高考数学复习 第九章 第四节 双曲线及其性质 文试题

eq\a\vs4\al\co1(第四节双曲线及其性质)考点一双曲线的定义及其标准方程1．(2015·安徽，6)下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是()A．x2－eq\f(y2,4)＝1 B.eq\f(x2,4)－y2＝1C．x2－eq\f(y2,2)＝1 D.eq\f(x2,2)－y2＝1解析由双曲线渐近线方程的求法知；双曲线x2－eq\f(y2,4)＝1的渐近线方程为y＝±2x，故选A.答案A2．(2015·天津，5)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点为F(2，0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,9)－eq\f(y2,13)＝1 B.eq\f(x2,13)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,3)－y2＝1 D．x2－eq\f(y2,3)＝1解析双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一个焦点为F(2，0)，则a2＋b2＝4，①双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，由题意得eq\f(2b,\r(a2＋b2))＝eq\r(3)，②联立①②解得b＝eq\r(3)，a＝1，所求双曲线的方程为x2－eq\f(y2,3)＝1，选D.答案D3．(2014·天津，6)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线平行于直线l：y＝2x＋10，双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为()A.eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1 B.eq\f(x2,20)－eq\f(y2,5)＝1C.eq\f(3x2,25)－eq\f(3y2,100)＝1 D.eq\f(3x2,100)－eq\f(3y2,25)＝1解析由题意可得eq\f(b,a)＝2，c＝5，所以c2＝a2＋b2＝5a2＝25，解得a2＝5，b2＝20，则所求双曲线的方程为eq\f(x2,5)－eq\f(y2,20)＝1.答案A4．(2014·江西，9)过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1 B.eq\f(x2,7)－eq\f(y2,9)＝1C.eq\f(x2,8)－eq\f(y2,8)＝1 D.eq\f(x2,12)－eq\f(y2,4)＝1解析设双曲线的右焦点为F，则F(c，0)(其中c＝eq\r(a2＋b2))，且c＝|OF|＝r＝4，不妨将直线x＝a代入双曲线的一条渐近线方程y＝eq\f(b,a)x，得y＝b，则A(a，b)．由|FA|＝r＝4，得eq\r(（a－4）2＋b2)＝4，即a2－8a＋16＋b2＝16，所以c2－8a＝0，所以8a＝c2＝42，解得a＝2，所以b2＝c2－a2＝16－4＝12，所以所求双曲线的方程为eq\f(x2,4)－eq\f(y2,12)＝1.答案A5．(2013·湖北，2)已知0＜θ＜eq\f(π,4)，则双曲线C1：eq\f(x2,sin2θ)－eq\f(y2,cos2θ)＝1与C2：eq\f(y2,cos2θ)－eq\f(x2,sin2θ)＝1的()A．实轴长相等 B．虚轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等解析在双曲线C1中，实轴长2a＝2sinθ；虚轴长2b＝2cosθ；焦距2c＝2eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝2；离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,sinθ).在双曲线C2中，实轴长2a＝2cosθ；虚轴长2b＝2sinθ；焦距2c＝2eq\r(a2＋b2)＝2eq\r(cos2θ＋sin2θ)＝2；离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(1,cosθ).即两条双曲线的焦距相等．故选D.答案D6．(2015·新课标全国Ⅱ，15)已知双曲线过点(4，eq\r(3))，且渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，则该双曲线的标准方程为______________．解析由双曲线渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x，可设该双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，eq\r(3))，所以eq\f(42,4)－(eq\r(3))2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为eq\f(x2,4)－y2＝1.答案eq\f(x2,4)－y2＝17．(2015·北京，12)已知(2，0)是双曲线x2－eq\f(y2,b2)＝1(b＞0)的一个焦点，则b＝________.解析由题意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝eq\r(3).答案eq\r(3)8．(2015·新课标全国Ⅰ，16)已知F是双曲线C：x2－eq\f(y2,8)＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0，6eq\r(6))．