基础卷-学易金卷：2022-2023学年九年级数学一模考前必刷卷01（沪教版）（全解全析）

2023–2023学年上学期一模考前必刷卷01九年级数学·全解全析123456BCBDBC一．选择题（共6小题）1．已知非零向量，，，下列条件中，不能判定向量与向量平行的是（）A．∥，∥ B．||＝2|| C．＝2，＝3 D．+2＝【分析】根据平面向量的性质逐一判断即可．【解答】解：∵，，∴，故A不符合题意；∵||＝2||不能确定与的方向，∴不能判定向量与向量平行，故B符合题意；∵＝2，＝3，∴与方向相同，∴，故C不符合题意；∵+2＝0，∴与方向相反，∴，故D不符合题意，故选：B．【点评】本题考查了平面向量的性质，熟练掌握平面向量的性质是解题的关键．2．如果把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍，那么锐角A的正切值（）A．扩大为原来的两倍 B．缩小为原来的 C．不变 D．不能确定【分析】把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，根据相似三角形对应角相等得到锐角A的大小没改变，根据正切的定义得到锐角A的正切函数值也不变．【解答】解：因为把一个锐角三角形三边的长都扩大为原来的两倍所得的三角形与原三角形相似，所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的正切函数值也不变．故选：C．【点评】本题考查了解直角三角形，利用了正弦函数的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切等于它的对边与邻边的比值．也考查了相似三角形的判定与性质．3．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，那么下列式子中正确的是（）A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cotA＝【分析】先利用勾股定理求出BC的长，然后再利用锐角三角函数的定义逐一判断即可．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3，∴sinA＝＝，故A不符合题意；cosA＝＝，故B符合题意；tanA＝＝，故C不符合题意；cotA＝＝，故D不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了勾股定理，锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．4．二次函数y＝ax2+bx+c的图象全部在x轴的上方，下列判断中正确的是（）A．a＜0，c＜0 B．a＜0，c＞0 C．a＞0，c＜0 D．a＞0，c＞0【分析】由题意可得抛物线开口向上，图象与y轴交点在x轴上方，进而求解．【解答】解：∵y＝ax2+bx+c的图象全部在x轴的上方，∴抛物线开口向上，抛物线与y轴交点在x轴上方，∴a＞0，c＞0，故选：D．【点评】本题考查二次函数图象及其性质，解题关键是掌握与二次函数图象与系数的关系．5．下列函数中，二次函数是（）A．y＝﹣3x+5 B．y＝x（4x﹣3） C．y＝2（x+4）2﹣2x2 D．y＝【分析】根据二次函数的定义判断即可．【解答】解：A．y＝﹣3x+5，不是二次函数，故A不符合题意；B．y＝x（4x﹣3）＝4x2﹣3x，是二次函数，故B符合题意；C．y＝2（x+4）2﹣2x2＝2x2+16x+32﹣2x2＝16x+32，不是二次函数，故C不符合题意；D．y＝，不是二次函数，故B不符合题意；故选：B．【点评】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键．6．如图，∠BEC＝∠CDB，下列结论正确的是（）A．EF•BF＝DF•CF B．BE•CD＝BF•CF C．AE•AB＝AD•AC D．AE•BE＝AD•DC【分析】结合图形利用8字模型相似三角形证明△EFB∽△DFC，然后利用等角的补角相等得出∠AEC＝∠ADB，最后证明△ABD∽△ACE，利用相似三角形的对应边成比例逐一判断即可．【解答】解：∵∠BEC＝∠CDB，∠EFB＝∠DFC，∴△EFB∽△DFC，∴＝，∴EF•FC＝DF•FB，故A不符合题意：∵△EFB∽△DFC，∴＝，∴BE•CF＝CD•BF，故B不符合题意；∵∠BEC＝∠CDB，∠BEC+∠AEC＝180°，∠BDC+∠ADB＝180°，∴∠AEC＝∠ADB，∴△ABD∽△ACE，∴＝，∴AB•AE＝AD•AC，故C符合题意；因为：AE，BE，AD，CD组不成三角形，也不存在比例关系，故D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．二．填空题（共12小题）7．已知＝2，那么＝．【分析】根据比例的性质求出x＝2y，再把x＝2y代入，即可求出答案．【解答】解：∵＝2，∴x＝2y，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了比例的性质，能根据比例的性质求出x＝2y是解此题的关键，注意：如果ab＝cd，那么＝，反之亦然．8．在平面直角坐标系xOy中，已知点A的坐标为（2，3），那么直线OA与x轴夹角的正切值是．【分析】由A坐标知，直线OA与x轴夹角的正切值＝＝．