2022年福建省质检坐标系与参数方程说题稿

说题稿一、说题目在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（为参数），在以原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（Ⅰ）求C的普通方程和l的倾斜角；（Ⅱ）设点P(0,2)，l和C交于A，B两点，求|PA|+|PB|．【问题属性】：本题为2022年省质检试卷中的选做题，满分10分，为三选一中的一题供学生选做，就目前而言，大多数考生会选这一题。对应教材为选修：坐标系与参数方程。【已知条件】：一个平面直角坐标系和一个对应的极坐标系；一条曲线C为提供参数方程的椭圆；一条提供极坐标方程的直线l；提供一个点P，直线l和曲线C交于A，B两点。【求解目标】：第一问，将曲线C的参数方程化为普通方程；从直线l的极坐标方程化为直角坐标方程后找出直线l的倾斜角。第二问，求出曲线与直线两交点与点P的距离之和。【相关知识】：直线的极坐标方程；椭圆的参数方程；直线的参数方程；直线的一般方程；直线的斜率与倾斜角；曲线与直线的交点问题；化简方程组寻找一元二次方程根与系数的关系；等基础知识。二、说解法【题目难点】：本题的难点在于第二问，第二问考到直线参数方程参数的意义，为了应用这个意义，考生还得将直线的一般方程化为参数方程，而且这个参数方程得按标准来化，否则无法应用这个参数的意义。【解题途径】：第一问，椭圆的参数方程化为普通方程主要在于消去参数，本题消参的主要方法是用到同角正余弦的平方和为1的性质；直线的极坐标方程化为直角坐标方程主要用到两角和差公式，转化公式，得到直角坐标方程后找出斜率和倾斜角就容易了；第二问，通常的做法是：先判断点P在直线上，再以点P为基准点，写出直线的参数方程，将直线的参数方程代入椭圆的普通方程，得到参数t的一元二次方程，方程的两根即为A，B两点在直线参数方程中对应的参数值，找出两根之和与两根之积，再根据直线参数方程的参数意义，点P到A，B两点的距离分别为两根的绝对值。【具体解法】解法一：（Ⅰ）由消去参数，得，即的普通方程为． 2分由，得，………（＊） 3分将代入（＊），化简得， 4分所以直线的倾斜角为． 5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，点在直线上，可设直线的参数方程为（为参数），即（为参数）， 7分代入并化简，得． 8分．设两点对应的参数分别为，则，所以 9分所以． 10分解法二：（Ⅰ）同解法一. 5分（Ⅱ）直线的普通方程为.由消去得， 7分于是.设，则，所以， 8分故. 10分【解法优劣】解法一是常用的方法，为通法，但考生对直线参数方程中参数的意义理解不够，这种方法做起来有些困难；解法二是A，B两点横坐标直接对应方程两根比较好理解，联立两方程化简也较为简单，但PA的距离用到弦长公式，考生不容易想到，当然考生如果直接用两点间的距离公式，再由A，B在直线上，把y用x表示代入，也不失一种好方法。三、说背景【题目背景】：本题为坐标系与参数方程的典型题，在课本例题、各模拟试卷、高考试卷中都有同类型的题目，解题方法主要考查通用通法。【类似题型】：在“直线的参数方程”一节中例1，已知直线l：与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长和点M(-1,2)到A，B两点的距离之积。【拓展变式】：(1)将已知条件中直线的极坐标方程改为直角坐标方程，第一问求直线的倾斜角改为求直线的极坐标方程。(2)将已知条件中直线的极坐标方程改为过点P(0,2)，倾斜角为1350的直线，第一问求直线的倾斜角改为求直线的极坐标方程。(3)将已知条件中的曲线C参数方程改为普通方程，第一问求曲线C的普通方程改为：令y=sinα，写出曲线C的参数方程，第二问改为：求曲线C上任一点M到直线l距离的最大值。四、说作用【试题价值】本题作为试题主要考查考生的运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化的数学思想等．对本选修内容的基础知识，主要的解题方法及数学思想起到了恰到好处的检测功能。【考纲要求】高考对本内容的考查主要有：(1)直线、曲线的极坐标方程；(2)直线、曲线的参数方程；(3)参数方程与普通方程的互化；(4)极坐标与直角坐标的互化。【感悟提升】1、若极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴正半轴重合，两坐标系的长度单位相同，则极坐标方程与直角坐标方程可以互化．求解与极坐标方程有关的问题时，可以转化为熟悉的直角坐标方程求解．若最终结果要求用极坐标表示，则需将直角坐标转化为极坐标．2．将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参和三角恒等式消参等，往往需要对参数方