2022年中考解答题专项训练题4

2022中考解答题专项训练4五解答题（三）24．已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．25．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．（1）求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求四边形PAOC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析24．已知：如图，AC是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，点P是⊙O外一点，∠PBA=∠C．（1）求证：PB是⊙O的切线．（2）若OP∥BC，且OP=8，∠C=60°，求⊙O的半径．【考点】切线的判定．【分析】（1）连接OB，求出∠ABC=90°，∠PBA=∠OBC=∠C，推出∠PBO=90°，根据切线的判定推出即可；（2）证△ABC≌△PBO（ASA），进而得出⊙O的半径．【解答】（1）证明：连接OB，∵AC是⊙O直径，∴∠ABC=90°，∵OC=OB，∴∠OBC=∠C，∵∠PBA=∠C，∴∠PBA=∠OBC，即∠PBA+∠OBA=∠OBC+∠ABO=∠ABC=90°，∴OB⊥PB，∵OB为半径，∴PB是⊙O的切线；（2）解：∵OC=OB，∠C=60°，∴△OBC为等边三角形，∴BC=OB，∵OP∥BC，∴∠CBO=∠POB，∴∠C=∠POB，在△ABC和△PBO中∵，∴△ABC≌△PBO（ASA），∴AC=OP=8，即⊙O的半径为4．25．如图，在平面直角坐标系xoy中，直线y=x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是x=﹣，且经过A，C两点，与x轴的另一个交点为点B．（1）求抛物线解析式．（2）若点P为直线AC上方的抛物线上的一点，连接PA，PC．求四边形PAOC的面积的最大值，并求出此时点P的坐标．（3）抛物线上是否存在点M，过点M作MN垂直x轴于点N，使得以点A、M、N为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先求的直线y=x+2与x轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点B的坐标；设抛物线的解析式为y=y=a（x+4）（x﹣1），然后将点C的坐标代入即可求得a的值；（2）设点P、Q的横坐标为m，分别求得点P、Q的纵坐标，从而可得到线段PQ=m2﹣2m，然后利用三角形的面积公式可求得S四边形PAOC=S△AOC+S△PAC=2PQ+4，然后利用配方法可求得△PAC的面积的最大值以及此时m的值，从而可求得点P的坐标；（3）根据两个角对应相等得两个三角形相似，可得M1，根据抛物线的对称性，可得M2，根据对应边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得关于n的方程，根据解方程，可得答案．【解答】解：（1）y=x+2中，当x=0时，y=2，当y=0时，x=﹣4，∴C（0，2），A（﹣4，0），由抛物线的对称性可知：点A与点B关于x=﹣对称，∴点B的坐标为1，0）．∵抛物线y=ax2+bx+c过A（﹣4，0），B（1，0），∴可设抛物线解析式为y=a（x+4）（x﹣1），又∵抛物线过点C（0，2），∴2=﹣4a∴a=﹣∴y=﹣x2﹣x+2．（2）设P（m，﹣m2﹣m+2）．如图1，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q，∴Q（m，m+2），∴PQ=﹣m2﹣m+2﹣（m+2）=﹣m2﹣2m，∵S四边形PAOC=S△AOC+S△PAC=×4×2+×PQ×4=2PQ+4=﹣m2﹣4m+4=﹣（m+2）2+8，∴当m=﹣2时，△PAC的面积有最大值是8，此时P（﹣2，3）．（3）如图2，，在Rt△AOC中，AC==2，在Rt△BOC中，BC==，∵AC2+BC2=20+5=25=AB2，∴∠ACB=90°，CO⊥AB，∴△ABC∽△AOC∽△CBO，①若点M在x轴上方时，当M点与C点重合，即M（0，2）时，△MAN∽△BAC．根据抛物线的对称性，当M（﹣3，2）时，△MAN∽△ABC；②若点M在x轴的下方时，设N（n，0），则M（n，﹣n2﹣n+2），∴MN=n2+n﹣2，AN=n+4，当=，即===时，MN=AN，即n2+n﹣2=（n+4），化简，得n2+2n﹣8=0，n1=﹣4（舍），n2=2，M（2，﹣3）；当=，即===2时，MN=2AN，即n2+n﹣2=2（n+4），化简，得n2﹣