意义.数学学科素养1.数学抽象：指数函数的概念；2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；3.数学运算：利用指数函数的概念求参数；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结指数函数概念.

自主预习，回答问题阅读课本111-113页，思考并完成以下问题1.指数函数的概念是什么？2.指数函数解析式的特征？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单2.函数y=(a-2)ax是指数函数,则(

)A.a=1或a=3 B.a=1C.a=3 D.a>0且a≠1题型一判断函数是否为指数函数

（1）（2）

（3）（4）例1判断下列函数是否为指数函数题型分析举一反三答案：由指数函数的定义易知（1）（2）（3）不是指数函数，（4）是指数函数.解题方法（判断一个函数是否为指数函数）

(1)需判断其解析式是否符合y＝(a>0，且a≠1)这一结构特征．(2)看是否具备指数函数解析式具有的三个特征．只要有一个特征不具备，则该函数不是指数函数．

1.判断下列函数是否为指数函数(1)(2)

(3)(4)(>1,且)

答案：由指数函数的定义易知（1）（2）（3）不是指数函数，（4）是指数函数.题型二指数函数的概念例2（1）已知指数函数（＞0且≠1）的图象过点（3，π），求(2)已知函数y=(a2-3a+3)ax是指数函数,求a的值.解：（1）将点（3，π），代入得到，即解得：，于是所以

解题方法（利用指数函数定义求参数）

1.已知指数函数图象经过点P(-1,3),则f(3)=

.

2.已知函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x为指数函数,则a=

.

解析:(1)设指数函数为f(x)=ax(a>0且a≠1),由题意得a-1=3,

(2)函数f(x)=(a2-2a+2)(a+1)x是指数函数,

人教2019A版必修第一册4.2.1指数函数的概念第四章

指数函数与对数函数1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义

域、值域的求法．(重点)2.理解指数函数增长变化迅速的特点(难点)学习目标问题探究对于幂

，我们已经把指数的范围拓展到了实数．上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法．下面继续研究其他类型的基本初等函数．

问题１随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式．由于旅游人数不断增加，Ａ，Ｂ两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，Ａ地提高了景区门票价格，而Ｂ地则取消了景区门票．问题探究下表给出了Ａ，Ｂ两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量．比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出Ａ，Ｂ两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图问题探究观察图象和表格，可以发现，Ａ地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为１０万次）；Ｂ地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律．问题探究我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的．能否通过对Ｂ地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试．从2002年起，将Ｂ地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到

结果表明，Ｂ地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-1＝0.11，是一个常数．做减法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增长率．增加量、增长率是刻画事物变化规律的两个很重要的量．问题探究１年后，游客人次是２００１年的1.111倍；２年后，游客人次是２００１年的1.112倍；３年后，游客人次是２００１年的1.113倍；……x年后，游客人次是２００１年的1.11x倍．如果设经过x年后的游客人次为２００１年的y倍，那么y＝

1.11x（x∈[０，＋∞））．①这是一个函数，其中指数x是自变量．像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长．因此，Ｂ地景区的游客人次近似于指数增长．显然，从２００１年开始，Ｂ地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：问题２当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么问题探究

概念解析概念解析概念辨析分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)＝ax的解析式即先求出a的值；

典例解析

跟踪训练归纳总结例２（1）在问题１中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，Ａ地景区的门票价格为150元，比较这15年间Ａ，Ｂ两地旅游收入变化情况．解：（１）设经过x年，游客给Ａ，Ｂ两地带来的收入分别为f（x）和g（x），则f（x）＝1150×（10x+600），g（x）＝1000×278×1.11x．利用计算工具可得，当x=0时，f（０）－g（０）＝412000．当x≈10.22时，f（10.22）≈g（10.22）．结合图可知：当x＜10.22时，f（x）＞g（x），当x＞10.22时，f（x）＜g（x）．当x＝14时，f（14）－g（14）≈347303．典例解析这说明，在2001年，游客给Ａ地带来的收入比Ｂ地多412000万元；随后10年，虽然f（x）＞g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）＝g（x），这时游客给Ａ地带来的收入和Ｂ地差不多；此后，f（x）＜g（x），游客给Ｂ地带来的收入超过了Ａ地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，Ｂ地的收入已经比Ａ地多347303万元了．当堂达标2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（）．1、指数函数概念