【解答】解：由A坐标知，直线OA与x轴夹角的正切值＝＝，故答案为：．【点评】本题主要考查三角函数的定义，根据坐标值求夹角正切值是解题的关键．9．把抛物线y＝x2+1向右平移1个单位，所得新抛物线的表达式是y＝x2﹣2x+2．【分析】根据平移规律得到新抛物线顶点坐标，即可得的新抛物线的表达式．【解答】解：∵抛物线y＝x2+1的顶点坐标为（0，1），∴抛物线向右平移1个单位后，所得新抛物线的表达式为y＝（x﹣1）2+1，即y＝x2﹣2x+2．故答案为：y＝x2﹣2x+2．【点评】本题主要考查的是二次函数图象的平移，掌握平移规律：“左加右减，上加下减”是解决问题的关键．10．已知两个相似三角形面积的比是4：9，那么这两个三角形周长的比是2：3．【分析】根据相似三角形的性质求出相似比，再求出周长比．【解答】解：∵两个相似三角形面积的比是4：9，∴两个相似三角形相似比是2：3，∴这两个三角形周长的比是2：3，故答案为：2：3．【点评】本题考查的是相似三角形的性质，相似三角形周长的比等于相似比、相似三角形面积的比等于相似比的平方．11．已知，AB＝8，P是AB黄金分割点，PA＞PB，则PA的长为．【分析】根据黄金分割点的定义，知PA是较长线段；则PA＝AB，代入数据即可．【解答】解：由于P为线段AB＝8的黄金分割点，且PA＞PB，则PA＝8×＝4﹣4．故本题答案为：4﹣4．【点评】理解黄金分割点的概念．熟记黄金比的值进行计算．12．如果一个二次函数图象的对称轴是直线x＝2，且沿着x轴正方向看，图象在对称轴左侧部分是上升的，请写出一个符合条件的函数解析式y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．【分析】由于二次函数的图象在对称轴x＝2的左侧部分是上升的，由此可以确定二次函数的二次项系数为负数，由此可以确定函数解析式不唯一．【解答】解：∵二次函数的图象在对称轴x＝2的左侧部分是上升的，∴这个二次函数的二次项系数为负数，∴符合条件的函数有y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．答案为：y＝﹣x2+4x+5，答案不唯一．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是会利用函数的性质确定解析式的各项系数．13．一位运动员投掷铅球，如果铅球运行时离地面的高度为y（米）关于水平距离x（米）的函数解析式为y＝﹣x2+x+，那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为3米．【分析】直接利用配方法求出二次函数最值即可．【解答】解：由题意可得：y＝﹣＝﹣（x2﹣8x）+＝﹣（x﹣4）2+3，故铅球运动过程中最高点离地面的距离为：3m．故答案为：3．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确利用配方法求出最值是解题关键．14．如图，码头A在码头B的正东方向，它们之间的距离为10海里．一货船由码头A出发，沿北偏东45°方向航行到达小岛C处，此时测得码头B在南偏西60°方向，那么码头A与小岛C的距离是（5+5）海里（结果保留根号）．【分析】过C作CD⊥BA于D，证△ACD是等腰直角三角形，得CD＝AD，AC＝CD，设CD＝AD＝x海里，则AC＝x海里，再由锐角三角函数定义得BD＝CD＝x（海里），然后由BD＝AD+AB得x＝x+10，解得：x＝5+5，即可解决问题．【解答】解：过C作CD⊥BA于D，如图：则∠CDB＝90°，由题意得：∠BCD＝60°，∠CAD＝90°﹣45°＝45°，∴△ACD是等腰直角三角形，∴CD＝AD，AC＝CD，设CD＝AD＝x海里，则AC＝x海里，在Rt△BCD中，tan∠BCD＝＝tan60°＝，∴BD＝CD＝x（海里），∵BD＝AD+AB，∴x＝x+10，解得：x＝5+5，∴x＝×（5+5）＝5+5，即AC＝（5+5）海里，故答案为：（5+5）．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．15．如图，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，设＝，＝，那么可以用，表示为+．【分析】由AB∥CD，即可证得△PCD∽△PAB，又由AB＝2CD，即可求得与的关系，利用三角形法则，求得，即可求得．【解答】解：∵＝，＝，∴＝﹣＝﹣．∵AB∥CD，AB＝2CD，∴△ECD∽△EAB，∴＝＝，∴＝＝（﹣），∴＝+＝+（﹣）＝+．故答案为：+．【点评】此题考查向量的知识与相似三角形的判定与性质．解题的关键是数形结合思想的应用，还要注意向量是有方向的．16．如图，某时刻阳光通过窗口AB照射到室内，在地面上留下4米宽的“亮区”DE，光线与地面所成的角（如∠BEC）的正切值是，那么窗口的高AB等于2米．【分析】由题意知CE＝2BC，CD＝2AC，进而得到CD＝DE+CE＝4+2BC，由BE∥AD得到△BCE∽△ACD，根据相似三角形的性质得到＝＝，化简即可求出AB．【解答】解：由题意知tan∠BEC＝＝＝，DE＝4，∴CE＝2BC，CD＝2AC，∴CD＝DE+CE＝4+2BC，∵AD∥BE，∴△BCE∽△ACD，∴＝，∴＝＝，∴BC+AB＝2+BC，∴AB＝2，故答案为：2．