当△APF周长最小时，该三角形的面积为________．解析设左焦点为F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周长为|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周长最小即为|AP|＋|PF1|最小，当A、P、F1在一条直线时最小，过AF1的直线方程为eq\f(x,－3)＋eq\f(y,6\r(6))＝1.与x2－eq\f(y2,8)＝1联立，解得P点坐标为(－2，2eq\r(6))，此时S＝S△AF1F－S△F1PF＝12eq\r(6).答案12eq\r(6)9．(2012·天津，11)已知双曲线C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)与双曲线C2：eq\f(x2,4)－eq\f(y2,16)＝1有相同的渐近线，且C1的右焦点为F(eq\r(5)，0)，则a＝________，b＝________．解析双曲线C1的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，双曲线C2的渐近线方程为y＝±2x，即eq\f(b,a)＝2，又因为a2＋b2＝5，所以a＝1，b＝2.答案1210．(2011·全国，16)已知F1、F2分别为双曲线C：eq\f(x2,9)－eq\f(y2,27)＝1的左、右焦点，点A∈C，点M的坐标为(2，0)，AM为∠F1AF2的平分线，则|AF2|＝________．解析由角平分线的性质得eq\f(|AF1|,|AF2|)＝eq\f(|F1M|,|F2M|)，由题意得F1(－6，0)，F2(6，0)，所以|F1M|＝8，|F2M|＝4，则eq\f(|AF1|,|AF2|)＝2，所以点A在右支，所以|AF1|－|AF2|＝|AF2|＝2×3＝6.答案6考点二双曲线的几何性质1．(2015·湖南，6)若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为()A.eq\f(\r(7),3) B.eq\f(5,4) C.eq\f(4,3) D.eq\f(5,3)解析由条件知y＝－eq\f(b,a)x过点(3，－4)，∴eq\f(3b,a)＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝eq\f(5,3).故选D.答案D2．(2015·四川，7)过双曲线x2－eq\f(y2,3)＝1的右焦点且与x轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A，B两点，则|AB|＝()A.eq\f(4\r(3),3) B．2eq\r(3) C．6 D．4eq\r(3)解析右焦点F(2，0)，过F与x轴垂直的直线为x＝2，渐近线方程为x2－eq\f(y2,3)＝0，将x＝2代入渐近线方程得y2＝12，∴y＝±2eq\r(3)，∴A(2，2eq\r(3))，B(2，－2eq\r(3))，∴|AB|＝4eq\r(3).答案D3．(2015·重庆，9)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为()A．±eq\f(1,2) B．±eq\f(\r(2),2)C．±1 D．±eq\r(2)解析双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的右焦点F(c，0)，左、右顶点分别为A1(－a，0)，A2(a，0)，易求Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，\f(b2,a)))，Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c，－\f(b2,a)))，则kA2C＝eq\f(\f(b2,a),c＋a)，kA1B＝eq\f(\f(b2,a),a－c)，又A1B与A2C垂直，则有kA1B·kA2C＝－1，即eq\f(\f(b2,a),c＋a)·eq\f(\f(b2,a),a－c)＝－1，∴eq\f(\f(b4,a2),c2－a2)＝1，∴a2＝b2，即a＝b，∴渐近线斜率k＝±eq\f(b,a)＝±1.答案C4．(2015·湖北，9)将离心率为e1的双曲线C1的实半轴长a和虚半轴长b(a≠b)同时增加m(m>0)个单位长度，得到离心率为e2的双曲线C2，则()A．对任意的a，b，e1<e2B．当a>b时，e1<e2；当a<b时，e1>e2C．对任意的a，b，e1>e2D．当a>b时，e1>e2；当a<b时，e1<e2解析e1＝eq\r(1＋\f(b2,a2))，e2＝eq\r(1＋\f(（b＋m）2,（a＋m）2)).不妨令e1<e2，化简得eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)(m>0)，得bm<am，得b<a.所以当b>a时，有eq\f(b,a)>eq\f(b＋m,a＋m)，即e1>e2；当b<a时，有eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)，即e1<e2.故选B.答案B5．(2014·新课标全国Ⅰ，4)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,3)＝1(a＞0)的离心率为2，则a＝()A．2 B.eq\f(\r(6),2) C.eq\f(\r(5),2) D．1解析由双曲线方程知b2＝3，从而c2＝a2＋3，又e＝2，因此eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋3,a2)＝4，又a>0，所以a＝1，故选D.