函数y=ax(a

0，且a

1)叫做指数函数，其中x是自变量.函数的定义域是R.课堂小结人教2019A版必修第一册4.2.2指数函数的图像和性质第四章

指数函数与对数函数

1.理解指数函数的概念和意义，会画指数函数的图像。

2.探索并理解指数函数的单调性和特殊点。

3.理解指数函数的图像与性质，能运用指数函数的图像

和性质解决有关数学问题。

学习目标你能说说研究函数的一般步骤和方法吗？创设问题情境我们可以类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究指数函数的性质．用描点法作函数1.列表x…-3-2-10123…y=2x…1/81/41/21248…y=3x…1/271/91/313927…问题探究2.描点3.连线xy123-1-2-3039152127问题探究用描点法作函数1.列表x…-3-2-10123…y=2-x…84211/21/41/8…y=3-x…279311/31/91/27…问题探究思考：若不用描点法，这两个函数的图象又该如何作出呢？2.描点3.连线y=1xy123-1-2-301357927问题探究

这四个图像有何特点?特点：y=ax（a>1）与y=ax（0<a<1）关于y轴对称.问题探究问题1：图象分别在哪几个象限？答：四个图象都在第＿＿＿＿象限Ⅰ、Ⅱ问题2：图象的上升、下降与底数a有联系吗？答：当底数a＿＿时图象上升；

当底数a______时图象下降．>11>a>0问题探究问题3：图象有哪些特殊的点？答：四个图象都经过点＿＿＿＿．（0，1）问题4：图象定义域和值域范围？答：定义域为＿＿．值域为＿＿＿＿．R(0,+∞)问题探究a>10<a<1

图象(0,1)y=1yxy=ax(a>1)xyy=ax(0<a<1)

性质定义域

:R

值域

:(0,+∞)必过点：(0,1)

x>0,y>1;x<0,0<y<1在R

上是增函数x<0,y>1;x>0,0<y<1

在R

上是减函数归纳总结例3：说出下列各题中两个值的大小：解：①∵函数y=1.7x在R上是增函数，(1)1.72.5__1.73(3)1.70.5__0.82.5(2)0.8—1__0.8--2∴1.72.5<1.73又∵

2.5

<

3

，典例解析②∵函数y=0.8x在R上是减函数，∴0.8—1<0.8—2又∵

-1>-2，(2)0.8—1__0.8--2∴1.70.5>0.82.5

③∵1.70.5>1.70=1=0.80>0.82.5

，(3)1.70.5__0.82.5归纳总结例４如图，某城市人口呈指数增长．（１）根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间（倍增期）；（２）该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？分析：（1）因为该城市人口呈指数增长，而同一指数函数的倍增期是相同的，所以可以从图象中选取适当的点计算倍增期．（2）要计算20年后的人口数，关键是要找到20年与倍增期的数量关系．典例解析解：（1）观察图，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年．（２）因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番．因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人．当堂达标1、指数函数的图像及其性质；2、指数比较大小的方法；

①、构造函数法：要点是利用函数的单调性，数的特征是同底不同指（包括可以化为同底的）。或画图像直接描点观察法。②、搭桥比较法：用别的数如0或1做桥。数的特征是不同底不同指。课堂小结人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数4.2.2指数函数的图像和性质课程目标

1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质；3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：指数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小：5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质.