【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例是解答此题的关键．17．我们知道：四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形是相似四边形．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝1，BC＝2，E、F分别是边AB、CD上的点，且EF∥BC，如果四边AEFD与四边形EBCF相似，那么的值是．【分析】根据相似多边形的性质得出＝，把AD＝1和BC＝2代入求出EF，再根据相似多边形的性质得出＝，再求出答案即可．【解答】解：∵四边AEFD与四边形EBCF相似，∴＝，∵AD＝1，BC＝2，∴＝，解得：EF＝，∵四边AEFD与四边形EBCF相似，∴＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了梯形和相似多边形的性质，能根据相似多边形的性质得出比例式是解此题的关键．18．如图，已知矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，E是边DC上一点，将△ADE绕点A顺时针旋转得到△AD′E′，使得点D的对应点D'落在AE上，如果D′E′的延长线恰好经过点B，那么DE的长度等于．【分析】如图，连接BE、BE′，根据矩形的性质和旋转变换的性质可得：AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，利用勾股定理可得BD′＝4，再运用面积法可得：AB•AD＝AE•BD′，求出AE＝，再运用勾股定理即可求得答案．【解答】解：如图，连接BE、BE′，∵矩形ABCD中，AD＝3，AB＝5，∴∠D＝90°，由旋转知，△AD′E′≌△ADE，∴AD′＝AD＝3，∠AD′E＝∠D＝90°，∵D′E′的延长线恰好经过点B，∴∠AD′B＝90°，在Rt△ABD′中，BD′＝＝＝4，∵AB•AD＝AE•BD′，∴AE＝＝＝，在Rt△ADE中，DE＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，旋转变换的性质，勾股定理，三角形面积等，解题关键是运用面积法求得AE．三．解答题（共7小题）19．计算：cot30°﹣．【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可．【解答】解：cot30°﹣＝﹣＝﹣（）＝1．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．20．抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），B（﹣1，0）．（1）求抛物线的表达式及其顶点坐标．（2）填空：如果将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，那么其平移的过程是向左平移1个单位，再向下平移1个单位，平移后的抛物线表达式是y＝﹣x2+3．【分析】（1）把A（0，3），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c即可得抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，配成顶点式即得其顶点坐标；（2）由顶点的位置关系即可得平移过程，根据平移后顶点坐标即可得表达式．【解答】解：（1）把A（0，3），B（﹣1，0）代入y＝﹣x2+bx+c得：，解得，∴抛物线的表达式为y＝﹣x2+2x+3，∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴抛物线的顶点是（1，4）；（2）∵抛物线的顶点是（1，4），A（0，3），∴将该抛物线平移，使它的顶点移到点A的位置，平移的过程是向左平移1个单位，再向下平移1个单位，∵平移后抛物线形状、大小不变，∴平移后的抛物线表达式是y＝﹣x2+3，故答案为：向左平移1个单位，再向下平移1个单位，y＝﹣x2+3．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，用待定系数法求二次函数的解析式等知识点，能求出二次函数的解析式是解此题的关键．21．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB：CD＝3：2，点E是边CD的中点，联结BE交对角线AC于点F，若＝，＝．（1）用、表示、；（2）求作在、方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并指出所作图中表示结论的分向量）【分析】（1）利用三角形法则，平行线分线段成比例定理求解即可．（2）利用平行四边形法则作出图形即可．【解答】解：（1）∵AB：CD＝3：2，∴CD＝AB，∴＝，∴＝+＝+，∴DE＝EC，CE∥AB，∴＝＝，∴AF＝AC，∴＝（+）＝+．（2）如图，在、方向上的分向量分别为，．【点评】本题考查平面向量，梯形的性质等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则，属于中考常考题型．22．如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连．