专转本辅导资料318课件

专转本数学辅导2012年3月18日考点十二、二元函数的导数题型1.计算二元函数的偏导数与全微分1.偏导数方法：对求x偏导，就是把y当做常数，此时二元函数的求导就可以看成一元函数的求导.对x求偏导数对y求偏导数2.二元隐函数看成三元函数方法：对求x偏导，就是把y，z当做常数.(2009-10)设函数由方程所确定，则(2011-4)设函数由方程所确定，则A.B.C.D.3.二阶偏导数先对x求导，再对x求导先对x求导，再对y求导先对y求导，再对x求导先对y求导，再对y求导4.全微分偏微分（1）求在点(1,2)处的偏导数.（2）求函数的二阶偏导数.（3）计算函数在点(2,1)处的全微分.例1.(2008-5)函数在点处的全微分为

A. B. C. D.(2007-11)设，则全微分

(2010-11)

设函数，则

题型2.计算二元(抽象)复合函数的导数(链式法则)(全导数公式)1.中间变量是一元函数的情形2.中间变量是多元函数的情形口诀：分段用乘,分叉用加,单路全导,叉路偏导3.中间变量只有一个是多元函数的情形（2）设，求例2.（1）设，求全导数(2011-18)

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求(2009-19)

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求(2010-19)

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求(2008-18)

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求(2007-17)

设，其中函数具有二阶连续偏导数，求考点十三、二重积分的计算题型1.在直角坐标系下二重积分的计算二重积分的计算可以归结为求两次定积分1.若D为

X–型区域

则上下看

2.若D为Y–型区域则左右看3.若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有4.若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则(2011-5)

如果二重积分可化为,则积分域D可表示为()A.B.C.D.

(2010-5)

二次积分交换积分次序后得()A.B.C.D.

例3.

y＝1,x＝2y＝x（1）

计算，其中D是直线

及所围的闭区域.（2）

计算,其中D是抛物线所围成的闭区域.及直线（3)交换下列积分顺序(2010-19)

计算二重积分，其中D是由曲线，直线及轴所围成的闭区域.(2009-18)

计算二重积分，其中(2008-19)

计算二重积分，其中D是由曲线、直线及所围成的平面区域.1.极坐标的二重积分公式（一般D为圆域、环域、扇域，或当被积函数为形式.）题型2.在直角坐标系下二重积分的计算2.将二重积分化为二次积分计算（一般先对r，再对积分）（1）极点在D的外部（2）极点在D的内部（3）极点在D的内部例4.计算，其中

(2007-20)

计算二重积分，其中(2011-19)

计算二重积分，其中D是由曲线、直线及轴所围成的平面闭区域.考点十四、一阶微分方程求解一阶微分方程的形式：题型1.可分离变量方程的求解

转化

两边求不定积分

（2）解初值问题例5.

（1）求方程的通解.(2009-12)

微分方程的通解为_______

形如的方程叫做齐次方程

.（变量替换法）（1）令，则（2）两边积分,得（3）积分后再用代替u

，得原方程的通解.解法:代入原方程得分离变量题型2.齐次方程的求解

例6.解微分方程(2006-17)

求微分方程的通解.一阶线性微分方程标准形式:称为线性齐次微分方程题型3.一阶线性微分方程的求解

称为线性非齐次微分方程1.解线性齐次方程分离变量通解两边积分2.解线性非齐次方程方程通解把通解代入原方程解得代入通解故原方程的通解常数变易法例7.

解微分方程

(2010-24)

设函数满足方程，且，记由曲线与直线及y轴所围平面图形的面积为，试求(2007-18)

求微分方程满足初始条件的特解.(2008-20)

求微分方程的通解.(2011-24)

设函数满足微分方程（其中为正常数），且，由曲线与直线所围成的平面图形记为D

，已知D的面积为，（1）求函数的表达式；（2）求平面图形D绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积；（3）求平面图形D绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积.考点十五、二阶微分方程求解二阶微分方程的基本形式：降阶法逐次积分基本解法：第一次积分第二次积分令不含未知函数令不含自变量（2）求解例8.

（1）求方程的解.考点十六、二阶常系数线性微分方程求解题型1.求解二阶常系数线性齐次微分方程第一步：写出特征方程，求出特征根第二步：根据特征根的情况，写出方程的通解实根特征根通解根据解的结构定理,其通解为二阶常系数线性齐次微分方程二阶常系数线性非齐次微分方程:

是的已知函数通解

特解待定系数法题型2.求解二阶常系数线性齐次微分方程1.若

不是特征方程的根待定系数法2.若是特征方程的单根3.若

是特征方程的二重根特解形式设，其中为实数,为次多项式.

与特征方程的关系其中是根据假设的m次待定系数多项式

为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为小结例9.求下列方程的通解(其中为实数）例10.