自主预习，回答问题阅读课本116-117页，思考并完成以下问题1.结合指数函数的图象，可归纳出指数函数具有哪些性质？2.指数函数的图象过哪个定点？如何求指数型函数的定义域和值域问题？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单题型分析举一反三题型一指数函数的图象问题

解题方法（指数函数的图像问题）

1.指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系:在y轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y轴左侧,图象从上到下相应的底数由小变大.无论指数函数的底数a如何变化,指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象与直线x=1相交于点(1,a),因此,直线x=1与各图象交点的纵坐标即为底数,由此可得底数的大小.2.因为函数y=ax的图象恒过点(0,1),所以对于函数f(x)=kag(x)+b(k,a,b均为常数,且k≠0,a>0,且a≠1).若g(m)=0,则f(x)的图象过定点(m,k+b).3.指数函数y=ax与y=

(a>0,且a≠1)的图象关于y轴对称.4.处理函数图象问题的常用方法:一是抓住图象上的特殊点;二是利用图象的变换;三是利用函数的奇偶性与单调性.

1、如图是指数函数:①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx的图象,则a,b,c,d与1的大小关系是(

)A.a<b<1<c<dB.b<a<1<d<cC.1<a<b<c<dD.a<b<1<d<c2、已知函数f(x)=ax+1+3的图象一定过点P,则点P的坐标是

.

3、函数y=

的图象有什么特征?你能根据图象指出其值域和单调区间吗?1、解析:(方法一)①②中函数的底数小于1且大于0,在y轴右边,底数越小,图象向下越靠近x轴,故有b<a,③④中函数的底数大于1,在y轴右边,底数越大,图象向上越靠近y轴,故有d<c.故选B.(方法二)作直线x=1,与函数①,②,③,④的图象分别交于A,B,C,D四点,将x=1代入各个函数可得函数值等于底数值,所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大.由图可知b<a<1<d<c.故选B.答案:B2、解析:∵当x+1=0,即x=-1时,f(x)=a0+3=4恒成立,故函数f(x)=ax+1+3恒过(-1,4)点.答案:(-1,4)所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1],单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞).题型二指数函数的性质及其应用例4.比较下列各题中两个值的大小:（1）(2)(3)解：(1)(单调性法)由于1.73与1.72.5的底数是1.7,故构造函数y=1.7x,而函数y=1.7x在R上是增函数.又2.5<3,∴1.72.5<1.73.(2)(单调性法)由于的底数是0.8,故构造函数y=0.8x,而函数y=0.8x在R上是减函数.又,∴.（3）(中间量法)由指数函数的性质,知0.93.1<0.90=1,1.73.1>1.70=1,则.题点二：指数函数的定义域与值域问题例5求下列函数的定义域与值域解:(1)∵由x-4≠0,得x≠4,

解题方法（指数函数的性质及其应用）

1.函数y=af(x)(a>0,且a≠1)的定义域、值域:(1)定义域的求法.函数y=af(x)的定义域与y=f(x)的定义域相同.(2)函数y=af(x)的值域的求法如下.①换元,令t=f(x);②求t=f(x)的定义域x∈D;③求t=f(x)的值域t∈M;④利用y=at的单调性求y=at(t∈M)的值域.2.比较幂的大小的常用方法:

1、比较下面两个数的大小:(a-1)1.3与(a-1)2.4(a>1,且a≠2).2、比较下列各题中两个值的大小:①2.53,2.55.7;③2.3-0.28,0.67-3.1.1、解:因为a>1,且a≠2,所以a-1>0,且a-1≠1,若a-1>1,即a>2,则y=(a-1)x是增函数,∴(a-1)1.3<(a-1)2.4.若0<a-1<1,即1<a<2,则y=(a-1)x是减函数,∴(a-1)1.3>(a-1)2.4.故当a>2时,(a-1)1.3<(a-1)2.4;当1<a<2时,(a-1)1.3>(a-1)2.4.2.①(单调性法)由于2.53与2.55.7的底数是2.5,故构造函数y=2.5x,而函数y=2.5x在R上是增函数.又3<5.7,∴2.53<2.55.7.③(中间量法)由指数函数的性质,知2.3-0.28<2.30=1,0.67-3.1>0.670=1,则2.3-0.28<0.67-3.1.人教2019A版必修第一册4.2.2指数函数的图像和性质第四章