已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D处测得点A的仰角是53°，点B仰角是45°，点A与点D之间的距离为3.5米．求：（1）点A到地面的距离；（2）AB的长度．（精确到0.1米）（参考数据：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）【分析】（1）要求点A到地面的距离，所以过点A作AF⊥CD，垂足为F，然后放在直角三角形AFD中即可解答；（2）要求AB的长度，需要把AB放在直角三角形中，所以过点A作AG⊥EC，垂足为G，在Rt△AFD中，求出DF的长，然后设CF为x，用x表示AG，BG的长，再用76°的正切值求出x，最后求出AB即可．【解答】解：（1）过点A作AF⊥CD，垂足为F，在Rt△AFD中，AF＝ADsin53°＝3.5×0.8＝2.8米，答：点A到地面的距离为2.8米；（2）过点A作AG⊥EC，垂足为G，则AF＝GC，AG＝CF，在Rt△AFD中，DF＝ADcos53°＝3.5×0.6＝2.1米，设CF为x米，则CD为（2.1+x）米，在Rt△BCD中，BC＝CDtan45°＝（2.1+x）米，∴GB＝GC﹣BC＝2.8﹣（2.1+x）＝（0.7﹣x）米，在Rt△AGB中，tan76°＝，∴tan76°＝，∴，解得：x≈0.56，∴CF＝AG＝0.56米，∴AB＝＝≈0.6米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键．23．如图，线段BD是△ABC的角平分线，点E、点F分别在线段BD、AC的延长线上，联结AE、BF，且AB•BD＝BC•BE．（1）求证：AD＝AE；（2）如果BF＝DF，求证：AF•CD＝AE•DF．【分析】（1）利用两边成比例且夹角相等证明△ABE∽△CBD，得∠BDC＝∠AEB，从而证明∠ADE＝∠E，则AD＝AE；（2）利用三角形外角的性质证明∠BAF＝∠FBC，证明△BCF∽△ABF，得，则（AF﹣AD）•DF＝AF•CF，进行化简即可．【解答】证明：（1）∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABE＝∠CBD，∵AB•BD＝BC•BE，∴，∴△ABE∽△CBD，∴∠BDC＝∠AEB，∵∠BDC＝∠ADE，∴∠AEB＝∠ADE，∴AD＝AE；（2）∵BF＝DF，∴∠BDF＝∠FBD，∵∠BDF＝∠BAF+∠ABD，∠FBD＝∠DBC+∠CBF，∴∠BAF+∠ABD＝∠DBC+∠CBF，∵∠ABD＝∠CBD，∴∠BAF＝∠FBC，∵∠BFC＝∠AFB，∴△BCF∽△ABF，∴，∴BF2＝AF•CF，∵DF＝BF，∴DF2＝AF•CF，∵DF＝AF﹣AD，∴（AF﹣AD）•DF＝AF•CF，∴AF•DF﹣AD•DF＝AF•CF，∴AF•DF﹣AF•CF＝AD•DF，∴AF•（DF﹣CF）＝AD•DF，∵DF﹣CF＝CD，AD＝AE，∴AF•CD＝AE•DF．【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质等知识，熟练进行相似三角形的证明是解题的关键．24．抛物线y＝ax2+2ax+c与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C（0，3），其顶点D的纵坐标为4．（1）求该抛物线的表达式；（2）求∠ACB的正切值；（3）点F在线段CB的延长线上，且∠AFC＝∠DAB，求CF的长．【分析】（1）根据对称轴公式：x＝﹣可得对称轴是：x＝﹣1，得D（﹣1，4），根据顶点式可设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入可得结论；（2）如图1，构建直角三角形，计算AM和CM的长，根据正切的定义可得结论；（3）根据正切相等可得∠ACB＝∠DAB，所以得AC＝AF，根据两点的距离公式列方程可得结论．【解答】解：（1）∵y＝ax2+2ax+c，∴对称轴是：x＝﹣＝﹣1，∴顶点D的坐标为（﹣1，4），设抛物线的解析式为：y＝a（x+1）2+4，把（0，3）代入得：a+4＝3，∴a＝﹣1，∴抛物线的解析式为：y＝﹣（x+1）2+4＝﹣x2﹣2x+3；（2）如图1，过点A作AM⊥BC于M，当y＝0时，﹣x2﹣2x+3＝0，解得：x1＝﹣3，x2＝1，∴A（﹣3，0），B（1，0），∴AB＝3+1＝4，BC＝＝，AC＝3，∵S△ABC＝AB•OC＝BC•AM，∴＝×AM，∴AM＝，由勾股定理得：CM＝＝＝，∴tan∠ACB＝＝＝2；（3）如图2，∵tan∠ACB＝2，tan∠DAB＝＝＝2，∴∠ACB＝∠DAB，∵∠DAB＝∠AFC，∴∠ACB＝∠AFC，∴AC＝AF，设BC的解析式为：y＝kx+b，则，解得：，∴BC的解析式为：y＝﹣3x+3，设F（m，﹣3m+3），∴（3）2＝（m+3）2+（﹣3m+3）2，解得：m1＝0（舍），m2＝，∴F（，﹣），∴CF＝＝．【点评】本题是二次函数的综合题，考查二次函数的解析式，对称轴公式，顶点式，三角函数的定义，两点的距离，三角形面积等知识，第三问有难度，得出∠AFC＝∠ACB是本题的关键．25．已知，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点E是射线CA上的动点，点O是边B