安徽省示范高中培优联盟2023-2024学年高三上学期秋季联赛数学试题

姓名 座位号（在此卷上答题无效）绝密★启用前安徽省示范高中培优联盟2023年秋季联赛（高三）数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第3页，第Ⅱ卷第4至第6页。全卷满分150分，考试时间120分钟。考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交。第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．若，其中a，，是虚数单位，则A．2 B． C．3 D．52．已知集合，集合，则A． B． C． D．3．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5岁-18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中体重在的学生人数是A．20 B．30 C．40 D．504．若为偶函数，则A．1 B．0 C． D．5．若双曲线：（，）的离心率为2，则双曲线：的离心率为A． B． C． D．6．已知曲线在点，处的切线分别为，，记，与x轴的交点的横坐标分别为，，若，则A．0 B．1 C．2 D．37．设公差为2的等差数列的前n项和为，若对于任意正整数n，都有为定值，则A．60 B．80 C．100 D．1208．已知，则A． B． C． D．二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。）9．在平面直角坐标系xOy中，A、B两点的坐标分别为、，则下列结论正确的是A．若，则点P的轨迹为直线 B．若，则点P的轨迹为圆C．若，则点P的轨迹为椭圆 D．若，则点P的轨迹为双曲线10．投资甲，乙两种股票，每股收益的分布列分别如表1和表2所示．表1 股票甲收益的分布列收益X（元）02概率0.10.30.6表2 股票乙收益的分布列收益Y（元）012概率0.30.40.3关于两种股票，下列结论正确的是A． B．C．投资股票甲的期望收益较大 D．投资股票甲比投资股票乙风险高11．已知函数，其中e是自然对数的底数，则下列说法中正确的有A．为周期函数 B．的图像关于点对称C．在区间上是减函数 D．关于x的方程有实数解12．在三棱锥P-ABC中，△PAB与△ABC都是边长为的正三角形，且二面角P-AB-C为直角，则下列结论正确的有A．PC⊥AB B．PC与平面ABC所成角为45°C．AB上存在一点Q，使得∠PQC为钝角 D．三棱锥P-ABC的外接球表面积为（在此卷上答题无效）第Ⅱ卷（非选择题 共90分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）13．已知向量，满足，，则．14．一个正四棱台形油槽可以装煤油190Ｌ，假如它的上下底面边长分别为60cm和40cm，则该油槽的深度为cm．15．函数的所有正零点从小到大依次记为，，…，则．16．已知一组圆，，…，均与三个定圆，，相切，则圆，，…，的面积和为．四、解答题（本题共6小题，共70分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．（10分）记△ABC的三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，且．（1）求的值；（2）求a的值．18．（12分）记为等比数列的前n项和，．（1）若，求的值；（2）若，求证：．19．（12分）甲和乙每人掷五枚硬币，每个硬币正面朝上或反面朝上的概率相等，且每个结果相互独立，如果甲的硬币正面朝上的数量比乙的多，那么这个游戏甲获胜．如果甲乙两人正面朝上的硬币数量相同，那么这个游戏就是平局．（1）求甲乙两人平局的概率；（2）求甲获胜的概率．20．（12分）如图，设E-ABCD与F-ABCD为两个正四棱锥，且，点P在线段AC上，且C．第20题图（1）记二面角E-BC-A，F-BC-A的大小分别为，，求的值；（2）记EP与FB所成的角为，求的最大值．21．（12分）已知椭圆：（）的左右焦点分别为，，离心率为，且经过点．第21题图（1）求椭圆的方程；（2）若经过的直线与椭圆交于A，C，经过的直线与椭圆交于B，D，与交于点P（点P在椭圆内），求证：．22．（12分）已知函数，其中．（1）当时，若点P为函数图像上的任意一点，求P点处切线斜率的最大值；（2）若函数在区间上单调递增．①求实数a的取值范围；②证明：，．培优联盟2023高三秋赛数学参考答案题号123456789101112答案BCCDABCDADACDABCABD1．【答案】B【解析】：由，得，解得所以．2．【答案】C【解析】：，，，所以．3．【答案】C【解析】：．4．【答案】D【解析】：函数定义域为，因为函数为偶函数，所以，即，所以，可得．5．【答案】A【解析】：因为双曲线的离心率，所以，所以双曲线的离心率．6．【答案】B【解析】：由题意知：，：，所以，，所以．7．【答案】C【解析】：，设，可得，若等式对任意正整数n都成立，则，可得，所以.8．【答案】D【解析】：由题意知，所以．9．【答案】AD【解析】：选项A：设点，可得，轨迹为直线；选项B：点P轨迹为圆上的一段弧（）；选项C：点P轨迹为线段AB；选项D：点P轨迹为双曲线，轨迹方程为．10．【答案】ACD【解析】：，，，，，．11．【答案】ABC【解析】：选项A：，是周期函数；选项B：，所以函数关于点中心对称；选项C：时，，所以函数在区间上为减函数；选项D：，，当且仅当，时方程有解，即，同时成立时方程有解，但和无法同时满足，所以方程没有实数解．12．【答案】ABD【解析】：取AB中点M，则AB⊥平面PMC，所以AB⊥PC，且∠PCM为直线PC与平面ABC所成的角，因为，所以.故A、B选项正确.在AB上任取一点Q（不同于M），则，，在△CPQ中，由余弦定理可得，所以∠PQC为锐角，故C选项不正确．记H为△ABC的中心，在平面PMC内，过H引CM的垂线与CP的中垂线交于点O，则O为三棱锥PABC外接球的球心，易知，所以三棱锥PABC外接球表面积为，故选项D正确．13．【答案】3【解析】：由题意知，消去可得，所以．14．【答案】75【解析】：正四棱台体积，，代入数据可得.15.【答案】【解析】：令，可得或，所有的正零点为，，，，，，…则．16．【答案】【解析】：设：，：，：，若圆与，内切，与内切时，设圆心为，半径为r，可得，由可知，，且有两个；同理，若圆与，外切，与内切时，可得，且有两个；若圆与内切，与外切，与内切时，可得，且有两个；若圆与内切，与外切，与内切时，可得，且有两个；综上所述，共有8个圆满足题意，面积和为．17．解：（1）由正弦定理可得，又因为，所以，且B为锐角，所以，，所以．（2）由余弦定理可知，所以，解得或（舍去）故．18．解：设等比数列的公比为q，则由可得，所以或，所以或，（1）因为，所以，即，所以．（2）因为，所以，即，所以，故．19．解：（1）甲乙两人的硬币正面朝上的数量相同共有等可能的情形，每种情形发生的概率为，故甲乙两人平局的概率．（2）注意到甲获胜的概率与乙获胜的概率相同，所以，进一步解得．20．（1）解：记正方形ABCD的中心为O，则EF经过点O，所以有EF⊥OA，又因为，所以，记BC的中点为M，连结EM，FM，OM，则EM⊥BC，FM⊥BC，OM⊥BC，所以∠EMO，∠FMO分别为二面角EBCA，FBCA的平面角，所以，所以．（2）以O为空间坐标原点，，，方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，，，，则，由可知P为AO的中点，则，，，所以，所以当时，取到最大值．21．解：（1）因为椭圆的离心率为，所以，又因为椭圆经过点，所以，解得，，故椭圆的方程为.（2）设点P的坐标为，直线的斜率为（，2），则直线的方程为，代入椭圆的方程，消去y得到，即，整理可得，，因为经过，所以，所以，同理可得，故．22．【解析