已知二阶常微分方程有特解求微分方程的通解.(2010-20)已知函数和是二阶常系数齐次线性微分方程的两个解，试确定常数的值，并求微分方程的通解.(2011-20)已知函数是一阶线性微分方程的解，求二阶常系数线性微分方程的通解.(2007-12)

设为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该微分方程为_______.

(2009-20)

求微分方程的通解.(2008-6)微分方程的通解为()

A. B.

C. D.1.向量的坐标表示在空间直角坐标系下,设点

M

则设点M的坐标为任意向量r

可用向径OM

表示.考点十七、向量的坐标运算设则2.利用坐标作向量的线性运算（3）向量的模：（2）向量的数乘：（1）向量的加减法：（4）两向量平行：（6）两向量数量积（点积）：（5）两向量垂直：（其中为向量的夹角）（7）向量积（叉积）：

的方向按右手法则垂直于所在平面.（8）两向量的夹角公式

(2011-9)若，则.(2010-10)

设，若与垂直，则常数

(2009-9)已知向量，则与的夹角为________

(2008-4)

设向量，则等于()A.（2，5，4） B.（2，－5，－4） C.（2，5，－4） D.（－2，－5，4）(2007-10)

已知均为单位向量，且，则以向量为邻边的平行四边形的面积为_______

考点十八、有关平面方程与空间直线的运算1.平面方程（1）点法式方程为平面的法向量（2）一般式方程（2）一平面通过两点和，且垂直于平面，求其方程.∏:x+y+z=0（3）求过点（1,1,1）且垂直于二平面的平面方程.（1）求通过x轴和点(4,–3,–1)的平面方程.例11.2.空间直线方程（1）

一般式方程（2）点向式方程为直线的方向向量

为直线的点

（3）参数式方程t为参数两平面交线例12.用点向式及参数式表示直线3.线面间的位置关系（1）面与面法向量垂直

法向量平行

平面法向量方向向量垂直

方向向量平行

（2）线与线直线方向向量（3）线与面直线方向向量平面法向量(2011-17)求通过轴与直线的平面方程.(2010-17)

求通过点，且与直线垂直，又与平面平行的直线的方程.

(2009-17)

求通过直线且垂直于平面的平面方程.(2008-17)

设平面经过点，求经过点且与平面垂直的直线方程.(2007-19)

求过点且垂直于直线的平面方程.考点十九、判别级数的收敛性题型1.判别数项级数的敛散性1.用级数收敛与发散的定义第一步先求出级数的部分和；第二步再看是否存在极限，存在即级数收敛.（求和：裂项相消法）2.用级数收敛的必要条件判断级数发散若级数收敛，则必有逆否命题：若，则级数发散.性质1.

若级数收敛于S,则各项乘以常数

c

所得级数也收敛,即其和为cS.性质2.

设有两个收敛级数与则级数也收敛,其和为3.用级数的基本性质性质3.在级数前面加上或去掉有限项,不会影响级数的敛散性.性质4.收敛级数加括弧后所成的级数仍收敛于原级数的和.例13.

判别下列级数的收敛性.p

级数级数收敛级数发散几何级数级数收敛级数发散调和级数发散三个常用的级数：题型2.判别正项级数的敛散性1.

正项级数收敛部分和序列有界.2.比较判别法（调和级数与p级数是两个常用的比较级数）大的收敛小的收敛小的发散小的发散比较判别法的极限形式两个级数同时收敛或发散收敛，收敛发散，发散比值判别法设为正项级数,且级数收敛级数发散不能用此法判定根值判别法级数收敛级数发散不能用此法判定3.比值判别法与根式判别法(中含有阶乘、乘幂、多个因子连乘除）(中含有次方形式的因子）必要条件不满足发散满足比值判别法根值判别法收敛发散不定比较判别法用它法判别部分和极限小结：（2）判别级数与的敛散性.（1）证明级数发散.例14.（3）讨论级数的敛散性.1.莱布尼兹判别法则交错级数收敛题型3.判别交错级数的敛散性例15.

判别下列级数的敛散性2.绝对收敛与条件收敛

绝对收敛条件收敛设为收敛级数例16.

证明下列级数绝对收敛.

(2009-6)设为非零常数，则数项级数（）A.条件收敛B.绝对收敛C.发散 D.敛散性与有关(2010-4)下列级数收敛的是()A.B.C.D.(2007-6)下列级数收敛的是()A.B.C.D.(2006-5)

设为正项级数，如下说法正确的是()A.如果，则必收敛B.如果，则必收敛C.如果收敛，则必定收敛D.如果收敛，则必定收敛（2005-6）正项级数，则下列说法正确的是()A.若（1）发散、则（2）必发散B.若（2）收敛、则（1）必收敛C.若（1）发散、则（2）不定D.若（1）、（2）敛散性相同考点二十、幂级数的收敛域及展开题型1.求幂级数的收敛域

1.幂级数的定义

幂级数的系数1)当

≠0时,2)当

＝0时,3)当

＝∞时,若的系数满足则其中R是收敛半径

2.求幂级数收敛域的方法的