指数函数与对数函数1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．学习目标

在4.2.1的问题1中，通过指数幂运算，我们能从y＝1.11x中求出经过4年后Ｂ地景区的游客人次为2001年的倍数y．反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决？上述问题实际上就是从2=1.11x，3=1.11x，

4=1.11x，…中分别求出x，即已知底数和幂的值，求指数．这是本节要学习的对数．创设问题情境对数

对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔（Napier，1550年~1617年）。他发明了供天文计算作参考的对数，并于1614年在爱丁堡出版了《奇妙的对数定律说明书》，公布了他的发明。恩格斯把对数的发明与解析几何的创始，微积分的建立并称为17世纪数学的三大成就。

对数的发明对数的概念10对数的性质概念辨析典例解析归纳总结跟踪训练典例解析归纳总结问题探究思路探究：(1)利用对数恒等式alogaN＝N求解；(2)利用logaa＝1，loga1＝0求解．归纳总结当堂达标课堂小结人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数4.3.1对数的概念课程目标

1、理解对数的概念以及对数的基本性质；2、掌握对数式与指数式的相互转化.数学学科素养1.数学抽象：对数的概念；2.逻辑推理：推导对数性质；3.数学运算：用对数的基本性质与对数恒等式求值；4.数学建模：通过与指数式的比较，引出对数定义与性质.

自主预习，回答问题阅读课本122-123页，思考并完成以下问题1.对数的定义是什么？底数和真数又分别是什么？2.什么是常用对数和自然对数？3.如何进行对数式和指数式的互化？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单题型一对数式与指数式的互化

例1将下列指数式与对数式互化:题型分析举一反三分析:利用当a>0,且a≠1时,logaN=b⇔ab=N进行互化.解题方法（对数式与指数式的互化）

1.logaN=b与ab=N(a>0,且a≠1)是等价的,表示a,b,N三者之间的同一种关系.如下图:2.根据这个关系式可以将指数式与对数式互化:将指数式化为对数式,只需将幂作为真数,指数作为对数,底数不变;而将对数式化为指数式,只需将对数式的真数作为幂,对数作为指数,底数不变.

1.将下列指数式与对数式互化:

(5)xz=y(x>0,且x≠1,y>0).题型二利用对数式与指数式的关系求值例2求下列各式中x的值:

(1)4x=5·3x;

(2)log7(x+2)=2;分析:利用指数式与对数式之间的关系求解.(2)∵log7(x+2)=2,∴x+2=72=49,∴x=47.(3)∵ln

e2=x,∴ex=e2,∴x=2.(5)∵lg

0.01=x,∴10x=0.01=10-2,∴x=-2.

解题方法（利用对数式与指数式的关系求值）

指数式ax=N与对数式x=logaN(a>0,且a≠1)表示了三个量a,x,N之间的同一种关系,因而已知其中两个时,可以通过对数式与指数式的相互转化求出第三个.

1.求下列各式中的x值:

(2)∵log216=x,∴2x=16,∴2x=24,∴x=4.(3)∵logx27=3,∴x3=27,即x3=33,∴x=3.题型三利用对数的基本性质与对数恒等式求值例3

求下列各式中x的值:(1)ln(log2x)=0;

(2)log2(lgx)=1;分析:利用logaa=1,loga1=0(a>0,且a≠1)及对数恒等式求值.解:(1)∵ln(log2x)=0,∴log2x=1,∴x=21=2.(2)∵log2(lg

x)=1,∴lg

x=2,∴x=102=100.解题方法（利用对数的基本性质与对数恒等式求值）

1.在对数的运算中,常用对数的基本性质:(1)负数和零没有对数;(2)loga1=0(a>0,a≠1);(3)logaa=1(a>0,a≠1)进行对数的化简与求值.2.对指数中含有对数值的式子进行化简、求值时,应充分考虑对数恒等式的应用.对数恒等式

=N(a>0,且a≠1,N>0)的结构形式:(1)指数中含有对数式;(2)它们是同底的;(3)其值为对数的真数.

