高等数学B（下）：ch8-5 对坐标的曲面积分(第二类曲面积分)

1.定义:2.计算:设则(曲面的其他两种情况类似)

注意利用对称性、重心公式等来简化计算的技巧.对面积的曲面积分的解法是将其化为投影域上的二重积分计算.复习第一类曲面积分一、定向曲面概念二、概念的引入三、概念及性质四、两类曲面积分之间的联系五、计算法六、小结第五节对坐标的曲面积分

(第二类曲面积分)

第八章

一、定向曲面概念观察以下曲面的侧(假设曲面是光滑的)曲面分上侧和下侧曲面分左侧和右侧曲面分内侧和外侧曲面的分类:1.双侧曲面;2.单侧曲面.

莫比乌斯带典型单侧曲面:播放(见书P225)特点:

可以不越过曲面的边界而到达所在位置的背面;故单侧曲面无法定向,也就无法讨论通过曲面一侧流到另一侧的流量.(下面所讨论曲面都是指双侧曲面)其方向用法向量指向>0为前侧<0为后侧>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧

指定了侧的曲面叫定向曲面,表示(例子)>>>定向曲面的投影:方向余弦侧的规定

类似地可定义其方向用法向量指向

指定了侧的曲面叫定向曲面,表示

(见本书P201)封闭曲面侧的规定:>>>二、概念的引入1.实例:流向曲面一侧的流量.(参见书P17例3)(流速与时间t无关)(不能一会儿稠一会儿稀)用“分割，近似，求和,取极限”的方法

用“分割，近似，求和,取极限”的方法

Ⅲ.求和Ⅳ.取极限Ⅰ.分割Ⅱ.近似,(i=1,2,…,n)对一般的定向曲面

,用“分割,近似,求和,取极限”

对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得,则0设=设

为光滑的定向曲面,在

上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,分,记作或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场若对

的任

则称此极限为向量场v在定向曲面上对坐标的曲面积2.定义.P,Q,R

叫做被积函数;

叫做积分曲面.引例中,流过定向曲面

的流体的质量为称为Q

在定向曲面

上对

z,x

的曲面积分;称为R

在定向曲面

上对x,y

的曲面积分.称为P

在定向曲面

上对y,z

的曲面积分;3.组合形式在定向曲面上对坐标的曲面积4.存在条件:6.物理意义:5.性质:方向性表示流体流向曲面一侧的流量(通量)可加性实例:流向曲面一侧的流量.7.元素法：回顾7.元素法：对坐标的曲面积分(流过定向曲面

的流体的质量φ)也常写成如下向量形式---定向曲面元素定义中:(见书P203)8.两类曲面积分之间的联系曲面的方向用法向量的方向余弦刻画思考:的方向有关,上述联系公式是否矛盾?两类曲面积分的定义一个与

的方向无关,一个与

(如作业P59一3(2))z

四、计算法1.分面投影法取上侧为＋，取下侧为－定理:

设定向光滑曲面是

上的连续函数,口诀：“一投,二代,三定号”分面投影法:把对坐标的曲面积分化成二重积分来计算第一类曲面积分z

四、计算法1.分面投影法定理:

设定向光滑曲面是

上的连续函数,(证明:转成第一类--见书P204)定理:

设有光滑曲面f(x,y,z)在

上连续,存在,且有则曲面积分“一投,二代,三变换”回顾第一类曲面积分:分面投影法:把对坐标的曲面积分化成二重积分来计算口诀为：代：将曲面的方程表示为二元显函数，然后代入被积函数，将其化成二元函数投：将积分曲面投影到与定向面积元素中两个变量(如dxdy)同名的坐标面(如xoy

面)上定号：由曲面的方向，即曲面的侧确定二重积分的正负号一投、二代、三定号定理:

设光滑曲面取上侧,是

上的连续函数,则②积分曲面的方程必须表示为单值显函数,

否则分片计算，结果相加注意:①对坐标的曲面积分,必须注意曲面所取的侧.

确定正负号的原则：曲面取上侧、前侧、右侧时为正曲面取下侧、后侧、左侧时为负③特殊情况

>>>解上侧下侧根据对称性思考:

下述解法是否正确:

(即书P205

例1)分面投影法第二类对称性２.合一投影法二者关系?合一投影取下侧?不管取上侧还是下侧,该式相同２.合一投影法合一投影例2.计算曲面积分其中

旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间部分的下侧.I解:利用“合一投影法”

II解:利用两类曲面积分的联系

(类似书P207

例3)当时，上侧取“+”

下侧取“

”解答解答I解(利用“合一投影法”)

(曲面取下侧)II解(利用两类曲面积分的联系)

下侧下同I解六、小结1、概念与物理意义2、计算时应注意以下两点曲面的侧“一投,二代,三定号”选择投影面，合一3、两类曲面积分区别曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分定义联系计算

(与侧无关)

(与侧有关)或合一投影法分面投影法曲面的方向用法向量的方向余弦刻画

设是其外法线与z轴正向夹成的锐角,计算解:思考题两类曲面积分区别定义:1.两类曲面积分及其联系

参考性质:联系:2.常用计算公式及方法面积分第一类(对面积)第二类(对坐标)二重积分(1)统一积分变量代入曲面方程(方程不同时分片积分)(2)积分元素投影第一类：面积投影第二类：有向投影(4)确定积分域把曲面积分域投影到相关坐标面注：二重积分是第一类曲面积分的特殊情况.转化当时，（上侧取“+”,下侧取“

”)类似可考虑在yoz

面及zox

面上的二重积分转化公式.设积分曲面光滑或分段光滑,且=1+2,若1和2

关于xoy面对称且它们法向量相反,则

其中

1为

的z≥0的部分.第二类对称性若1和2

关于yoz面对称且它们法向量相反,则

其中

1为

的部分.(x,y

不动,在被积函数中考虑z

的情况)x≥0若关于zox面对称且法向量相反也类似<<<设积分曲面光滑或分段光滑,且=1+2,若1和2

关于xoy面对称且它们法向量相反,则

其中

1为

的z≥0的部分.对称性若1和2

关于zox面对称且它们法向量相反,则

其中

1为

的x≥0的部分.莫比乌斯带典型单侧曲面:典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带典型单侧曲面:莫比乌斯带练习

求取外侧.解:注意±号其中利用轮换对称性练习题òò

2、òòå++yzdzdxxydydzxzdxdy,其中å是平面

1,0,0,0=++===zyxzyx所围成的空间区

域的整个边界曲面的外侧；

3、dxdyyxezå+22,其中å为锥面22yxz+=和

2,1==zz所围立体整个表面的外侧

.三、把对坐标的曲面积分òòå+dzdxzyxQdydzzyxP),,(),,(dxdyzyxR),,(+化成对面积的曲面积分,