答案D6．(2014·重庆，8)设F1，F2分别为双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，则该双曲线的离心率为()A.eq\r(2) B.eq\r(15) C．4 D.eq\r(17)解析根据双曲线的定义，得||PF1|－|PF2||＝2a.又(|PF1|－|PF2|)2＝b2－3ab，所以4a2＝b2－3ab，即(a＋b)(4a－b)＝0，又a＋b≠0，所以b＝4a，所以e＝eq\f(c,a)＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)))\s\up12(2))＝eq\r(1＋42)＝eq\r(17).答案D7．(2014·广东，8)若实数k满足0＜k＜5，则曲线eq\f(x2,16)－eq\f(y2,5－k)＝1与曲线eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,5)＝1的()A．实半轴长相等 B．虚半轴长相等C．离心率相等 D．焦距相等解析若0<k<5，则5－k>0，16－k>0，故方程eq\f(x2,16)－eq\f(y2,5－k)＝1表示焦点在x轴上的双曲线，且实半轴的长为4，虚半轴的长为eq\r(5－k)，焦距2c＝2eq\r(21－k)，离心率e＝eq\f(\r(21－k),4)；同理方程eq\f(x2,16－k)－eq\f(y2,5)＝1也表示焦点在x轴上的双曲线，实半轴的长为eq\r(16－k)，虚半轴的长为eq\r(5)，焦距2c＝2eq\r(21－k)，离心率e＝eq\f(\r(21－k),\r(16－k)).可知两曲线的焦距相等．故选D.答案D8．(2013·新课标全国Ⅰ，4)已知双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的离心率为eq\f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1,4)x B．y＝±eq\f(1,3)xC．y＝±eq\f(1,2)x D．y＝±x解析∵e＝eq\f(\r(5),2)，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(5),2)，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,4).∵c2＝a2＋b2，∴eq\f(b2,a2)＝eq\f(1,4).∴eq\f(b,a)＝eq\f(1,2).∵双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f(b,a)x，∴渐近线方程为y＝±eq\f(1,2)x.故选C.答案C9．(2013·浙江，9)如图，F1，F2是椭圆C1：eq\f(x2,4)＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A.eq\r(2) B.eq\r(3) C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(6),2)解析根据椭圆的定义可得AF1＋AF2＝4，又根据勾股定理，得AFeq\o\al(2,1)＋AFeq\o\al(2,2)＝12.解得AF1＝2－eq\r(2)，AF2＝2＋eq\r(2).所以C2的离心率为eq\f(2\r(3),（2＋\r(2)）－（2－\r(2)）)＝eq\f(\r(6),2).答案D10．(2012·福建，5)已知双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,5)＝1的右焦点为(3，0)，则该双曲线的离心率等于()A.eq\f(3\r(14),14) B.eq\f(3\r(2),4) C.eq\f(3,2) D.eq\f(4,3)解析∵右焦点为(3，0)，∴c＝3，又∵c2＝a2＋b2＝a2＋5＝9，∴a2＝4，a＝2，∴e＝eq\f(c,a)＝eq\f(3,2).答案C11．(2011·湖南，6)设双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4 B．3 C．2 D．1解析双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝1的渐近线方程为eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,9)＝0，整理得3x±ay＝0，故a＝2，故选C.答案C12．(2015·山东，15)过双曲线C：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线，交C于点P.若点P的横坐标为2a，则C的离心率为________．解析把x＝2a代入eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1得y＝±eq\r(3)b.不妨取P(2a，－eq\r(3)b)．又∵双曲线右焦点F2的坐标为(c，0)，∴kF2P＝eq\f(\r(3)b,c－2a).由题意，得eq\f(\r(3)b,c－2a)＝eq\f(b,a).∴(2＋eq\r(3))a＝c.∴双曲线C的离心率为e＝eq\f(c,a)＝2＋eq\r(3).答案2＋eq\r(3)13．(2012·辽宁，15)已知双曲线x2－y2＝1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点．若PF1⊥PF2，则|PF1|＋|PF2|的值为____________．解析设|PF1|＝m，|PF2|＝n，则eq\b