1.求下列各式中x的值:

解:(1)∵ln(lg

x)=1,∴lg

x=e,∴x=10e.(2)∵log2(log5x)=0,∴log5x=1,∴x=5.人教2019A版必修第一册4.3.2对数的运算第四章

指数函数与对数函数学习目标温故知新在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质．你认为可以怎样研究？提出问题

我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？1.对数的运算性质探究一：化为对数式，它们之间有何关系？结合指数的运算性质能否将化为对数式？将指数式问题探究试一试:由得：由得从而得出探究二：结合前面的推导，由指数式又能得到什么样的结论？试一试:由得问题探究又能得到什么样的结论？试一试:由得探究三：结合前面的推导，由指数式问题探究对数的运算法则思考辨析典例解析跟踪训练归纳总结探究四：结合对数的定义，你能推导出对数的换底公式吗?(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;b>0)问题探究数学史上，人们经过大量的努力，制作了常用对数表和自然对数表，只有通过查表就能求出任意正数的常用对数或自然对数。现在，利用计算器，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数。这样，如果能将其他底的对数转换为以10或e为底的对数，就能方便地求出这些对数。换底公式证明：设由对数的定义可以得：即证得这个公式叫做换底公式，一般取常用对数进行换底问题探究

由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到2001年的2倍，类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数。2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）？例3.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震M之间的关系为典例解析解:设里氏9.0级和里氏8.0级地震的能量分别为E1和E2设里利用计算工具可得，虽然里氏9.0级和里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出的能量却是后者的约32倍。跟踪训练跟踪训练归纳总结当堂达标1.对数的运算法则。2.利用定义及指数运算证明对数的运算法则。3.对数运算法则的应用。4.换底公式的证明及应用。课堂小结积、商、幂的对数运算法则：如果a>0，a

1，M>0，N>0,那么：(a>0,且a≠1;c>0,且c≠1;人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数4.3.2对数的运算课程目标

1、通过具体实例引入，推导对数的运算性质；2、熟练掌握对数的运算性质，学会化简，计算.数学学科素养1.数学抽象：对数的运算性质；2.逻辑推理：换底公式的推导；3.数学运算：对数运算性质的应用；4.数学建模：在熟悉的实际情景中，模仿学过的数学建模过程解决问题.

自主预习，回答问题阅读课本124-125页，思考并完成以下问题1.对数具有哪三条运算性质？2.换底公式是如何表述的？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单题型分析举一反三题型一对数运算性质的应用(2)原式=2lg

5+2lg

2+lg

5×(1+lg

2)+(lg

2)2=2(lg

5+lg

2)+lg

5+lg

2(lg

5+lg

2)=2+lg

5+lg

2=2+1=3.解题方法（对数运算性质的应用）

1.对于底数相同的对数式的化简、求值,常用的方法是:(1)“收”,将同底的两个对数的和(差)收成积(商)的对数;(2)“拆”,将积(商)的对数拆成对数的和(差).2.对数式的化简、求值一般是正用或逆用公式,要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯.lg

2+lg

5=1在计算对数值时会经常用到,同时注意各部分变形要化到最简形式.

1.

计算下列各式的值:

题型二换底公式的应用例2

计算下列各式的值:解题方法（换底公式的应用）

1.换底公式的本质是化异底为同底,主要用途是将一般对数化为常用对数或自然对数,解决一般对数的求值问题.2.利用换底公式计算、化简、求值的一般思路:

1.化简:(1)log23·log36·log68;(2)(log23+log43)(log32+log274).题型三对数的综合应用解:(1)∵3x=4y=36,∴x=log336,y=log436,(2)设3x=4y=6z=m,则x=log3m,y=log4m,z=log6m.解题方法（对数的综合应用）

对数概念的实质是给出了指数式与对数式之间的关系,因此如果遇到条件中涉及指数幂的连等式时,常引入辅助变量,利用指数与对数间相互转化的关系,简化求解过程.

