1.7定积分的简单应用

1.7.1定积分在几何中的应用1.微积分基本定理---------牛顿－莱布尼茨公式牛顿－莱布尼茨公式沟通了导数与定积分之间的关系．2.利用牛顿－莱布尼茨公式求定积分的关键是复习：思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值:图1.曲边梯形xyo图2.如图xyo图4.如图图3.如图类型1：求由一条曲线y=f(x)和直线x=a,x=b(a<b)及x轴所围成平面图形的面积S(2)xyoabc(3)(1)xyo例：求抛物线y=x2-1，直线x=-1,和x=2，y=0所围成的图形的面积。yx解：如图：由x2-1=0得到抛物线与x轴的交点坐标是(-1,0)，(1,0).所求面积如图阴影所示：所以：类型2：由两条曲线y=f(x)和y=g(x)，直线x=a,x=b(a<b)所围成平面图形的面积Syxoba(2)(1)ABCDO解:作出y2=x,y=x2的图象如图所示:即两曲线的交点为(0,0),(1,1)oxy方法小结求在直角坐标系下平面图形的面积步骤:1.作图象;2.求交点的横坐标,定出积分上、下限;3.确定被积函数，用定积分表示所求的面积，特别注意分清被积函数的上、下位置;4.用牛顿－莱布尼茨公式求定积分.解:两曲线的交点直线与x轴交点为(4,0)S1S2

思考：有没有其他方法？求下列曲线所围成的图形的面积:(1)y=x2,y=2x+3;(2)y=ex,y=e,x=0.

做P58练习练习1、求由抛物线y2=8x(y>0)与直线x+y-6=0及y=0所围成的图形的面积.xyO662求由曲线围成的平面图形面积的一般步骤:(1)画草图;(2)求曲线的交点定出积分上、下线;(3)确定被积函数,但要保证求出的面积是非负的;(4)写出定积分并计算.

练习巩固解:两曲线的交点解:两曲线的交点于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．练习4：已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为4/3,求a的值.若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3”呢?思路:根据a的取值的不同分类讨论.当a≤0时,,解得a=-1当a>2时,,,无解当0<a≤2时,,解得a=2注意故a=-1或a=2[-1,2]1.7.2定积分在物理中的应用设做变速直线运动的物体运动的速度v=v(t)≥0，则此物体在时间区间[a,b]内运动的距离(位移)s为1、变速直线运动的路程法二：由定积分的几何意义，直观的可以得出路程即为如图所示的梯形的面积，即变力所做的功：物体在变力Ｆ（x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与Ｆ（x）相同的方向从x=a移动到x=b（a<b），那么变力Ｆ（x）所作的功例2:如图：在弹性限度内，将一弹簧从平衡位置拉到离水平位置l

米处，求克服弹力所作的功．解：在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力Ｆ(x)与弹簧拉伸（或压缩）的长度x成正比．即：F(x)=kx所以据变力作功公式有1.一物体沿直线以v=2t+3(t的单位为s,v的单位为m/s)的速度运动,求该物体在3~5s

间行进的路程.2.一物体在力F(x)=3x+4(单位:N)的作