天津市五区重点校联考2023-2024学年高三上学期期中考试数学

2023～2024学年度第一学期期中重点校联考高三数学命题学校：静海一中外院附中一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．已知集合，，则=A． B． C． D．2．已知在△ABC中，角，，的对边分别为，，，则“”是“”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件3．已知4a=5，log89=b，则22a3b=A． B．5 C． D．254．已知x，y，z=log1.2A．x>z>y B．y>x>z C．y>z>x D．x>y>z

5．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，已知函数的部分的解析式可能是A． B．C． D．6．庑殿式屋顶是中国古代建筑中等级最高的屋顶形式，分为单檐庑殿顶与重檐庑殿顶．单檐庑殿顶主要有一条正脊和四条垂脊，前后左右都有斜坡（如图①），类似五面体的形状（如图②），若四边形是矩形，，且AB=2EF=2BC=8， EA=ED=FB=FC=3，则三棱锥F－ADE的体积为A． B．3D．7．函数fx=AA．的单调递增区间是B．图象的一条对称轴方程是C．图象的对称中心是，D．函数的图象向左平移7π8个单位后得到的是一个奇函数的图象8．已知在所在平面内，，、分别为线段、的中点，直线与相交于点，若，则A．的最小值为 B．的最小值为C．的最大值为 D．的最大值为9．已知函数，若关于x的方程恰有6个不同的实数根，则m的取值范围是A．−∞,−113∪[−3,−C．−∞,−113∪(−113二、填空题（本题6小题，每题5分，共30分）10．复数在复平面内对应的点为，则3i+1z−1的共轭复数的模为________11．在中，内角所对的边分别为.已知，，，则的面积为________.12．设向量、满足，且，若为在方向上的投影向量，并满足，则________13．在等比数列中，，是函数的两个不同极值点，则________．14．设x>0，y>0，当________时,取最大值，最大值为________.15．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在CD上（包含端点），则的取值范围是________．三、解答题（本大题共5小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分14分）已知函数，，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．（1）求的单调递减区间；（2）若fθ2=−17．（本小题满分15分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，（1）求角B的大小；（2）设，，（i）求，（ii）求的值.18．（本小题满分15分）在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.（1）求证：平面；（2）求直线PB与平面所成角的正弦值；（3）求点到PD的距离.19．（本小题满分15分）已知数列的前n项和Sn=n2+n2，数列满足：（1）证明：是等比数列；（2）设数列的前项和为Tn，且cn=−1n2（3）设数列dn满足：dn=20．（本小题满分16分）已知函数fx=lnx+（1）若曲线fx在点1,f1处的切线的斜率为3，求（2）当时，函数有两个不同零点，求m的取值范围；（3）若∀x∈0,+∞，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

2023～2024学年度第一学期期中重点校联考高三数学参考答案一、选择题（本题共9小题，每题5分，共45分.）15CBADC 69ABDA二、填空题（本题共6小题，共30分，每空5分，14题前空3分，后空2分）10．5 11．522 12．13．−3 14．14，216 三、解答题（本题共5小题，共75分）16．（本小题满分14分）（1）解：由，…………3分因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即，所以，可得，…………5分令π2+2kπ解得5π12+即的单调递增区间为[5π12+（2）解：由，可得f(θ2因为θ∈−π6,5π…………11分所以sin（θ−5π…………14分（注：丢掉扣1分）17．（本小题满分15分）解：（1）根据正弦定理得3sin…………1分即3sin因为sinB>0，所以sinB=sinA所以B=π3；（2）（i）在△ABC中，由余弦定理及，，，有，故.…………8分（ii）由asinA=bsin∵，故，…………10分则，…………12分，…………14分∴.…………15分18．（本小题满分15分）解：（1）方法一：如图，取中点，连接因为为中点，，，，所以，所以四边形为平行四边形，所以，…………2分又平面，平面，所以平面，…………3分因为为中点，为中点，则，又平面，平面，所以平面，…………4分因为平面，所以平面平面，又平面，故平面．…………5分方法二根据题意，分别以所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，由条件可得，A0,0,0,P0,0,2,B（建系和对一个点的坐标就给1分，全对给2分，没有出现点的坐标扣1分）DM由题意得，平面PAD的一个法向量m=0,1,0DM⋅m=0，所以DM⊥m又因为DM⊄平面,所以平面．…………5分（2）PB=2,0,−2设平面的法向量为n=x,y,z则，解得，取，则，所以平面的一个法向量为，…………8分设直线PB与平面所成角为，则sinθ=cos<所以直线PB与平面所成角的正弦值为.…………11分（设角和作答具备其一即可，均不写扣一分）（3）由（2）可知，， …………12分设点到PD的距离为dd=PE所以点到PD的距离为32219．（本小题满分15分）解：（1）由，得，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，…………3分即．…………4分（2）当时，有a1=当n≥2时，an可得时，a1=1，可得an=ncn=−1n2n+1n(n+1)=−1…………9分（3）当n为奇数时，dn=，…………11分当n为偶数时，dn=d设，，两式相减得得，…………14分所以c2所以．…………15分20．（本小题满分16分）解：（1）因为f所以f'1=1+a+1=3,即（2）gx−m+2=0g'当x>−1时，g'x>0，所以当−2≤x<−1时，g'x<0，所以ggxmin=g−1=−1ⅇ,所以m−2∈−1ⅇ,−2（3）因为g'x−f(x)即对恒成立.…………10分设，其中，所以， …………11分， …………12分设，其中，则，所以，函数在上单调递增.因为，，所以，存在，