解:因为3a=7b=M,所以a=log3M,b=log7M,

人教2019A版必修第一册4.4.1对数函数的概念第四章

指数函数与对数函数学习目标1.理解对数函数的概念，2.会求对数函数的定义域．(重点、难点)问题1当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为p，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么问题探究

在上述问题中，我们用指数函数模型研究了呈指数增长或衰减变化规律的问题．对这样的问题，在引入对数后，我们还可以从另外的角度，对其蕴含的规律作进一步的研究．

在问题中，我们已经研究了死亡生物体内碳14的含量y随死亡时间x的变化而衰减的规律．反过来，已知死亡生物体内碳14的含量，如何得知它死亡了多长时间呢？进一步地，死亡时间x是碳14的含量y的函数吗？问题探究

问题探究

概念构建

对数函数的概念

函数y＝lo____x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．概念解析典例解析归纳总结跟踪训练典例解析归纳总结跟踪训练例3

假设某地初始物价为１，每年以５％的增长率递增，经过y年后的物价为x．（１）该地的物价经过几年后会翻一番？（２）填写下表，并根据表中的数据，说明该地物价的变化规律．

由表中的数据可以发现，该地区的物价随时间的增长而增长，但大约每增加１倍所需要的时间在逐渐缩小．当堂达标1.对数函数的概念及与指数函数的关系。2.对数函数的定义域。3.对数的应用。课堂小结人教2019版必修第一册第四章指数函数与对数函数4.4.1对数函数的概念课程目标

1、通过实际问题了解对数函数的实际背景；2、掌握对数函数的概念,并会判断一些函数是否是对数函数.数学学科素养1.数学抽象：对数函数的概念；2.逻辑推理：用待定系数法求函数解析式及解析值；3.数学运算：利用对数函数的概念求参数；4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结对数函数概念.

自主预习，回答问题阅读课本130-131页，思考并完成以下问题1.对数函数的概念是什么？2.对数函数解析式的特征？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单题型一对数函数的概念

题型分析举一反三例2

已知对数函数f(x)=(m2-3m+3)·logmx,则m=

.解析:由对数函数的定义可得m2-3m+3=1,即m2-3m+2=0,也就是(m-1)(m-2)=0,解得m=1或m=2.又因为m>0,且m≠1,所以m=2.答案:2解题方法（判断一个函数是对数函数的方法）

1.若函数f(x)=log(a+1)x+(a2-2a-8)是对数函数,则a=

.题型二对数函数的解析式①求f(x)的解析式;②解方程f(x)=2.解:①由题意设f(x)=logax(a>0,且a≠1),解得a=16,故f(x)=log16x.②方程f(x)=2,即log16x=2,所以x=162=256.答案：①f(x)=log16x，②x=256解题方法（对数函数的解析式）

对数函数解析式中只有一个参数a,用待定系数法求对数函数解析式时只须一个条件即可求出.

1.点A(8,-3)和B(n,2)在同一个对数函数图象上,则n=

.

解析:设对数函数为f(x)=logax(a>0,且a≠1).则由题意可得f(8)=-3,即loga8=-3,题型三对数函数型的定义域解题方法（求对数型函数定义域的原则）

(1)分母不能为0.(2)根指数为偶数时，被开方数非负．(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.

人教2019A版必修第一册4.4.2对数函数的图像和性质第四章

指数函数与对数函数学习目标1.通过具体对数函数图像，掌握对数函数的图像和性质

特征，并能解决问题。2.知道同底的对数函数与指数函数互为反函数。我们该如何去研究对数函数的性质呢？提出问题列表x1/41/2124

2 1 0 -1 -2-2 -1 0 12

………………作图步骤：1.列表2.描点3.连线问题1.画出函数和的图象。问题探究描点连线21-1-21240yx3y=log2xx1/41/2124-2 -1 0 12

2 1 0 -1 -2………………列表问题探究问题2：我们知道，底数互为倒数的两个指数函数的图象关

于y轴对称．对于底数互为倒数的两个对数函数，

比如和，它们的图象是否也有某种对称关系呢？可否利用其中一个函数的图象画出另一个函数的图象？描点连线21-1-21240yx3y=log1/2xy=log2xx1/41/2124………………-2 -1 0 12

2 1 0 -1 -2列表这两个函数的图象有什么关系呢？关于x轴对称问题3：底数a（a＞０，且a≠１）的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象．观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数

（a＞０，且a≠１）的值域和性质吗？问题探究问题探究

y=logax（a>1）的图象xo(1,0)x=1y=logx(a>1)ay问题探究

y=logax（0<a<1）的图象xyx=1(1,0)y=logx(0<a<1)ao问题探究

a＞10＜a＜1图象性质⑴定义域：⑵值域：⑶过特殊点：⑷单调性：⑷单调性：（0，+∞）R过点（1，0），即x=1时y=0在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数xo(1,0)x=1yxyx=1(1,0)o当x>1时，y>0;当0<x<1时，y<0.当x>1时，y<0;当0<x<1时，y>0.对数函数的图象和性质对数函数的性质的助记口诀:对数增减有思路,函数图象看底数;底数只能大于0,等于1来也不行;底数若是大于1,图象从下往上增;底数0到1之间,图象从上往下减;无论函数增和减,图象都过(1,0)点.记忆口诀

例1：比较下列各组中，两个值的大小：（1）log23.4与log28.5；∴log23.4<log28.5解（1）:用对数函数的单调性考察函数y=log2x,∵a=2>1,∴函数在区间（0，+∞）上是增函数；∵3.4<8.5例题解析

例1：比较下列各组中，两个值的大小：（2）log0.31.8与log0.32.7解（2）：考察函数y=log0.3x,∵a=0.3<1,∴函数在区间（0，+∞）上是减函数；∵1.8<2.7∴log0.31.8>log0.32.7例题解析

例1：比较下列各组中，两个值的大小：

（3）loga

5.1与loga

5.9（a＞０，且a≠１）解（3）：考察函数loga5.1与loga5.9可看作函数y=logax的两个函值

,对数函数的单调性取决于底数a是大于1还是小于1，因此需要对底数a进行讨论当a

>1时,因为y=logax是增函数，且5.1

<5.9，所以loga5.1<

loga5.9；当0<a

<1时,因为y=logax是减函数，且5.1<5.9，所以loga5.1>

loga5.9；例题解析归纳总结：当底数相同,真数不同时,利用对数函数的增减性比较大小。注意:当底数不确定时,要对底数与1的大小进行分类讨论。归纳总结练习1:比较下列各题中两个值的大小:⑴log106

log108⑵log0.56

log0.54⑶log0.10.5

log0.10.6⑷log1.51.6

log1.51.4＜＜＞＞跟踪训练练习2：已知下列不等式，比较正数m，n的大小：

(1)log3m<log3n(2)log0.3m>log0.3n(3)logam<logan(0<a<1)(4)logam>logan(a>1)

m<n

m<n

m>nm>n跟踪训练例题解析～

因此，函数y=logax(a＞0,且a≠1)与指数函数y=ax互为反函数。已知函数y=2x（x∈R，y∈（0，+∞））可得到x=log2y

，对于任意一个y∈（0，+∞），通过式子x=log2y

，x在R中都有唯一确定的值和它对应。也就是说，可以把y作为自变量，x作为y的函数，这是我们就说x=log2y

（y∈（0，+∞））是函数y=2x

（

x∈R）

的反函数。

但习惯上，我们通常用x表示自变量，y表示函数。为此我们常常对调函数x=log2y

中的字母x，y，把它写成y=log2x,这样，对数函数y=log2x（x∈（0，+∞））是指数函数y=2x

（x∈R）的反函数。反函数图象性

质

对数函数y=logax(a>0,a≠1)指数函数y=ax(a>0,a≠1)(4)a>1时,x<0,0<y<1;x>0,y>1

0<a<1时,x<0,y>1;x>0,0<y<1(4)a>1时,0<x<1,y<0;x>1,y>0

0<a<1时,0<x<1,y>0;x>1,y<0(5)a>1时,在R上是增函数；

0<a<1时,在R上是减函数(5)a>1时,在(0,+∞)是增函数；

0<a<1时,在(0,+∞)是减函数(3)过点(0,1),即x=0时,y=1(3)过点(1,0),即x=1时,y=0(2)值域：(0,+∞)(1)定义域：R(1)定义域：(0,+∞)(2)值域：Ry=ax(a>1)

y=ax

(0<a<1)xyo1y=logax(a>1)y=logax(0<a<1)xyo1指数函数、对数函数的图象和性质当堂达标解析：C

[(1)∵a>1，∴0<<1，∴y＝a－x是减函数，y＝logax是增函数，故选C.]当堂达标3.已知f(x)＝loga|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象.当堂达标当堂达标5.比较下列各组数中两个值的大小:解:(1)∵log67＞log66＝1

log76＜log77＝1

∴log67＞log76(2)∵log3π＞log31＝0log20.8＜log21＝0∴log3π＞log20.8方法:当底数不同，真数不同时，

可考虑这些数与1或0的大小。当堂达标6:解不等式:解：原不等式可化为：当堂达标课堂小结3.思想方法类比：类比的思想方法；类比指数函数的研究方法；

数形结合思想方法是研究函数图像和性质；人教A版必修第一册第四章指数函数与对数函数4.4.2对数函数的图像和性质课程目标

1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力；2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质；3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯.数学学科素养1.数学抽象：对数函数的图像与性质；2.逻辑推理：图像平移问题；3.数学运算：求函数的定义域与值域；4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式；5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结对数函数性质.

自主预习，回答问题阅读课本132-133页，思考并完成以下问题1.对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？2.反函数的概念是什么？

要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。知识清单1.若函数y=logax的图象如图所示,则a的值可能是

(

)A.0.5 B.2 C.e D.π2.下列函数中,在区间(0,+∞)内不是增函数的是(

)A.y=5x B.y=lgx+2C.y=x2+1 D.y=3.函数的f(x)=loga(x-2)-2x的图象必经过定点

.

4.(1)函数f(x)=的反函数是

.

(2)函数g(x)=log8x的反函数是

.

解析:1.∵函数y=logax在(0,+∞)上单调递减,∴0<a<1,只有选项A符合题意.3.由对数函数的性质可知,当x-2=1,即x=3时,y=-6,即函数恒过定点(3,-6).答案:1.A

2.D

3.(3,-6)4.题型分析举一反三题型一对数函数的图象

例1函数y=log2x,y=log5x,y=lgx的图象如图所示.(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由;(2)在如图的平面直角坐标系中分别画出(3)从(2)的图中你发现了什么?解:(1)①对应函数y=lg

x,②对应函数y=log5x,③对应函数y=log2x.这是因为当底数全大于1时,在x=1的右侧,底数越大的函数图象越靠近x轴.解题方法（对数函数图象的变化规律）

1.对于几个底数都大于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近x轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越远离x轴.以上规律可总结成x>1时“底大图低”.实际上,作出直线y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示.

1、作出函数y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.解:先画出函数y=lg

x的图象(如图①).再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图②).图①

图②

最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变),即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图③).图③由图易知其定义域为(1,+∞),值域为[0,+∞),单调递减区间为(1,2],单调递增区间为(2,+∞).题型二比较对